6 下列各式与$\frac{x+y}{x-y}$相等的是 （）

A.$\frac{x+y+1}{x-y+1}$
B.$\frac{2x+y}{2x-y}$
C.$\frac{(x+y)^2}{x^2-y^2}$
D.$\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$

6.C

【分析】
要判断哪个分式和$\frac{x+y}{x-y}$相等，核心依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时可以先通过特殊值代入快速排除明显错误的选项，再对剩余选项结合因式分解化简，和原式对比即可，同时要注意分式有意义的隐含条件（分母不为0）。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：分式的基本性质仅适用于分子分母同乘除同一个不为0的整式，加减同一个数不符合性质要求。代入特殊值验证：取$x=2,y=1$，原式$\frac{2+1}{2-1}=3$，A选项$\frac{2+1+1}{2-1+1}=2$，二者不相等，排除A。
2. 选项B：分子分母仅把$x$项乘2，$y$项未乘2，不是整体乘同一个数，不符合分式基本性质。代入$x=2,y=1$，B选项$\frac{4+1}{4-1}=\frac{5}{3}≠3$，排除B。
3. 选项C：先对分母因式分解，根据平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，该分式可写为$\frac{(x+y)^2}{(x+y)(x-y)}$。该分式有意义时，分母$(x+y)(x-y)≠0$，即$x+y≠0$且$x≠ y$，根据分式基本性质，分子分母同除以不为0的$(x+y)$，化简得$\frac{x+y}{x-y}$，和原式完全相等。
4. 选项D：分子$x^2+y^2$不能分解出$(x+y)$的因式，无法化简为原式。代入$x=2,y=1$，D选项$\frac{4+1}{4-1}=\frac{5}{3}≠3$，排除D。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；平方差公式；分式化简
【点评】
这道题是分式性质的基础考查题，解题时要注意分式的基本性质仅针对乘除运算，加减运算不适用；化简分式时要先对分子分母因式分解，同时不能忽略分母不为0的隐含前提。
【难度系数】
0.8

7 如果分式$\frac{xy}{x+y}$中的$x$，$y$都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值 （）

A.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
B.扩大为原来的2倍
C.不变
D.不确定

7.B

【分析】
要解决这道题，首先明确解题思路：先把扩大为原来2倍的x、y（即2x和2y）代入原分式，再依据分式的基本性质化简得到的新分式，最后将化简结果和原分式作对比，就能判断分式值的变化情况。
【解析】
解：原分式为$\frac{xy}{x+y}$，将x、y都扩大为原来的2倍，即把x替换为$2x$，y替换为$2y$，代入分式计算：
新分式的分子：$2x·2y=4xy$
新分式的分母：$2x+2y=2(x+y)$
因此新分式为：
$\frac{4xy}{2(x+y)}=\frac{2xy}{x+y}=2×\frac{xy}{x+y}$
对比原分式可知，所得分式的值扩大为原来的2倍。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.分式的化简 2.分式的基本性质
【点评】
本题属于分式的基础题型，主要考查变量变化时分式值的变化规律，解题关键是准确代入替换后的变量，正确约分后和原式对比即可得出结论，整体解题难度较低。
【难度系数】
0.8

8 如果$\frac{q}{p}=\frac{3}{2}$，那么$\frac{p+q}{p}=$ （）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{2}{5}$

8.C

【分析】
这道题是已知两个字母的比值，求含这两个字母的分式的值，有两种简便解题思路：第一种是利用同分母分式的加法法则，把所求分式拆分成两个分式相加，化简后直接代入已知比值计算；第二种是利用比例的性质设参数表示p和q，再代入所求分式约分得到结果，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
方法一：拆分分式法
根据同分母分式的加法运算规则，可得：
$\frac{p+q}{p}=\frac{p}{p}+\frac{q}{p}=1+\frac{q}{p}$
已知$\frac{q}{p}=\frac{3}{2}$，代入上式计算：
$1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$
方法二：参数法
由$\frac{q}{p}=\frac{3}{2}$，可设$p=2k$，$q=3k$（$k≠0$，保证分母不为0），将其代入所求分式：
$\frac{p+q}{p}=\frac{2k+3k}{2k}=\frac{5k}{2k}=\frac{5}{2}$（$k≠0$，可直接约去公因子k）
【答案】
C
【知识点】
分式的运算，比例的性质
【点评】
本题是分式求值的基础题型，不需要求出p、q的具体数值，灵活运用分式运算规则或比例性质即可快速解题，是对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8

二、填空题
9 已知当$x=1$时，分式$\frac{x-b}{x-a}$没有意义，而当$x=2$时，该分式值为0，则$(a-b)^{2026}=$。

9.1

【分析】
解题需用到分式的两个核心性质：①分式无意义时，分母等于0；②分式值为0时，需同时满足分子等于0、分母不等于0。我们先利用x=1时分式无意义的条件求出a的值，再利用x=2时分式值为0的条件求出b的值，最后代入代数式计算乘方即可。
【解析】
解：
∵当x=1时，分式$\frac{x-b}{x-a}$没有意义
∴此时分母$x-a=0$，代入x=1得：$1-a=0$，解得$a=1$
∵当x=2时，该分式值为0
∴此时分子$x-b=0$且分母$x-a≠0$
先代入分子得：$2-b=0$，解得$b=2$
验证分母：当x=2时，$x-a=2-1=1≠0$，符合要求
∴$a-b=1-2=-1$
∴$(a-b)^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
1
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件；有理数乘方运算
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题的易错点是容易忽略分式值为0时分母不能为0的隐含要求，只要牢记分式相关的概念和限制条件，就能顺利求解。
【难度系数】
0.85

10 不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数：
(1)$\frac{0.3x - 2b}{-a + 0.7b} = \frac{(\quad)}{-10a + 7b}$；
(2) = $\frac{(\quad)}{10x - 2y}$。

10.(1)$3x-20b$ (2)$4x+5y$

【分析】
本题利用分式的基本性质解题：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
(1) 先对比原式分母和目标分母：原式分母为$-a+0.7b$，目标分母为$-10a+7b$，可发现分母乘了10，因此分子也要乘10，即可得到结果；
(2) 对比原式分母和目标分母：原式分母为$\frac{1}{2}x-\frac{1}{10}y$，目标分母为$10x-2y$，计算可得分母乘了20，因此分子也要乘20，计算即可得到结果。
【解析】
(1) 目标分母$-10a+7b = 10×(-a+0.7b)$，即原分母乘10得到目标分母。
根据分式基本性质，分子也需乘10：
$10×(0.3x-2b)=3x-20b$
(2) 目标分母$10x-2y = 20×(\frac{1}{2}x-\frac{1}{10}y)$，即原分母乘20得到目标分母。
根据分式基本性质，分子也需乘20：
$20×(\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}y)=20×\frac{1}{5}x + 20×\frac{1}{4}y=4x+5y$
【答案】
(1)$3x-20b$；(2)$4x+5y$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 分式系数化整
【点评】
本题是分式性质的基础应用，解题核心是先确定分母的乘除变化倍数，再将分子做相同的乘除运算，计算时注意要乘到分子、分母的每一项，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.85

11 如图，某玻璃瓶内装有$ a $ cm高的墨水，将瓶盖盖好后倒立放置（如图），此时有墨水的部分高为$ h $ cm，没有墨水的部分高为$ b $ cm，则瓶内墨水的体积约占玻璃瓶容积的。

11.$\frac{a}{a+b}$

【分析】
解题的核心是抓住两个不变量：一是墨水的体积始终不变，二是玻璃瓶的总容积固定。我们可以先设玻璃瓶的底面积为S，分别表示出正放时墨水的体积、倒放时空余部分的体积，两者相加得到瓶子总容积，再计算墨水体积和总容积的比值即可，计算过程中底面积S会被约去，不影响最终结果。
【解析】
设玻璃瓶的底面积为$S\ \mathrm{cm}^2$：
1. 正放时墨水高度为$a\ \mathrm{cm}$，因此墨水的体积为：$V_{\mathrm{墨}}=aS\ \mathrm{cm}^3$；
2. 倒立放置时，无墨水的部分高度为$b\ \mathrm{cm}$，因此空余部分的体积为：$V_{\mathrm{空}}=bS\ \mathrm{cm}^3$；
3. 玻璃瓶的总容积等于墨水体积加空余部分体积：$V_{\mathrm{总}}=V_{\mathrm{墨}}+V_{\mathrm{空}}=aS+bS=S(a+b)\ \mathrm{cm}^3$；
4. 计算墨水体积占总容积的比例：$\frac{V_{\mathrm{墨}}}{V_{\mathrm{总}}}=\frac{aS}{S(a+b)}=\frac{a}{a+b}$（$S≠0$，可约去）。
【答案】
$\frac{a}{a+b}$
【知识点】
圆柱体积计算，体积不变原理，分式化简
【点评】
本题结合生活场景考查体积的实际应用，解题关键是理清正放、倒放两种状态下各部分体积的关系，通过设底面积的方法建立数量关系，最终约去公共参数得到比值，解题思路灵活但难度不高。
【难度系数】
0.7

三、解答题
12 (1)当$x$取什么值时，分式$\frac{3x - 6}{2x + 1}$的值为0？
(2)当$x$取什么值时，分式$\frac{2x + 1}{x^2}$的值为正？
(3)当$x$取什么值时，分式$\frac{x - 2}{x^2}$的值为负？

12.解:(1)由题意,得$3x-6=0,2x+1≠0,∴x=2$.
(2)由题意,得$2x+1$与$x^2$同号.
$∵x≠0,∴x^2＞0,∴2x+1＞0$,解得$x＞-\frac{1}{2}$.
(3)由题意,得$x-2$与$x^2$异号.$∵x≠0,∴x^2＞0,∴x-2＜0$,解得$x＜2$.

【分析】
(1) 求解分式值为0的问题，需牢记两个必须同时满足的核心条件：一是分子等于0，二是分母不等于0（保证分式有意义），先解分子为0的方程，再验证分母不为0即可得到结果。
(2) 分式值为正，说明分子和分母符号相同（同正或同负），首先要保证分母不为0，本题分母是平方数$x^2$，平方数非负，因此只要$x≠0$，$x^2$就恒大于0，此时只需让分子也大于0，就能满足分式值为正的要求。
(3) 分式值为负，说明分子和分母符号相反（一正一负），同样先保证分母不为0，此时$x^2$恒大于0，因此只需让分子小于0，即可满足分式值为负的要求。
【解析】
(1) 若分式$\frac{3x - 6}{2x + 1}$的值为0，需满足：
$\begin{cases}3x-6=0 \\ 2x+1≠0 \end{cases}$
解$3x-6=0$得$x=2$，代入$2x+1$验证得$2×2+1=5≠0$，符合条件。
(2) 若分式$\frac{2x + 1}{x^2}$的值为正，需分子分母同号，且$x^2≠0$即$x≠0$。
当$x≠0$时$x^2＞0$，因此只需$2x+1＞0$，解不等式得$x＞-\frac{1}{2}$。
(3) 若分式$\frac{x - 2}{x^2}$的值为负，需分子分母异号，且$x^2≠0$即$x≠0$。
当$x≠0$时$x^2＞0$，因此只需$x-2＜0$，解不等式得$x＜2$。
【答案】
(1) $x=2$；(2) $x＞-\frac{1}{2}$；(3) $x＜2$
【知识点】
分式值为0的条件，分式有意义的条件，一元一次不等式求解
【点评】
本题属于分式性质的基础应用题型，解题的关键是优先确认分式有意义的前提（分母不为0），再结合分式值的对应要求列等式或不等式求解，要注意避免遗漏分母的限制条件导致错误。
【难度系数】
0.7