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19.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是$\begin{cases}3x + 2y = 17, \\x + 4y = 23,\end{cases}$类似的，如图②所示的算筹图用方程组表示出来，就是 ______ .
答案
解：根据图①对应的方程组总结算筹表示规则：竖线的条数对应未知数的系数，结果部分十位的1根横线代表10，2根横线代表20，个位中竖线数量对应个位数值，形如“T”的算筹代表个位为6。
可得图②对应的方程组为：
$\begin{cases}2x + y = 12 \\4x + 3y = 26\end{cases}$
可得图②对应的方程组为：
$\begin{cases}2x + y = 12 \\4x + 3y = 26\end{cases}$
解析
【分析】
解题首先要从已知的图①及其对应的方程组出发，总结算筹的计数规则，再将规则应用到图②中列出方程组。第一步先对应图①中各位置的算筹和方程组的系数、常数项，明确：每行前两个位置的竖线数分别对应x、y的系数；第三个位置的横线数对应常数项的十位（1根横线代表10，2根横线代表20）；第四个位置的算筹对应常数项的个位，竖线数为个位基础值，顶部有短横则加5。第二步再观察图②每行的算筹，分别对应写出方程，联立得到方程组即可。
【解析】
根据图①对应的方程组，总结算筹表示规则：
1. 每行从左到右前两个区域的竖线数量，分别为方程中x、y的系数；
2. 每行第三个区域的横线：1根代表10，2根代表20，是常数项的十位数值；
3. 每行第四个区域的算筹：竖线数量为个位基础值，顶部有1根短横则加5，得到常数项的个位数值，十位加个位即为常数项。
观察图②：
第一行：x的系数为2，y的系数为1，常数项十位为10，个位为2，常数项为$10+2=12$，得方程$2x+y=12$；
第二行：x的系数为4，y的系数为3，常数项十位为20，个位为$5+1=6$，常数项为$20+6=26$，得方程$4x+3y=26$。
联立得到对应方程组。
【答案】
$\begin{cases}2x + y = 12 \\4x + 3y = 26\end{cases}$
【知识点】
列二元一次方程组，规律探究，算筹计数
【点评】
本题结合我国古代数学经典著作的内容，考查规律探究能力和列方程组的能力，需要先从已知示例中归纳通用规则再进行应用，渗透了数学文化，能较好地考查知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
解题首先要从已知的图①及其对应的方程组出发，总结算筹的计数规则，再将规则应用到图②中列出方程组。第一步先对应图①中各位置的算筹和方程组的系数、常数项，明确：每行前两个位置的竖线数分别对应x、y的系数；第三个位置的横线数对应常数项的十位（1根横线代表10，2根横线代表20）；第四个位置的算筹对应常数项的个位，竖线数为个位基础值，顶部有短横则加5。第二步再观察图②每行的算筹，分别对应写出方程，联立得到方程组即可。
【解析】
根据图①对应的方程组，总结算筹表示规则：
1. 每行从左到右前两个区域的竖线数量，分别为方程中x、y的系数；
2. 每行第三个区域的横线：1根代表10，2根代表20，是常数项的十位数值；
3. 每行第四个区域的算筹：竖线数量为个位基础值，顶部有1根短横则加5，得到常数项的个位数值，十位加个位即为常数项。
观察图②：
第一行：x的系数为2，y的系数为1，常数项十位为10，个位为2，常数项为$10+2=12$，得方程$2x+y=12$；
第二行：x的系数为4，y的系数为3，常数项十位为20，个位为$5+1=6$，常数项为$20+6=26$，得方程$4x+3y=26$。
联立得到对应方程组。
【答案】
$\begin{cases}2x + y = 12 \\4x + 3y = 26\end{cases}$
【知识点】
列二元一次方程组，规律探究，算筹计数
【点评】
本题结合我国古代数学经典著作的内容，考查规律探究能力和列方程组的能力，需要先从已知示例中归纳通用规则再进行应用，渗透了数学文化，能较好地考查知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
20.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字.原来这个两位数是.
答案
解：设原来两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 7 \\10x + y + 9 = 10y + x\end{cases}$
化简第二个方程得：$x - y = -1$
将两个方程相加：
$2x = 6$，解得$x=3$
把$x=3$代入$x+y=7$，得$y=4$
则原来的两位数为$10×3 + 4 = 34$。
答：原来这个两位数是34。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 7 \\10x + y + 9 = 10y + x\end{cases}$
化简第二个方程得：$x - y = -1$
将两个方程相加：
$2x = 6$，解得$x=3$
把$x=3$代入$x+y=7$，得$y=4$
则原来的两位数为$10×3 + 4 = 34$。
答：原来这个两位数是34。
解析
【分析】
这是一道数字类的方程应用题，解题时首先要明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。我们可以分别设原来两位数的十位数字和个位数字为未知数，根据题目给出的两个等量关系：①十位数字+个位数字=7；②原两位数+9=数位互换后的新两位数，列出二元一次方程组，求解得到两个数位的数字后，再按照两位数的表示方法计算出原数即可。
【解析】
解：设原来两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 7 \\10x + y + 9 = 10y + x\end{cases}$
化简第二个方程：移项合并同类项得$9x-9y=-9$，两边同时除以9得$x - y = -1$
将两个方程相加：$(x+y)+(x-y)=7+(-1)$，即$2x = 6$，解得$x=3$
把$x=3$代入$x+y=7$，得$3+y=7$，解得$y=4$
则原来的两位数为$10×3 + 4 = 34$。
【答案】
34
【知识点】
二元一次方程组的应用，两位数的表示方法
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题的核心是正确掌握多位数的表示方法，准确从题干中提取等量关系列方程组求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类的方程应用题，解题时首先要明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。我们可以分别设原来两位数的十位数字和个位数字为未知数，根据题目给出的两个等量关系：①十位数字+个位数字=7；②原两位数+9=数位互换后的新两位数，列出二元一次方程组，求解得到两个数位的数字后，再按照两位数的表示方法计算出原数即可。
【解析】
解：设原来两位数的十位数字为$x$，个位数字为$y$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 7 \\10x + y + 9 = 10y + x\end{cases}$
化简第二个方程：移项合并同类项得$9x-9y=-9$，两边同时除以9得$x - y = -1$
将两个方程相加：$(x+y)+(x-y)=7+(-1)$，即$2x = 6$，解得$x=3$
把$x=3$代入$x+y=7$，得$3+y=7$，解得$y=4$
则原来的两位数为$10×3 + 4 = 34$。
【答案】
34
【知识点】
二元一次方程组的应用，两位数的表示方法
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题的核心是正确掌握多位数的表示方法，准确从题干中提取等量关系列方程组求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
21.某文具店用460元购进A,B两种钢笔,若全部按标价售出后可获得总利润160元,这两种钢笔的进价、标价如下表所示.
(1)求这两种钢笔各购进的数量；
(2)如果A种钢笔按标价的9折出售,B种钢笔按标价的9.5折出售,那么这批钢笔全部售完后,文具店比按标价出售少收入多少元？
(1)求这两种钢笔各购进的数量；
(2)如果A种钢笔按标价的9折出售,B种钢笔按标价的9.5折出售,那么这批钢笔全部售完后,文具店比按标价出售少收入多少元？
答案
解：(1) 设购进A种钢笔x支，购进B种钢笔y支。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}8x + 10y = 460 \\(10-8)x + (14-10)y = 160\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}4x + 5y = 230 \\x + 2y = 80\end{cases}$
由第二个方程得 $x = 80 - 2y$，代入第一个方程：
$4(80-2y) + 5y = 230$
解得 $y=30$，
将$y=30$代入$x=80-2y$，得$x=20$。
答：购进A种钢笔20支，购进B种钢笔30支。
(2) 按标价出售的总售价为：$460 + 160 = 620$元
打折后出售的总售价为：
$20×10×0.9 + 30×14×0.95 = 180 + 399 = 579 \mathrm{元}$
少收入的金额为：$620 - 579 = 41$元
答：文具店比按标价出售少收入41元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}8x + 10y = 460 \\(10-8)x + (14-10)y = 160\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}4x + 5y = 230 \\x + 2y = 80\end{cases}$
由第二个方程得 $x = 80 - 2y$，代入第一个方程：
$4(80-2y) + 5y = 230$
解得 $y=30$，
将$y=30$代入$x=80-2y$，得$x=20$。
答：购进A种钢笔20支，购进B种钢笔30支。
(2) 按标价出售的总售价为：$460 + 160 = 620$元
打折后出售的总售价为：
$20×10×0.9 + 30×14×0.95 = 180 + 399 = 579 \mathrm{元}$
少收入的金额为：$620 - 579 = 41$元
答：文具店比按标价出售少收入41元。
解析
【分析】
(1) 要求两种钢笔的购进数量，可设两个未知数，利用题干给出的总进价、总利润两个等量关系列二元一次方程组求解：第一个等量关系为A种钢笔总进价+B种钢笔总进价=460元；第二个等量关系为A种钢笔总利润+B种钢笔总利润=160元，解方程组即可得到结果。
(2) 先算出按标价出售的总售价，再分别计算两种钢笔打折后的售价求和得到打折总售价，二者作差即可求出少收入的金额，计算时注意打n折就是原价乘0.n。
【解析】
(1) 设购进A种钢笔x支，购进B种钢笔y支。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}8x + 10y = 460 \\(10-8)x + (14-10)y = 160\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}4x + 5y = 230 \\x + 2y = 80\end{cases}$
由第二个方程得 $x = 80 - 2y$，代入第一个方程：
$4(80-2y) + 5y = 230$
解得 $y=30$，
将$y=30$代入$x=80-2y$，得$x=20$。
(2) 按标价出售的总售价为：$460 + 160 = 620$元
打折后出售的总售价为：
$20×10×0.9 + 30×14×0.95 = 180 + 399 = 579 \mathrm{元}$
少收入的金额为：$620 - 579 = 41$元
【答案】
(1) 购进A种钢笔20支，购进B种钢笔30支；
(2) 文具店比按标价出售少收入41元。
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 销售利润计算
3. 打折销售问题
【点评】
本题是销售类实际应用题型，解题的关键是准确梳理题干中的等量关系列方程求解，计算折扣售价时要正确理解折扣的含义，侧重考查学生用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求两种钢笔的购进数量，可设两个未知数，利用题干给出的总进价、总利润两个等量关系列二元一次方程组求解：第一个等量关系为A种钢笔总进价+B种钢笔总进价=460元；第二个等量关系为A种钢笔总利润+B种钢笔总利润=160元，解方程组即可得到结果。
(2) 先算出按标价出售的总售价，再分别计算两种钢笔打折后的售价求和得到打折总售价，二者作差即可求出少收入的金额，计算时注意打n折就是原价乘0.n。
【解析】
(1) 设购进A种钢笔x支，购进B种钢笔y支。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}8x + 10y = 460 \\(10-8)x + (14-10)y = 160\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}4x + 5y = 230 \\x + 2y = 80\end{cases}$
由第二个方程得 $x = 80 - 2y$，代入第一个方程：
$4(80-2y) + 5y = 230$
解得 $y=30$，
将$y=30$代入$x=80-2y$，得$x=20$。
(2) 按标价出售的总售价为：$460 + 160 = 620$元
打折后出售的总售价为：
$20×10×0.9 + 30×14×0.95 = 180 + 399 = 579 \mathrm{元}$
少收入的金额为：$620 - 579 = 41$元
【答案】
(1) 购进A种钢笔20支，购进B种钢笔30支；
(2) 文具店比按标价出售少收入41元。
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 销售利润计算
3. 打折销售问题
【点评】
本题是销售类实际应用题型，解题的关键是准确梳理题干中的等量关系列方程求解，计算折扣售价时要正确理解折扣的含义，侧重考查学生用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
