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1. 在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，则下列式子不成立的是 （
A.$BC^2=AB^2+AC^2$
B.$AB^2=AC^2+BC^2$
C.$AB^2=BC^2-AC^2$
D.$AC^2=BC^2-AB^2$
B
）A.$BC^2=AB^2+AC^2$
B.$AB^2=AC^2+BC^2$
C.$AB^2=BC^2-AC^2$
D.$AC^2=BC^2-AB^2$
答案
1.B
解析
【分析】
这道题考查直角三角形勾股定理的应用，解题首先要确定直角三角形的斜边：直角所对的边是斜边，本题中∠A=90°，所以∠A对应的边BC是斜边，AB、AC是两条直角边。接下来回忆勾股定理的内容，再对勾股定理进行移项变形，逐一核对选项就能找出不成立的式子。
【解析】
已知在△ABC中，∠A=90°，因此BC为斜边，AB、AC为直角边。
根据勾股定理可得：$BC^2=AB^2+AC^2$，因此A选项成立；
对上述式子移项变形：将$AC^2$移到等号左侧，可得$AB^2=BC^2-AC^2$，因此C选项成立；
将$AB^2$移到等号左侧，可得$AC^2=BC^2-AB^2$，因此D选项成立；
B选项$AB^2=AC^2+BC^2$误将AB当作斜边，不符合勾股定理，式子不成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先找准直角对应的斜边，再结合勾股定理及其变形判断选项，注意不要混淆斜边和直角边的位置即可。
【难度系数】
0.9
这道题考查直角三角形勾股定理的应用，解题首先要确定直角三角形的斜边：直角所对的边是斜边，本题中∠A=90°，所以∠A对应的边BC是斜边，AB、AC是两条直角边。接下来回忆勾股定理的内容，再对勾股定理进行移项变形，逐一核对选项就能找出不成立的式子。
【解析】
已知在△ABC中，∠A=90°，因此BC为斜边，AB、AC为直角边。
根据勾股定理可得：$BC^2=AB^2+AC^2$，因此A选项成立；
对上述式子移项变形：将$AC^2$移到等号左侧，可得$AB^2=BC^2-AC^2$，因此C选项成立；
将$AB^2$移到等号左侧，可得$AC^2=BC^2-AB^2$，因此D选项成立；
B选项$AB^2=AC^2+BC^2$误将AB当作斜边，不符合勾股定理，式子不成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先找准直角对应的斜边，再结合勾股定理及其变形判断选项，注意不要混淆斜边和直角边的位置即可。
【难度系数】
0.9
2. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，如果EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为 （
A.$\sqrt{3}$
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.5
B
）A.$\sqrt{3}$
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.5
答案
2.B
解析
【分析】首先根据正方形的性质可知∠B为直角，因此△EBC是直角三角形。已知直角三角形的斜边EC和直角边EB的长度，我们可以利用勾股定理求出另一条直角边BC的平方，而正方形的面积等于边长的平方，也就是BC²，因此无需计算BC的具体长度，直接得出面积即可。
【解析】解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：
$BC^2 + EB^2 = EC^2$，
已知$EB=1$，$EC=2$，代入得：
$BC^2 = EC^2 - EB^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$，
∵正方形ABCD的面积 = $BC^2$，
∴正方形的面积为3。
【答案】B
【知识点】正方形的性质；勾股定理
【点评】本题是几何基础计算题，解题关键是利用正方形的直角构造直角三角形，运用勾股定理直接计算边长的平方得到正方形面积，省略开方再平方的步骤，简化计算过程。
【难度系数】0.8
【解析】解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：
$BC^2 + EB^2 = EC^2$，
已知$EB=1$，$EC=2$，代入得：
$BC^2 = EC^2 - EB^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$，
∵正方形ABCD的面积 = $BC^2$，
∴正方形的面积为3。
【答案】B
【知识点】正方形的性质；勾股定理
【点评】本题是几何基础计算题，解题关键是利用正方形的直角构造直角三角形，运用勾股定理直接计算边长的平方得到正方形面积，省略开方再平方的步骤，简化计算过程。
【难度系数】0.8
3. 如图,在水塔O的东北方向15 m处有一抽水站A,在水塔的东南方向8 m处有一建筑工地B,在AB间建一条直水管,则水管的长为 (
A.7 m
B.12 m
C.17 m
D.22 m
C
)A.7 m
B.12 m
C.17 m
D.22 m
答案
3.C
解析
【分析】
首先结合方向标识判断角度：东北方向是北偏东45°，东南方向是南偏东45°，可推出∠AOB为直角，△AOB是直角三角形。已知两条直角边OA、OB的长度，要求斜边AB的长度，直接运用勾股定理计算即可。
【解析】
解：
∵点A在水塔O的东北方向，点B在水塔O的东南方向
∴$∠ AOB=45°+45°=90°$，即$△ AOB$是直角三角形
由题意得$OA=15\ \mathrm{m}$，$OB=8\ \mathrm{m}$
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得
$AB^2=OA^2+OB^2=15^2+8^2=225+64=289$
∴$AB=\sqrt{289}=17\ \mathrm{m}$
即水管的长为17 m。
【答案】
C
【知识点】
方向角识别；勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考查基础几何知识的应用，解题关键是根据方向角判断出三角形为直角三角形，再代入勾股定理计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先结合方向标识判断角度：东北方向是北偏东45°，东南方向是南偏东45°，可推出∠AOB为直角，△AOB是直角三角形。已知两条直角边OA、OB的长度，要求斜边AB的长度，直接运用勾股定理计算即可。
【解析】
解：
∵点A在水塔O的东北方向，点B在水塔O的东南方向
∴$∠ AOB=45°+45°=90°$，即$△ AOB$是直角三角形
由题意得$OA=15\ \mathrm{m}$，$OB=8\ \mathrm{m}$
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得
$AB^2=OA^2+OB^2=15^2+8^2=225+64=289$
∴$AB=\sqrt{289}=17\ \mathrm{m}$
即水管的长为17 m。
【答案】
C
【知识点】
方向角识别；勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考查基础几何知识的应用，解题关键是根据方向角判断出三角形为直角三角形，再代入勾股定理计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
4.一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，斜边上的高h为 （
A.6
B.8.5
C.$\frac{30}{13}$
D.$\frac{60}{13}$
D
）A.6
B.8.5
C.$\frac{30}{13}$
D.$\frac{60}{13}$
答案
4.D
解析
【分析】
解题的核心思路是先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再结合“等面积法”计算斜边上的高：直角三角形的面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高的一半计算，两种算法的面积相等，据此列方程即可求出h的值。
【解析】
1. 求斜边长度：
已知直角三角形两直角边长分别为5和12，设斜边长为c，根据勾股定理可得：
$c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
2. 用等面积法列方程求h：
三角形面积有两种计算方式，二者相等可得：
$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× h$
两边同时乘2消去分母，得：$60=13h$
解得：$h=\frac{60}{13}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题是直角三角形相关计算的基础题，通过等面积法建立等量关系是解题的关键，该方法在几何线段长度计算中应用十分广泛。
【难度系数】
0.8
解题的核心思路是先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再结合“等面积法”计算斜边上的高：直角三角形的面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高的一半计算，两种算法的面积相等，据此列方程即可求出h的值。
【解析】
1. 求斜边长度：
已知直角三角形两直角边长分别为5和12，设斜边长为c，根据勾股定理可得：
$c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
2. 用等面积法列方程求h：
三角形面积有两种计算方式，二者相等可得：
$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× h$
两边同时乘2消去分母，得：$60=13h$
解得：$h=\frac{60}{13}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题是直角三角形相关计算的基础题，通过等面积法建立等量关系是解题的关键，该方法在几何线段长度计算中应用十分广泛。
【难度系数】
0.8
5.如图,网格中小正方形的边长均为1,点$A,B,C,D$都在格点上,以点$A$为圆心,$AB$为半径画弧,交最上方的网格线于点$E$,连接$AE$,则$CE$的长为（
A.$1$
B.$3$
C.$3-\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$
C
）A.$1$
B.$3$
C.$3-\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先利用同圆半径相等的性质，得出AE=AB，先确定AE的长度；接下来要求CE的长度，可通过作垂线构造直角三角形，结合网格特点得到直角三角形的一条直角边长，再用勾股定理求出另一条直角边的长度，最后结合线段的和差关系即可求出CE的长度。
【解析】
解：由网格可知AB的长度为3，
∵AE是以A为圆心、AB为半径的圆弧的半径，
∴AE=AB=3。
过E作EF⊥AB，垂足为F，由网格得EF=2，
在Rt△AEF中，根据勾股定理：
$AF=\sqrt{AE^2 - EF^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{5}$，
∵四边形ADEF是矩形，
∴DE=AF=$\sqrt{5}$，
又
∵DC=AB=3，
∴CE=DC - DE=3 - $\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合网格背景考查几何线段的计算，解题的突破口是利用圆的半径相等得到AE的长度，通过构造直角三角形将未知线段转化为可利用勾股定理计算的线段，属于基础类几何计算题，能够较好地考查学生对基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用同圆半径相等的性质，得出AE=AB，先确定AE的长度；接下来要求CE的长度，可通过作垂线构造直角三角形，结合网格特点得到直角三角形的一条直角边长，再用勾股定理求出另一条直角边的长度，最后结合线段的和差关系即可求出CE的长度。
【解析】
解：由网格可知AB的长度为3，
∵AE是以A为圆心、AB为半径的圆弧的半径，
∴AE=AB=3。
过E作EF⊥AB，垂足为F，由网格得EF=2，
在Rt△AEF中，根据勾股定理：
$AF=\sqrt{AE^2 - EF^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{5}$，
∵四边形ADEF是矩形，
∴DE=AF=$\sqrt{5}$，
又
∵DC=AB=3，
∴CE=DC - DE=3 - $\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合网格背景考查几何线段的计算，解题的突破口是利用圆的半径相等得到AE的长度，通过构造直角三角形将未知线段转化为可利用勾股定理计算的线段，属于基础类几何计算题，能够较好地考查学生对基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
6.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（
A.13
B.26
C.47
D.94
C
）A.13
B.26
C.47
D.94
答案
6.C
解析
【分析】
本题可利用勾股定理的几何意义求解：首先明确，直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积。观察勾股树结构可知，正方形A、B的面积和等于二者下方对应直角三角形斜边上的正方形面积，正方形C、D的面积和等于二者下方对应直角三角形斜边上的正方形面积；这两个正方形又作为最大直角三角形的两条直角边对应的正方形，因此它们的面积和就是最大正方形E的面积，即E的面积等于A、B、C、D四个正方形的面积之和。
【解析】
首先计算四个小正方形的面积：
$S_A=3^2=9$，$S_B=5^2=25$，$S_C=2^2=4$，$S_D=3^2=9$
根据勾股定理的几何意义，最大正方形E的面积为：
$S_E=S_A+S_B+S_C+S_D=9+25+4+9=47$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理几何意义的典型应用，勾股树类问题的核心规律是最外侧所有小正方形的面积之和等于最底端最大正方形的面积，掌握该规律可快速完成计算，无需额外推导边长。
【难度系数】
0.7
本题可利用勾股定理的几何意义求解：首先明确，直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积。观察勾股树结构可知，正方形A、B的面积和等于二者下方对应直角三角形斜边上的正方形面积，正方形C、D的面积和等于二者下方对应直角三角形斜边上的正方形面积；这两个正方形又作为最大直角三角形的两条直角边对应的正方形，因此它们的面积和就是最大正方形E的面积，即E的面积等于A、B、C、D四个正方形的面积之和。
【解析】
首先计算四个小正方形的面积：
$S_A=3^2=9$，$S_B=5^2=25$，$S_C=2^2=4$，$S_D=3^2=9$
根据勾股定理的几何意义，最大正方形E的面积为：
$S_E=S_A+S_B+S_C+S_D=9+25+4+9=47$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理几何意义的典型应用，勾股树类问题的核心规律是最外侧所有小正方形的面积之和等于最底端最大正方形的面积，掌握该规律可快速完成计算，无需额外推导边长。
【难度系数】
0.7
