登录
13 先化简：$(1+\dfrac{1}{a})÷\dfrac{a^2 -1}{a}-\dfrac{2a -2}{a^2 -2a +1}$，再从$-1,0,1,2$中取一个合适的数作为$a$的值代入求值。
答案
13.解:$(1+\dfrac{1}{a})÷\dfrac{a^2-1}{a}-\dfrac{2a-2}{a^2-2a+1}=\dfrac{a+1}{a}÷\dfrac{(a-1)(a+1)}{a}-\dfrac{2(a-1)}{(a-1)^2}$
$=\dfrac{a+1}{a}·\dfrac{a}{(a-1)(a+1)}-\dfrac{2(a-1)}{(a-1)^2}=\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{2}{a-1}=\dfrac{1}{1-a}$.
$∵a≠0,a^2-1≠0,∴a≠0,a≠±1$.当$a=2$时,原式$=\dfrac{1}{1-2}=-1$.
$=\dfrac{a+1}{a}·\dfrac{a}{(a-1)(a+1)}-\dfrac{2(a-1)}{(a-1)^2}=\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{2}{a-1}=\dfrac{1}{1-a}$.
$∵a≠0,a^2-1≠0,∴a≠0,a≠±1$.当$a=2$时,原式$=\dfrac{1}{1-2}=-1$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步先处理分式混合运算，先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，同时对各分式的分子、分母因式分解，约分后计算减法得到最简结果；第二步确定a的合法取值，需保证原式中所有分母、除式均不为0，排除不符合要求的数值；第三步将合法的a值代入最简式计算最终结果。
【解析】
先计算括号内的加法：$1+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a}{a}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a+1}{a}$，
再对各分式的分子、分母因式分解：
$\dfrac{a^2-1}{a}=\dfrac{(a+1)(a-1)}{a}$，$\dfrac{2a-2}{a^2-2a+1}=\dfrac{2(a-1)}{(a-1)^2}$，
将除法转化为乘法，原式改写为：
$\dfrac{a+1}{a}·\dfrac{a}{(a+1)(a-1)} - \dfrac{2(a-1)}{(a-1)^2}$，
约分后得：$\dfrac{1}{a-1} - \dfrac{2}{a-1}$，
合并计算得最简式：$\dfrac{1-2}{a-1}=\dfrac{-1}{a-1}=\dfrac{1}{1-a}$。
再确定a的取值范围：要使原式有意义，需满足所有分母、除式不为0，即$a≠0$，$a^2-1≠0$，$a^2-2a+1≠0$，解得$a≠0$且$a≠±1$，因此从给定的数中只能选$a=2$。
将$a=2$代入最简式得：$\dfrac{1}{1-2}=-1$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{1-a}$，当$a=2$时，原式的值为$-1$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的常考题型，既考查了分式混合运算的顺序和约分技巧，也设置了取值限制的易错点，解题时要先判断取值的合法性，避免代入使原式无意义的数值导致错误。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步先处理分式混合运算，先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，同时对各分式的分子、分母因式分解，约分后计算减法得到最简结果；第二步确定a的合法取值，需保证原式中所有分母、除式均不为0，排除不符合要求的数值；第三步将合法的a值代入最简式计算最终结果。
【解析】
先计算括号内的加法：$1+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a}{a}+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a+1}{a}$，
再对各分式的分子、分母因式分解：
$\dfrac{a^2-1}{a}=\dfrac{(a+1)(a-1)}{a}$，$\dfrac{2a-2}{a^2-2a+1}=\dfrac{2(a-1)}{(a-1)^2}$，
将除法转化为乘法，原式改写为：
$\dfrac{a+1}{a}·\dfrac{a}{(a+1)(a-1)} - \dfrac{2(a-1)}{(a-1)^2}$，
约分后得：$\dfrac{1}{a-1} - \dfrac{2}{a-1}$，
合并计算得最简式：$\dfrac{1-2}{a-1}=\dfrac{-1}{a-1}=\dfrac{1}{1-a}$。
再确定a的取值范围：要使原式有意义，需满足所有分母、除式不为0，即$a≠0$，$a^2-1≠0$，$a^2-2a+1≠0$，解得$a≠0$且$a≠±1$，因此从给定的数中只能选$a=2$。
将$a=2$代入最简式得：$\dfrac{1}{1-2}=-1$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{1-a}$，当$a=2$时，原式的值为$-1$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的常考题型，既考查了分式混合运算的顺序和约分技巧，也设置了取值限制的易错点，解题时要先判断取值的合法性，避免代入使原式无意义的数值导致错误。
【难度系数】
0.7
14 如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种m颗花种，哪一个花坛的撒播密度大？（撒播密度=$\frac{花种数量}{撒播面积}$）
答案
14.解:$∵S_{甲阴影}=a^2-b^2,S_{乙阴影}=π(\dfrac{a}{2})^2-π(\dfrac{b}{2})^2=\dfrac{π}{4}(a^2-b^2)$,
$∴$甲花坛的撒播密度为$\dfrac{m}{S_{甲阴影}}=\dfrac{m}{a^2-b^2}$，
乙花坛的撒播密度为$\dfrac{m}{S_{乙阴影}}=\dfrac{m}{\dfrac{π}{4}(a^2-b^2)}=\dfrac{4m}{π(a^2-b^2)}$.
$∵\dfrac{m}{a^2-b^2}÷\dfrac{4m}{π(a^2-b^2)}=\dfrac{m}{a^2-b^2}·\dfrac{π(a^2-b^2)}{4m}=\dfrac{π}{4}＜1,∴$乙花坛的撒播密度大.
$∴$甲花坛的撒播密度为$\dfrac{m}{S_{甲阴影}}=\dfrac{m}{a^2-b^2}$，
乙花坛的撒播密度为$\dfrac{m}{S_{乙阴影}}=\dfrac{m}{\dfrac{π}{4}(a^2-b^2)}=\dfrac{4m}{π(a^2-b^2)}$.
$∵\dfrac{m}{a^2-b^2}÷\dfrac{4m}{π(a^2-b^2)}=\dfrac{m}{a^2-b^2}·\dfrac{π(a^2-b^2)}{4m}=\dfrac{π}{4}＜1,∴$乙花坛的撒播密度大.
解析
【分析】
要判断哪个花坛撒播密度更大，首先明确撒播密度的计算公式为花种数量除以撒播面积，所以解题分三步进行：第一步先分别求出甲、乙两个阴影花坛的面积，甲的阴影面积是大正方形面积减去内部小正方形面积，乙的阴影面积是大圆面积减去内部小圆面积；第二步结合花种数量均为m，分别写出两个花坛撒播密度的代数式；第三步比较两个密度代数式的大小，由于两个密度均为正数，可通过作商法比较大小，商小于1说明被除数更小，对应密度更小。
【解析】
首先计算两个花坛的阴影面积：
甲阴影面积：$S_{甲阴影}=a^2 - b^2$
乙阴影面积：$S_{乙阴影}=π(\frac{a}{2})^2 - π(\frac{b}{2})^2 = \frac{π}{4}(a^2 - b^2)$
根据撒播密度$=\frac{花种数量}{撒播面积}$，已知花种数量均为m：
甲花坛撒播密度：$\frac{m}{S_{甲阴影}}=\frac{m}{a^2 - b^2}$
乙花坛撒播密度：$\frac{m}{S_{乙阴影}}=\frac{m}{\frac{π}{4}(a^2 - b^2)}=\frac{4m}{π(a^2 - b^2)}$
用作商法比较两个密度的大小（$a＞b＞0$，因此两个密度均为正数）：
$\frac{m}{a^2 - b^2} ÷ \frac{4m}{π(a^2 - b^2)} = \frac{m}{a^2 - b^2} · \frac{π(a^2 - b^2)}{4m} = \frac{π}{4} ＜ 1$
可得$\frac{m}{a^2 - b^2} ＜ \frac{4m}{π(a^2 - b^2)}$，即甲的密度小于乙的密度。
【答案】
乙花坛的撒播密度大。
【知识点】
阴影面积计算、分式运算、作商法比较大小
【点评】
本题结合实际场景考查几何面积计算与分式的应用，解题核心是正确求出阴影部分面积，再根据给定公式列出代数式比较大小，注意解题时要利用$a＞b$的隐含条件，保证大小比较的合理性。
【难度系数】
0.7
要判断哪个花坛撒播密度更大，首先明确撒播密度的计算公式为花种数量除以撒播面积，所以解题分三步进行：第一步先分别求出甲、乙两个阴影花坛的面积，甲的阴影面积是大正方形面积减去内部小正方形面积，乙的阴影面积是大圆面积减去内部小圆面积；第二步结合花种数量均为m，分别写出两个花坛撒播密度的代数式；第三步比较两个密度代数式的大小，由于两个密度均为正数，可通过作商法比较大小，商小于1说明被除数更小，对应密度更小。
【解析】
首先计算两个花坛的阴影面积：
甲阴影面积：$S_{甲阴影}=a^2 - b^2$
乙阴影面积：$S_{乙阴影}=π(\frac{a}{2})^2 - π(\frac{b}{2})^2 = \frac{π}{4}(a^2 - b^2)$
根据撒播密度$=\frac{花种数量}{撒播面积}$，已知花种数量均为m：
甲花坛撒播密度：$\frac{m}{S_{甲阴影}}=\frac{m}{a^2 - b^2}$
乙花坛撒播密度：$\frac{m}{S_{乙阴影}}=\frac{m}{\frac{π}{4}(a^2 - b^2)}=\frac{4m}{π(a^2 - b^2)}$
用作商法比较两个密度的大小（$a＞b＞0$，因此两个密度均为正数）：
$\frac{m}{a^2 - b^2} ÷ \frac{4m}{π(a^2 - b^2)} = \frac{m}{a^2 - b^2} · \frac{π(a^2 - b^2)}{4m} = \frac{π}{4} ＜ 1$
可得$\frac{m}{a^2 - b^2} ＜ \frac{4m}{π(a^2 - b^2)}$，即甲的密度小于乙的密度。
【答案】
乙花坛的撒播密度大。
【知识点】
阴影面积计算、分式运算、作商法比较大小
【点评】
本题结合实际场景考查几何面积计算与分式的应用，解题核心是正确求出阴影部分面积，再根据给定公式列出代数式比较大小，注意解题时要利用$a＞b$的隐含条件，保证大小比较的合理性。
【难度系数】
0.7
15 观察下列等式：
第1个等式：$1+\frac{5}{1×4}=\frac{9}{1×4}$；
第2个等式：$1+\frac{6}{2×5}=\frac{16}{2×5}$；
第3个等式：$1+\frac{7}{3×6}=\frac{25}{3×6}$；
第4个等式：$1+\frac{8}{4×7}=\frac{36}{4×7}$；
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明。
第1个等式：$1+\frac{5}{1×4}=\frac{9}{1×4}$；
第2个等式：$1+\frac{6}{2×5}=\frac{16}{2×5}$；
第3个等式：$1+\frac{7}{3×6}=\frac{25}{3×6}$；
第4个等式：$1+\frac{8}{4×7}=\frac{36}{4×7}$；
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：
$1+\frac{9}{5×8}=\frac{49}{5×8}$
；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明。
答案
15.解:(1)$1+\dfrac{9}{5×8}=\dfrac{49}{5×8}$
(2)第$n$个等式:$1+\dfrac{n+4}{n(n+3)}=\dfrac{(n+2)^2}{n(n+3)}$.
证明:等式左边$=1+\dfrac{n+4}{n(n+3)}=\dfrac{n(n+3)}{n(n+3)}+\dfrac{n+4}{n(n+3)}=\dfrac{n(n+3)+n+4}{n(n+3)}=\dfrac{n^2+4n+4}{n(n+3)}=\dfrac{(n+2)^2}{n(n+3)}$,左边=右边,即等式成立.
(2)第$n$个等式:$1+\dfrac{n+4}{n(n+3)}=\dfrac{(n+2)^2}{n(n+3)}$.
证明:等式左边$=1+\dfrac{n+4}{n(n+3)}=\dfrac{n(n+3)}{n(n+3)}+\dfrac{n+4}{n(n+3)}=\dfrac{n(n+3)+n+4}{n(n+3)}=\dfrac{n^2+4n+4}{n(n+3)}=\dfrac{(n+2)^2}{n(n+3)}$,左边=右边,即等式成立.
解析
【分析】
解决这类数式规律探究问题，需逐部分拆解等式，对比各部分与等式序号的对应关系：
1. 先观察左侧固定项为1，分数的分子：第1个是5=1+4，第2个是6=2+4，第3个是7=3+4，因此第k个等式分数分子为k+4；分数的分母：第1个是1×4=1×(1+3)，第2个是2×5=2×(2+3)，第3个是3×6=3×(3+3)，因此第k个等式分数分母为k(k+3)。
2. 再观察右侧：分母和左侧分数分母相同，分子是平方数，第1个是9=(1+2)²，第2个是16=(2+2)²，第3个是25=(3+2)²，因此第k个等式右侧分子为(k+2)²。
3. 求第5个等式时将k=5代入上述规律即可；求第n个等式时将k替换为n，证明时只需将左侧通分化简，验证和右侧相等即可。
【解析】
(1) 当序号为5时，分数分子为5+4=9，分母为5×(5+3)=5×8，右侧分子为(5+2)²=49，因此第5个等式为$1+\frac{9}{5×8}=\frac{49}{5×8}$。
(2) 猜想第n个等式为$1+\frac{n+4}{n(n+3)}=\frac{(n+2)^2}{n(n+3)}$，证明如下：
等式左边通分计算：
$\begin{aligned}左边&=\frac{n(n+3)}{n(n+3)}+\frac{n+4}{n(n+3)}\\&=\frac{n(n+3)+n+4}{n(n+3)}\\&=\frac{n^2+3n+n+4}{n(n+3)}\\&=\frac{n^2+4n+4}{n(n+3)}\\&=\frac{(n+2)^2}{n(n+3)}\end{aligned}$
左边化简后与右边相等，因此等式成立。
【答案】
(1)$1+\dfrac{9}{5×8}=\dfrac{49}{5×8}$
(2)第$n$个等式:$1+\dfrac{n+4}{n(n+3)}=\dfrac{(n+2)^2}{n(n+3)}$，证明如上。
【知识点】
数式规律探究，分式加减运算，完全平方公式
【点评】
本题是典型的规律探究类常考题型，侧重考查观察归纳能力与代数式运算能力，解题关键是找准等式各部分与序号的对应关系，证明过程需熟练掌握分式通分及整式化简的方法。
【难度系数】
0.7
解决这类数式规律探究问题，需逐部分拆解等式，对比各部分与等式序号的对应关系：
1. 先观察左侧固定项为1，分数的分子：第1个是5=1+4，第2个是6=2+4，第3个是7=3+4，因此第k个等式分数分子为k+4；分数的分母：第1个是1×4=1×(1+3)，第2个是2×5=2×(2+3)，第3个是3×6=3×(3+3)，因此第k个等式分数分母为k(k+3)。
2. 再观察右侧：分母和左侧分数分母相同，分子是平方数，第1个是9=(1+2)²，第2个是16=(2+2)²，第3个是25=(3+2)²，因此第k个等式右侧分子为(k+2)²。
3. 求第5个等式时将k=5代入上述规律即可；求第n个等式时将k替换为n，证明时只需将左侧通分化简，验证和右侧相等即可。
【解析】
(1) 当序号为5时，分数分子为5+4=9，分母为5×(5+3)=5×8，右侧分子为(5+2)²=49，因此第5个等式为$1+\frac{9}{5×8}=\frac{49}{5×8}$。
(2) 猜想第n个等式为$1+\frac{n+4}{n(n+3)}=\frac{(n+2)^2}{n(n+3)}$，证明如下：
等式左边通分计算：
$\begin{aligned}左边&=\frac{n(n+3)}{n(n+3)}+\frac{n+4}{n(n+3)}\\&=\frac{n(n+3)+n+4}{n(n+3)}\\&=\frac{n^2+3n+n+4}{n(n+3)}\\&=\frac{n^2+4n+4}{n(n+3)}\\&=\frac{(n+2)^2}{n(n+3)}\end{aligned}$
左边化简后与右边相等，因此等式成立。
【答案】
(1)$1+\dfrac{9}{5×8}=\dfrac{49}{5×8}$
(2)第$n$个等式:$1+\dfrac{n+4}{n(n+3)}=\dfrac{(n+2)^2}{n(n+3)}$，证明如上。
【知识点】
数式规律探究，分式加减运算，完全平方公式
【点评】
本题是典型的规律探究类常考题型，侧重考查观察归纳能力与代数式运算能力，解题关键是找准等式各部分与序号的对应关系，证明过程需熟练掌握分式通分及整式化简的方法。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1 在$\frac{1}{x-2},\frac{1}{(x-2)(x+3)},\frac{1}{(x+3)^2}$通分的过程中，不正确的是 （
A.最简公分母是$(x-2)(x+3)^2$
B.$\frac{1}{x-2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$
C.
D.$\frac{1}{(x+3)^2}=\frac{2x-2}{(x-2)(x+3)^2}$
1 在$\frac{1}{x-2},\frac{1}{(x-2)(x+3)},\frac{1}{(x+3)^2}$通分的过程中，不正确的是 （
D
）A.最简公分母是$(x-2)(x+3)^2$
B.$\frac{1}{x-2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$
C.
D.$\frac{1}{(x+3)^2}=\frac{2x-2}{(x-2)(x+3)^2}$
答案
1.D
解析
【分析】要判断通分过程是否正确，首先明确分式通分的步骤：第一步先确定几个分式的最简公分母，取各分母所有不同因式的最高次幂的乘积；第二步依据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘适当的整式，使分母变为最简公分母，变形前后分式的值不变，再逐个验证选项即可。
【解析】首先分析三个分式的分母：$\frac{1}{x-2}$的分母是$x-2$，$\frac{1}{(x-2)(x+3)}$的分母是$(x-2)(x+3)$，$\frac{1}{(x+3)^2}$的分母是$(x+3)^2$。
1. 确定最简公分母：取各因式的最高次幂，即$(x-2)$的1次，$(x+3)$的2次，因此最简公分母为$(x-2)(x+3)^2$，A选项正确。
2. 对$\frac{1}{x-2}$通分：分母要变为最简公分母，需给分母乘$(x+3)^2$，根据分式基本性质，分子也要乘$(x+3)^2$，可得$\frac{1}{x-2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$，B选项正确。
3. 对$\frac{1}{(x-2)(x+3)}$通分：分母要变为最简公分母，需给分母乘$(x+3)$，分子同步乘$(x+3)$，可得$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$，C选项正确。
4. 对$\frac{1}{(x+3)^2}$通分：分母要变为最简公分母，需给分母乘$(x-2)$，分子同步乘$(x-2)$，可得$\frac{1}{(x+3)^2}=\frac{x-2}{(x-2)(x+3)^2}$，D选项分子为$2x-2$，与计算结果不符，因此D选项错误。
【答案】D
【知识点】分式的通分；分式的基本性质；最简公分母
【点评】本题属于分式通分的基础题型，解题核心是准确确定最简公分母，同时严格遵循分式基本性质变形，避免分子漏乘或错乘对应因式的错误。
【难度系数】0.7
【解析】首先分析三个分式的分母：$\frac{1}{x-2}$的分母是$x-2$，$\frac{1}{(x-2)(x+3)}$的分母是$(x-2)(x+3)$，$\frac{1}{(x+3)^2}$的分母是$(x+3)^2$。
1. 确定最简公分母：取各因式的最高次幂，即$(x-2)$的1次，$(x+3)$的2次，因此最简公分母为$(x-2)(x+3)^2$，A选项正确。
2. 对$\frac{1}{x-2}$通分：分母要变为最简公分母，需给分母乘$(x+3)^2$，根据分式基本性质，分子也要乘$(x+3)^2$，可得$\frac{1}{x-2}=\frac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$，B选项正确。
3. 对$\frac{1}{(x-2)(x+3)}$通分：分母要变为最简公分母，需给分母乘$(x+3)$，分子同步乘$(x+3)$，可得$\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$，C选项正确。
4. 对$\frac{1}{(x+3)^2}$通分：分母要变为最简公分母，需给分母乘$(x-2)$，分子同步乘$(x-2)$，可得$\frac{1}{(x+3)^2}=\frac{x-2}{(x-2)(x+3)^2}$，D选项分子为$2x-2$，与计算结果不符，因此D选项错误。
【答案】D
【知识点】分式的通分；分式的基本性质；最简公分母
【点评】本题属于分式通分的基础题型，解题核心是准确确定最简公分母，同时严格遵循分式基本性质变形，避免分子漏乘或错乘对应因式的错误。
【难度系数】0.7
