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14.如图,周长为4.2 m的长方形ABCD中刚好铺满6块完全相同的小长方形木块,则每块小长方形木块的面积为 ()
A.0.7 m²
B.0.35 m²
C.0.18 m²
D.0.09 m²
A.0.7 m²
B.0.35 m²
C.0.18 m²
D.0.09 m²
答案
C
解析
【分析】
解题时先设小长方形的长为x m，宽为y m，通过观察图形找两个等量关系：一是大长方形上下两条长相等，即2x = x + 2y，可得长和宽的关系；二是大长方形周长为4.2 m，结合长方形周长公式列等式，联立两个式子求解出长和宽，最后计算小长方形面积即可。
【解析】
设每块小长方形木块的长为$x\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$。
1. 由大长方形上下长相等，可得：
$2x = x + 2y$，化简得$x=2y$。
2. 大长方形的长为$2x$，宽为$x+y$，根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，代入已知周长4.2m得：
$2×(2x + x + y)=4.2$，化简得$3x + y = 2.1$。
3. 将$x=2y$代入$3x + y = 2.1$，得：
$3×2y + y=2.1$，即$7y=2.1$，解得$y=0.3$。
则$x=2y=0.6$。
4. 小长方形面积为$x× y=0.6×0.3=0.18\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组应用，长方形周长计算，长方形面积计算
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，解题核心是通过观察图形挖掘小长方形长、宽与大长方形边长的隐含关系，结合已知条件列方程求解。
【难度系数】
0.6
解题时先设小长方形的长为x m，宽为y m，通过观察图形找两个等量关系：一是大长方形上下两条长相等，即2x = x + 2y，可得长和宽的关系；二是大长方形周长为4.2 m，结合长方形周长公式列等式，联立两个式子求解出长和宽，最后计算小长方形面积即可。
【解析】
设每块小长方形木块的长为$x\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$。
1. 由大长方形上下长相等，可得：
$2x = x + 2y$，化简得$x=2y$。
2. 大长方形的长为$2x$，宽为$x+y$，根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，代入已知周长4.2m得：
$2×(2x + x + y)=4.2$，化简得$3x + y = 2.1$。
3. 将$x=2y$代入$3x + y = 2.1$，得：
$3×2y + y=2.1$，即$7y=2.1$，解得$y=0.3$。
则$x=2y=0.6$。
4. 小长方形面积为$x× y=0.6×0.3=0.18\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组应用，长方形周长计算，长方形面积计算
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，解题核心是通过观察图形挖掘小长方形长、宽与大长方形边长的隐含关系，结合已知条件列方程求解。
【难度系数】
0.6
15.某食品加工厂有66名工人生产绿豆礼盒和包装纸盒，每人每天可生产礼盒25个或纸盒30个，1个礼盒配1个纸盒，设安排x人生产礼盒，y人生产纸盒，可列方程组为（）
A.$\begin{cases} x + y = 66, \\ 25x = 30y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 66, \\ 30x = 25y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 66, \\ 25x + 30y = 66 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 66, \\ 25x = 30y + 66 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x + y = 66, \\ 25x = 30y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 66, \\ 30x = 25y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 66, \\ 25x + 30y = 66 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 66, \\ 25x = 30y + 66 \end{cases}$
答案
A
解析
【分析】
解这道题的关键是找到题目中的两个等量关系：首先是总人数的关系，生产礼盒的人数和生产纸盒的人数之和就是工厂的总工人数量；其次是配套关系，题目说明1个礼盒配1个纸盒，也就意味着每天生产的礼盒总数量和纸盒总数量是相等的，根据这两个等量关系就能列出对应的方程组。
【解析】
第一步，根据总人数列方程：工厂共有66名工人，其中x人生产礼盒，y人生产纸盒，因此可得$x + y = 66$；
第二步，根据配套关系列方程：每人每天可生产礼盒25个，x人每天共生产$25x$个礼盒；每人每天可生产纸盒30个，y人每天共生产$30y$个纸盒。由于1个礼盒配1个纸盒，生产的礼盒总数和纸盒总数相等，因此可得$25x = 30y$；
将两个方程联立，得到的方程组与选项A一致，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；配套问题
【点评】
本题是典型的配套类应用题，核心考查学生从题干中提取等量关系的能力，只要准确梳理总人数和配套数量两个核心条件，就能快速列出方程组得到正确答案。
【难度系数】
0.8
解这道题的关键是找到题目中的两个等量关系：首先是总人数的关系，生产礼盒的人数和生产纸盒的人数之和就是工厂的总工人数量；其次是配套关系，题目说明1个礼盒配1个纸盒，也就意味着每天生产的礼盒总数量和纸盒总数量是相等的，根据这两个等量关系就能列出对应的方程组。
【解析】
第一步，根据总人数列方程：工厂共有66名工人，其中x人生产礼盒，y人生产纸盒，因此可得$x + y = 66$；
第二步，根据配套关系列方程：每人每天可生产礼盒25个，x人每天共生产$25x$个礼盒；每人每天可生产纸盒30个，y人每天共生产$30y$个纸盒。由于1个礼盒配1个纸盒，生产的礼盒总数和纸盒总数相等，因此可得$25x = 30y$；
将两个方程联立，得到的方程组与选项A一致，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；配套问题
【点评】
本题是典型的配套类应用题，核心考查学生从题干中提取等量关系的能力，只要准确梳理总人数和配套数量两个核心条件，就能快速列出方程组得到正确答案。
【难度系数】
0.8
16.某班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为$5:2$，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（）
A.15名
B.16名
C.17名
D.18名
A.15名
B.16名
C.17名
D.18名
答案
B
解析
【分析】
这是一道结合比例的一元一次方程应用题，解题时先梳理两次人数变化的等量关系：①女生走8人后，男生人数与此时女生人数的比为5:2；②男生在女生走后再走12人，此时男女同学人数相等。我们可以先根据比例关系设未知数，再结合人数相等的等量关系列方程求解，最后反推最初的女同学人数即可。
【解析】
解：设女同学走了8名后，女生人数为$2x$名，由此时男女同学之比为$5:2$，可得此时男生人数为$5x$名。
根据“男同学走了12名后男女同学人数相同”，列方程：
$5x - 12 = 2x$
移项得：$5x - 2x = 12$
合并同类项得：$3x = 12$
解得：$x = 4$
则女同学走了8名后女生人数为$2x = 2×4 = 8$名，
最初的女同学人数为$8 + 8 = 16$名。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用、比例的应用
【点评】
本题是典型的方程结合比例的应用题，解题核心是准确梳理人数变化过程中的等量关系，利用比例设未知数可有效降低计算难度，掌握基础方程解法就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
这是一道结合比例的一元一次方程应用题，解题时先梳理两次人数变化的等量关系：①女生走8人后，男生人数与此时女生人数的比为5:2；②男生在女生走后再走12人，此时男女同学人数相等。我们可以先根据比例关系设未知数，再结合人数相等的等量关系列方程求解，最后反推最初的女同学人数即可。
【解析】
解：设女同学走了8名后，女生人数为$2x$名，由此时男女同学之比为$5:2$，可得此时男生人数为$5x$名。
根据“男同学走了12名后男女同学人数相同”，列方程：
$5x - 12 = 2x$
移项得：$5x - 2x = 12$
合并同类项得：$3x = 12$
解得：$x = 4$
则女同学走了8名后女生人数为$2x = 2×4 = 8$名，
最初的女同学人数为$8 + 8 = 16$名。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用、比例的应用
【点评】
本题是典型的方程结合比例的应用题，解题核心是准确梳理人数变化过程中的等量关系，利用比例设未知数可有效降低计算难度，掌握基础方程解法就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
17. 实验中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了以“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校用480元钱购买A，B两种图书，其中A图书每套16元，B图书每套24元，购买方案有（）
A.11种
B.10种
C.9种
D.8种
A.11种
B.10种
C.9种
D.8种
答案
C
解析
【分析】
我们首先设购买A、B两种图书的数量为未知数，根据总花费列二元一次方程，再结合“购买两种图书，数量为正整数”的实际限制，找出所有符合要求的整数解，解的数量就是方案种数。
【解析】
设购买A种图书x套，B种图书y套，x、y均为正整数。
根据总费用为480元列方程：
$16x + 24y = 480$
化简方程：两边同时除以8得 $2x + 3y = 60$
变形得 $x = 30 - \frac{3y}{2}$
因为x为正整数，所以$\frac{3y}{2}$必须是整数，且$x＞0$，因此：
1. y是偶数；
2. $30 - \frac{3y}{2} ＞ 0$，解得$y ＜ 20$
又因为y是正整数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18，共9个取值，每个取值对应唯一的正整数x，即共有9种购买方案。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程应用，整数解求解
【点评】
本题结合实际生活场景考查二元一次方程的整数解问题，解题时要注意未知数的实际意义，排除不符合要求的解，避免多算或漏算。
【难度系数】
0.7
我们首先设购买A、B两种图书的数量为未知数，根据总花费列二元一次方程，再结合“购买两种图书，数量为正整数”的实际限制，找出所有符合要求的整数解，解的数量就是方案种数。
【解析】
设购买A种图书x套，B种图书y套，x、y均为正整数。
根据总费用为480元列方程：
$16x + 24y = 480$
化简方程：两边同时除以8得 $2x + 3y = 60$
变形得 $x = 30 - \frac{3y}{2}$
因为x为正整数，所以$\frac{3y}{2}$必须是整数，且$x＞0$，因此：
1. y是偶数；
2. $30 - \frac{3y}{2} ＞ 0$，解得$y ＜ 20$
又因为y是正整数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18，共9个取值，每个取值对应唯一的正整数x，即共有9种购买方案。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程应用，整数解求解
【点评】
本题结合实际生活场景考查二元一次方程的整数解问题，解题时要注意未知数的实际意义，排除不符合要求的解，避免多算或漏算。
【难度系数】
0.7
18.某铁路桥长 1 000 m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1 min，整列火车完全在桥上的时间共 40 s.设火车的速度为 x m/s，火车的长度为 y m，则可列方程组为.
答案
解：
1 min = 60 s
根据题意，火车从开始上桥到完全过桥行驶的路程为桥长与火车长度之和，整列火车完全在桥上行驶的路程为桥长与火车长度之差，可列方程组：
$\begin{cases}60x = 1000 + y \\40x = 1000 - y\end{cases}$
1 min = 60 s
根据题意，火车从开始上桥到完全过桥行驶的路程为桥长与火车长度之和，整列火车完全在桥上行驶的路程为桥长与火车长度之差，可列方程组：
$\begin{cases}60x = 1000 + y \\40x = 1000 - y\end{cases}$
解析
【分析】
要列出正确的方程组，首先需要找到两个对应的等量关系，解题步骤如下：第一步先统一单位，题目中时间单位有分钟和秒，速度单位是m/s，所以先把1 min换算为60 s；第二步分别分析两种行驶状态下火车行驶的总路程：①火车从开始上桥到完全过桥，是指从车头接触桥头到车尾离开桥尾的过程，此时车头行驶的总路程等于桥长加上火车自身的长度；②整列火车完全在桥上，是指从车尾进入桥头到车头即将离开桥尾的过程，此时车头行驶的总路程等于桥长减去火车自身的长度；最后结合“路程=速度×时间”的公式，分别列出两个等式即可得到方程组。
【解析】
首先进行单位换算：$\boldsymbol{1\ \mathrm{min} = 60\ \mathrm{s}}$
1. 分析“火车从开始上桥到完全过桥”的过程：
行驶总路程 = 桥长 + 火车长度，根据路程=速度×时间，可得：
$60x = 1000 + y$
2. 分析“整列火车完全在桥上”的过程：
行驶总路程 = 桥长 - 火车长度，根据路程=速度×时间，可得：
$40x = 1000 - y$
联立两个等式即可得到方程组。
【答案】
$\begin{cases}60x = 1000 + y \\40x = 1000 - y\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，行程过桥问题，单位换算
【点评】
本题是行程类方程应用的典型题型，解题核心是准确区分两种不同行驶场景下火车的实际行驶路程，需注意火车自身长度对总路程的影响，同时要保证运算前单位统一，避免因单位不匹配出错。
【难度系数】
0.7
要列出正确的方程组，首先需要找到两个对应的等量关系，解题步骤如下：第一步先统一单位，题目中时间单位有分钟和秒，速度单位是m/s，所以先把1 min换算为60 s；第二步分别分析两种行驶状态下火车行驶的总路程：①火车从开始上桥到完全过桥，是指从车头接触桥头到车尾离开桥尾的过程，此时车头行驶的总路程等于桥长加上火车自身的长度；②整列火车完全在桥上，是指从车尾进入桥头到车头即将离开桥尾的过程，此时车头行驶的总路程等于桥长减去火车自身的长度；最后结合“路程=速度×时间”的公式，分别列出两个等式即可得到方程组。
【解析】
首先进行单位换算：$\boldsymbol{1\ \mathrm{min} = 60\ \mathrm{s}}$
1. 分析“火车从开始上桥到完全过桥”的过程：
行驶总路程 = 桥长 + 火车长度，根据路程=速度×时间，可得：
$60x = 1000 + y$
2. 分析“整列火车完全在桥上”的过程：
行驶总路程 = 桥长 - 火车长度，根据路程=速度×时间，可得：
$40x = 1000 - y$
联立两个等式即可得到方程组。
【答案】
$\begin{cases}60x = 1000 + y \\40x = 1000 - y\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，行程过桥问题，单位换算
【点评】
本题是行程类方程应用的典型题型，解题核心是准确区分两种不同行驶场景下火车的实际行驶路程，需注意火车自身长度对总路程的影响，同时要保证运算前单位统一，避免因单位不匹配出错。
【难度系数】
0.7
