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1 代数式$-\frac{3}{4}x,\frac{1}{π},\frac{2}{x^2+1},x^2-\frac{2}{3},\frac{1}{x},\frac{x+1}{x+2}$中，属于分式的有 （
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1.B
解析
【分析】
要判断给出的代数式哪些是分式，首先需明确分式的判定标准：分式是形如$\frac{A}{B}$的式子，其中$A$、$B$都是整式，且$B$中必须含有字母（注意$π$是固定常数，不属于字母）。解题时只需逐个核对每个代数式是否满足上述分式的条件，统计符合条件的个数即可选出正确答案。
【解析】
根据分式的定义逐个分析代数式：
1. $-\frac{3}{4}x$：属于单项式，分母不含字母，是整式，不是分式；
2. $\frac{1}{π}$：$π$是常数，分母为固定数值，是整式，不是分式；
3. $\frac{2}{x^2+1}$：分母$x^2+1$含有字母$x$，符合分式定义，是分式；
4. $x^2-\frac{2}{3}$：属于多项式，分母不含字母，是整式，不是分式；
5. $\frac{1}{x}$：分母$x$是字母，符合分式定义，是分式；
6. $\frac{x+1}{x+2}$：分母$x+2$含有字母$x$，符合分式定义，是分式。
综上，属于分式的共有3个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义；整式与分式的区分
【点评】
本题是分式概念的基础考查题，易错点是容易误将常数$π$当作字母，把$\frac{1}{π}$判断为分式，解题时只要牢牢抓住“分母含字母”这个分式的核心判定特征，就能避免出错。
【难度系数】
0.7
要判断给出的代数式哪些是分式，首先需明确分式的判定标准：分式是形如$\frac{A}{B}$的式子，其中$A$、$B$都是整式，且$B$中必须含有字母（注意$π$是固定常数，不属于字母）。解题时只需逐个核对每个代数式是否满足上述分式的条件，统计符合条件的个数即可选出正确答案。
【解析】
根据分式的定义逐个分析代数式：
1. $-\frac{3}{4}x$：属于单项式，分母不含字母，是整式，不是分式；
2. $\frac{1}{π}$：$π$是常数，分母为固定数值，是整式，不是分式；
3. $\frac{2}{x^2+1}$：分母$x^2+1$含有字母$x$，符合分式定义，是分式；
4. $x^2-\frac{2}{3}$：属于多项式，分母不含字母，是整式，不是分式；
5. $\frac{1}{x}$：分母$x$是字母，符合分式定义，是分式；
6. $\frac{x+1}{x+2}$：分母$x+2$含有字母$x$，符合分式定义，是分式。
综上，属于分式的共有3个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义；整式与分式的区分
【点评】
本题是分式概念的基础考查题，易错点是容易误将常数$π$当作字母，把$\frac{1}{π}$判断为分式，解题时只要牢牢抓住“分母含字母”这个分式的核心判定特征，就能避免出错。
【难度系数】
0.7
2 若分式$\frac{x+1}{x^2 -1}$有意义，则$x$的取值范围是 （
A.$x≠0$
B.$x≠-1$
C.$x≠1$
D.$x≠±1$
D
）A.$x≠0$
B.$x≠-1$
C.$x≠1$
D.$x≠±1$
答案
2.D
解析
【分析】
要确定分式有意义时x的取值范围，需依据分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。本题只需令分母$x^2 -1$不等于0，求解对应不等式即可得到结果。注意解题时不要提前对分子分母约分，否则会漏掉$x=-1$的限制条件，导致结果出错。
【解析】
解：根据分式有意义的条件，分母不为0，可列不等式：
$x^2 - 1 ≠ 0$
移项得：$x^2 ≠ 1$
解得：$x ≠ 1$且$x ≠ -1$，即$x ≠ \pm1$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件、解不等式、平方的性质
【点评】
本题属于分式章节的基础题型，重点考察分式有意义的判定规则，做题时要以原式的分母不为0作为判断前提，不要随意约分分子分母的公因式，避免遗漏限制条件出现错误。
【难度系数】
0.7
要确定分式有意义时x的取值范围，需依据分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。本题只需令分母$x^2 -1$不等于0，求解对应不等式即可得到结果。注意解题时不要提前对分子分母约分，否则会漏掉$x=-1$的限制条件，导致结果出错。
【解析】
解：根据分式有意义的条件，分母不为0，可列不等式：
$x^2 - 1 ≠ 0$
移项得：$x^2 ≠ 1$
解得：$x ≠ 1$且$x ≠ -1$，即$x ≠ \pm1$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件、解不等式、平方的性质
【点评】
本题属于分式章节的基础题型，重点考察分式有意义的判定规则，做题时要以原式的分母不为0作为判断前提，不要随意约分分子分母的公因式，避免遗漏限制条件出现错误。
【难度系数】
0.7
3 若分式$\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$的值为0，则$x$的值为 （
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$\pm1$
A
）A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$\pm1$
答案
3.A
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个核心条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不能为0（保证分式本身有意义）。解题时先求解分子等于0时x的所有可能取值，再代入分母验证，排除掉使分母为0的x值，剩下的就是符合要求的结果。
【解析】
解：分式的值为0需同时满足以下两个条件：
1. 分子的值为0：
$x^2 - 1 = 0$
因式分解得：$(x+1)(x-1)=0$
解得：$x=1$ 或 $x=-1$
2. 分母的值不为0：
$x^2 + x - 2 ≠ 0$
先因式分解分母：$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$
令$(x+2)(x-1)=0$，解得$x=-2$或$x=1$，因此要保证分母不为0，需满足$x≠ -2$且$x≠ 1$
结合两个条件，排除不符合要求的$x=1$，最终得$x=-1$。
【答案】
A
【知识点】
分式值为0的条件；因式分解；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式模块的基础常考题，易错点是容易忽略分母不为0的前提，直接取分子为0的所有解而错选D，解题时要牢记两个条件需同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个核心条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不能为0（保证分式本身有意义）。解题时先求解分子等于0时x的所有可能取值，再代入分母验证，排除掉使分母为0的x值，剩下的就是符合要求的结果。
【解析】
解：分式的值为0需同时满足以下两个条件：
1. 分子的值为0：
$x^2 - 1 = 0$
因式分解得：$(x+1)(x-1)=0$
解得：$x=1$ 或 $x=-1$
2. 分母的值不为0：
$x^2 + x - 2 ≠ 0$
先因式分解分母：$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$
令$(x+2)(x-1)=0$，解得$x=-2$或$x=1$，因此要保证分母不为0，需满足$x≠ -2$且$x≠ 1$
结合两个条件，排除不符合要求的$x=1$，最终得$x=-1$。
【答案】
A
【知识点】
分式值为0的条件；因式分解；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式模块的基础常考题，易错点是容易忽略分母不为0的前提，直接取分子为0的所有解而错选D，解题时要牢记两个条件需同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.7
4 下列等式成立的是 （
A. $\frac{-x+y}{2}=\frac{x+y}{2}$
C. $\frac{xy}{x^2 - xy}=\frac{x}{x - y}$
D
）A. $\frac{-x+y}{2}=\frac{x+y}{2}$
C. $\frac{xy}{x^2 - xy}=\frac{x}{x - y}$
答案
4.D
解析
【分析】
本题考查分式的基本性质及约分的应用，解题思路如下：首先明确分式的核心性质：分式的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变；接下来对每个选项的分子、分母先因式分解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）判断变形是否正确即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：$\frac{-x+y}{2}=\frac{-(x-y)}{2}=-\frac{x-y}{2}$，显然不等于$\frac{x+y}{2}$，故A错误。
2. 选项B：先对左边分式的分母因式分解，$x^2-9=(x+3)(x-3)$，该分式有意义的前提是$x≠\pm3$，约分后得$\frac{x-3}{(x+3)(x-3)}=\frac{1}{x+3}$，和右边$\frac{1}{x-3}$不相等，故B错误。
3. 选项C：先对左边分式的分母因式分解，$x^2-xy=x(x-y)$，该分式有意义的前提是$x≠0$且$x≠ y$，约分后得$\frac{xy}{x(x-y)}=\frac{y}{x-y}$，和右边$\frac{x}{x-y}$不相等，故C错误。
4. 选项D：先对左边分式的分子因式分解，$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，该分式有意义的前提是$x≠ y$，约分后得$\frac{(x-y)^2}{x-y}=x-y$，和右边相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式基础题，解题的易错点是忽略分式约分的前提：所除的整式不能为0，同时需要熟练掌握完全平方公式、平方差公式等常见因式分解的方法，才能快速判断分式变形是否正确。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的基本性质及约分的应用，解题思路如下：首先明确分式的核心性质：分式的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变；接下来对每个选项的分子、分母先因式分解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）判断变形是否正确即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：$\frac{-x+y}{2}=\frac{-(x-y)}{2}=-\frac{x-y}{2}$，显然不等于$\frac{x+y}{2}$，故A错误。
2. 选项B：先对左边分式的分母因式分解，$x^2-9=(x+3)(x-3)$，该分式有意义的前提是$x≠\pm3$，约分后得$\frac{x-3}{(x+3)(x-3)}=\frac{1}{x+3}$，和右边$\frac{1}{x-3}$不相等，故B错误。
3. 选项C：先对左边分式的分母因式分解，$x^2-xy=x(x-y)$，该分式有意义的前提是$x≠0$且$x≠ y$，约分后得$\frac{xy}{x(x-y)}=\frac{y}{x-y}$，和右边$\frac{x}{x-y}$不相等，故C错误。
4. 选项D：先对左边分式的分子因式分解，$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，该分式有意义的前提是$x≠ y$，约分后得$\frac{(x-y)^2}{x-y}=x-y$，和右边相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式基础题，解题的易错点是忽略分式约分的前提：所除的整式不能为0，同时需要熟练掌握完全平方公式、平方差公式等常见因式分解的方法，才能快速判断分式变形是否正确。
【难度系数】
0.7
5 下列分式中，属于最简分式的是 （
A.$\frac{4}{2x}$
B.$\frac{1}{x+1}$
C.$\frac{x+1}{x^2 -1}$
D.$\frac{2 - x}{x - 2}$
B
）A.$\frac{4}{2x}$
B.$\frac{1}{x+1}$
C.$\frac{x+1}{x^2 -1}$
D.$\frac{2 - x}{x - 2}$
答案
5.B
解析
【分析】
要判断哪个是最简分式，首先明确最简分式的核心判断标准：分式的分子和分母没有除1之外的公因式（即无法再约分）。解题时只需逐个分析每个选项的分子、分母是否存在公因式，将可以约分的选项排除，剩下的就是符合要求的最简分式。
【解析】
根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式为最简分式，逐一分析选项：
A. $\frac{4}{2x}$：分子4和分母$2x$有公因式2，约分可得$\frac{2}{x}$，不是最简分式；
B. $\frac{1}{x+1}$：分子为1，和分母$x+1$没有除1之外的公因式，无法约分，是最简分式；
C. $\frac{x+1}{x^2-1}$：先对分母因式分解，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分子分母有公因式$x+1$，约分可得$\frac{1}{x-1}$，不是最简分式；
D. $\frac{2-x}{x-2}$：分子可变形为$2-x=-(x-2)$，分子分母有公因式$x-2$，约分可得$-1$，不是最简分式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的定义、分式的约分、因式分解
【点评】
本题是分式模块的基础题型，重点考查最简分式的判断方法，解题的关键是熟练掌握公因式的提取技巧，注意互为相反数的整式也属于可约分的公因式（仅相差一个负号），熟练进行整式因式分解是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是最简分式，首先明确最简分式的核心判断标准：分式的分子和分母没有除1之外的公因式（即无法再约分）。解题时只需逐个分析每个选项的分子、分母是否存在公因式，将可以约分的选项排除，剩下的就是符合要求的最简分式。
【解析】
根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式为最简分式，逐一分析选项：
A. $\frac{4}{2x}$：分子4和分母$2x$有公因式2，约分可得$\frac{2}{x}$，不是最简分式；
B. $\frac{1}{x+1}$：分子为1，和分母$x+1$没有除1之外的公因式，无法约分，是最简分式；
C. $\frac{x+1}{x^2-1}$：先对分母因式分解，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分子分母有公因式$x+1$，约分可得$\frac{1}{x-1}$，不是最简分式；
D. $\frac{2-x}{x-2}$：分子可变形为$2-x=-(x-2)$，分子分母有公因式$x-2$，约分可得$-1$，不是最简分式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的定义、分式的约分、因式分解
【点评】
本题是分式模块的基础题型，重点考查最简分式的判断方法，解题的关键是熟练掌握公因式的提取技巧，注意互为相反数的整式也属于可约分的公因式（仅相差一个负号），熟练进行整式因式分解是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
