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22.某中学为了增加操场面积，租用了土地10亩，现在平整操场需要运走36 800吨泥土，现可租用A型车和B型车，已知：用3辆A型车和2辆B型车一次可运泥土60吨；用2辆A型车和3辆B型车一次可运泥土65吨.（每辆车都满载）
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运泥土多少吨？
(2)已知A型车每辆每天能运20次，B型车每辆每天能运16次.学校同时租用A，B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按(1)中运量运满，请找出该校的租车方案.
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运泥土多少吨？
(2)已知A型车每辆每天能运20次，B型车每辆每天能运16次.学校同时租用A，B型车，刚好20天运完且每辆车每天运足次数，每次都按(1)中运量运满，请找出该校的租车方案.
答案
解：
(1) 设1辆A型车满载一次可运泥土$x$吨，1辆B型车满载一次可运泥土$y$吨。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 3x + 2y = 60 \\ 2x + 3y = 65 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} x = 10 \\ y = 15 \end{cases}$
答：1辆A型车满载一次可运泥土10吨，1辆B型车满载一次可运泥土15吨。
(2) 设该校租用A型车$a$辆，B型车$b$辆，其中$a$、$b$均为正整数。
根据题意列等式：
$10 × 20 × 20a + 15 × 16 × 20b = 36800$
化简得：
$5a + 6b = 46$
变形得：
$a = \frac{46 - 6b}{5}$
因为$a$、$b$都是正整数，因此$46-6b$为大于0的5的倍数：
当$b=1$时，$a=\frac{46-6×1}{5}=8$，符合要求；
当$b=6$时，$a=\frac{46-6×6}{5}=2$，符合要求。
其余正整数$b$对应的$a$均不为正整数。
综上，该校共有2种租车方案：
方案一：租用A型车8辆，B型车1辆；
方案二：租用A型车2辆，B型车6辆。
(1) 设1辆A型车满载一次可运泥土$x$吨，1辆B型车满载一次可运泥土$y$吨。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 3x + 2y = 60 \\ 2x + 3y = 65 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} x = 10 \\ y = 15 \end{cases}$
答：1辆A型车满载一次可运泥土10吨，1辆B型车满载一次可运泥土15吨。
(2) 设该校租用A型车$a$辆，B型车$b$辆，其中$a$、$b$均为正整数。
根据题意列等式：
$10 × 20 × 20a + 15 × 16 × 20b = 36800$
化简得：
$5a + 6b = 46$
变形得：
$a = \frac{46 - 6b}{5}$
因为$a$、$b$都是正整数，因此$46-6b$为大于0的5的倍数：
当$b=1$时，$a=\frac{46-6×1}{5}=8$，符合要求；
当$b=6$时，$a=\frac{46-6×6}{5}=2$，符合要求。
其余正整数$b$对应的$a$均不为正整数。
综上，该校共有2种租车方案：
方案一：租用A型车8辆，B型车1辆；
方案二：租用A型车2辆，B型车6辆。
解析
【分析】
(1) 要求1辆A型车、1辆B型车满载单次的运量，可分别设两个未知数，根据题目给出的两种车辆搭配的运土总量，得到两个等量关系，列二元一次方程组即可求解。
(2) 先计算单辆A型车、B型车20天的总运量，结合总运土量列出关于租用A、B型车数量的等式；由于车辆数为正整数，因此求出该二元一次方程的所有正整数解，即为符合要求的租车方案。
【解析】
(1) 设1辆A型车满载一次可运泥土$x$吨，1辆B型车满载一次可运泥土$y$吨。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 3x + 2y = 60 \\ 2x + 3y = 65 \end{cases}$
解方程组：给第一个方程乘3得$9x+6y=180$，第二个方程乘2得$4x+6y=130$，两式相减得$5x=50$，解得$x=10$，将$x=10$代入$3x+2y=60$，得$30+2y=60$，解得$y=15$。
答：1辆A型车满载一次可运泥土10吨，1辆B型车满载一次可运泥土15吨。
(2) 设该校租用A型车$a$辆，B型车$b$辆，其中$a$、$b$均为正整数。
每辆A型车20天的总运量为：$10×20×20=4000$吨，每辆B型车20天的总运量为：$15×16×20=4800$吨。
根据总运量列等式：$4000a + 4800b = 36800$，两边同时除以800化简得：$5a + 6b = 46$，变形得$a = \frac{46 - 6b}{5}$。
因为$a$、$b$都是正整数，所以$46-6b$必须是正的且是5的倍数：
当$b=1$时，$a=\frac{46-6×1}{5}=8$，为正整数，符合要求；
当$b=6$时，$a=\frac{46-6×6}{5}=2$，为正整数，符合要求；
其余正整数$b$代入后$a$均不是正整数，不符合要求。
综上，该校共有2种租车方案：
方案一：租用A型车8辆，B型车1辆；
方案二：租用A型车2辆，B型车6辆。
【答案】
(1) 1辆A型车满载一次运泥土10吨，1辆B型车满载一次运泥土15吨；
(2) 共2种租车方案：① 租用A型车8辆，B型车1辆；② 租用A型车2辆，B型车6辆。
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 二元一次方程正整数解
3. 方案设计问题
【点评】
本题是贴近生活实际的方程应用类题目，第一问考察根据等量关系列方程组求解的基础能力，第二问需要结合实际意义筛选方程的解，既考察计算能力，也考察结合实际分析问题的能力，解题时注意不要遗漏符合要求的正整数解。
【难度系数】
0.7
(1) 要求1辆A型车、1辆B型车满载单次的运量，可分别设两个未知数，根据题目给出的两种车辆搭配的运土总量，得到两个等量关系，列二元一次方程组即可求解。
(2) 先计算单辆A型车、B型车20天的总运量，结合总运土量列出关于租用A、B型车数量的等式；由于车辆数为正整数，因此求出该二元一次方程的所有正整数解，即为符合要求的租车方案。
【解析】
(1) 设1辆A型车满载一次可运泥土$x$吨，1辆B型车满载一次可运泥土$y$吨。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 3x + 2y = 60 \\ 2x + 3y = 65 \end{cases}$
解方程组：给第一个方程乘3得$9x+6y=180$，第二个方程乘2得$4x+6y=130$，两式相减得$5x=50$，解得$x=10$，将$x=10$代入$3x+2y=60$，得$30+2y=60$，解得$y=15$。
答：1辆A型车满载一次可运泥土10吨，1辆B型车满载一次可运泥土15吨。
(2) 设该校租用A型车$a$辆，B型车$b$辆，其中$a$、$b$均为正整数。
每辆A型车20天的总运量为：$10×20×20=4000$吨，每辆B型车20天的总运量为：$15×16×20=4800$吨。
根据总运量列等式：$4000a + 4800b = 36800$，两边同时除以800化简得：$5a + 6b = 46$，变形得$a = \frac{46 - 6b}{5}$。
因为$a$、$b$都是正整数，所以$46-6b$必须是正的且是5的倍数：
当$b=1$时，$a=\frac{46-6×1}{5}=8$，为正整数，符合要求；
当$b=6$时，$a=\frac{46-6×6}{5}=2$，为正整数，符合要求；
其余正整数$b$代入后$a$均不是正整数，不符合要求。
综上，该校共有2种租车方案：
方案一：租用A型车8辆，B型车1辆；
方案二：租用A型车2辆，B型车6辆。
【答案】
(1) 1辆A型车满载一次运泥土10吨，1辆B型车满载一次运泥土15吨；
(2) 共2种租车方案：① 租用A型车8辆，B型车1辆；② 租用A型车2辆，B型车6辆。
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 二元一次方程正整数解
3. 方案设计问题
【点评】
本题是贴近生活实际的方程应用类题目，第一问考察根据等量关系列方程组求解的基础能力，第二问需要结合实际意义筛选方程的解，既考察计算能力，也考察结合实际分析问题的能力，解题时注意不要遗漏符合要求的正整数解。
【难度系数】
0.7
