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7.若实数$m$，$n$满足$|m-3|+\sqrt{n-4}=0$，且$m$，$n$恰好是直角三角形的两条边的长，则该直角三角形的斜边长为
5 或 4
。答案
7.5 或 4
解析
【分析】
首先利用非负数的性质求解m、n的值：绝对值和算术平方根均为非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此可求出m=3、n=4。接下来由于题目仅说明m、n是直角三角形的两条边，未明确是直角边还是斜边，因此需要分类讨论：①3和4都为直角边；②较长的4为斜边、3为直角边（斜边是直角三角形最长边，因此3不可能为斜边，排除该情况），最后结合勾股定理分别计算斜边长即可。
【解析】
1. 求解m、n的值：
∵ $|m-3|≥0$，$\sqrt{n-4}≥0$，且$|m-3|+\sqrt{n-4}=0$
∴ $m-3=0$，$n-4=0$
解得：$m=3$，$n=4$
2. 分类讨论斜边长：
① 当3和4均为直角边时，根据勾股定理：
斜边长$=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
② 当4为斜边，3为直角边时，满足直角三角形边长关系，此时斜边长为4。
综上，该直角三角形的斜边长为5或4。
【答案】
5或4
【知识点】
非负数的性质、勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略长为4的边作为斜边的情况，导致漏解。解题时要注意，若直角三角形已知两条边未明确边的类型，需分类讨论所有可能的情况，同时结合“斜边为直角三角形最长边”的性质排除不符合的情况。
【难度系数】
0.7
首先利用非负数的性质求解m、n的值：绝对值和算术平方根均为非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此可求出m=3、n=4。接下来由于题目仅说明m、n是直角三角形的两条边，未明确是直角边还是斜边，因此需要分类讨论：①3和4都为直角边；②较长的4为斜边、3为直角边（斜边是直角三角形最长边，因此3不可能为斜边，排除该情况），最后结合勾股定理分别计算斜边长即可。
【解析】
1. 求解m、n的值：
∵ $|m-3|≥0$，$\sqrt{n-4}≥0$，且$|m-3|+\sqrt{n-4}=0$
∴ $m-3=0$，$n-4=0$
解得：$m=3$，$n=4$
2. 分类讨论斜边长：
① 当3和4均为直角边时，根据勾股定理：
斜边长$=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
② 当4为斜边，3为直角边时，满足直角三角形边长关系，此时斜边长为4。
综上，该直角三角形的斜边长为5或4。
【答案】
5或4
【知识点】
非负数的性质、勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略长为4的边作为斜边的情况，导致漏解。解题时要注意，若直角三角形已知两条边未明确边的类型，需分类讨论所有可能的情况，同时结合“斜边为直角三角形最长边”的性质排除不符合的情况。
【难度系数】
0.7
8.如图
是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图中的图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是
是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图中的图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是76
.答案
8.76
解析
【分析】
要计算风车的外围周长，首先需明确外围周长的组成：它由4条长度相等的斜边和4条长度为6的延长线段组成。首先找到延长后新直角三角形的两条直角边长度：短直角边与原直角三角形的短直角边BC相等，长直角边是AC延长一倍后的长度，再利用勾股定理求出斜边长度，最后将对应边长度求和乘4即可得到总周长。
【解析】
解：由题意可知，将边长为6的直角边向外延长一倍后，新形成的直角三角形的两条直角边长度分别为：
短直角边：$BC=5$
长直角边：$2AC=2×6=12$
根据勾股定理，该直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
观察图形可知，风车外围每个部分由1条长13的斜边和1条长6的延长线段组成，共4组，因此外围周长为：
$4×(13 + 6) = 4×19 = 76$
【答案】
76
【知识点】
勾股定理，周长计算，图形剪拼
【点评】
本题结合我国古代“赵爽弦图”设计，考查了勾股定理的实际应用和对图形周长概念的理解，解题的关键是准确分析出延长后直角三角形的边长，需要学生具备一定的图形观察能力。
【难度系数】
0.6
要计算风车的外围周长，首先需明确外围周长的组成：它由4条长度相等的斜边和4条长度为6的延长线段组成。首先找到延长后新直角三角形的两条直角边长度：短直角边与原直角三角形的短直角边BC相等，长直角边是AC延长一倍后的长度，再利用勾股定理求出斜边长度，最后将对应边长度求和乘4即可得到总周长。
【解析】
解：由题意可知，将边长为6的直角边向外延长一倍后，新形成的直角三角形的两条直角边长度分别为：
短直角边：$BC=5$
长直角边：$2AC=2×6=12$
根据勾股定理，该直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
观察图形可知，风车外围每个部分由1条长13的斜边和1条长6的延长线段组成，共4组，因此外围周长为：
$4×(13 + 6) = 4×19 = 76$
【答案】
76
【知识点】
勾股定理，周长计算，图形剪拼
【点评】
本题结合我国古代“赵爽弦图”设计，考查了勾股定理的实际应用和对图形周长概念的理解，解题的关键是准确分析出延长后直角三角形的边长，需要学生具备一定的图形观察能力。
【难度系数】
0.6
9.如图,长方体的底面是宽为2 cm,长为4 cm的长方形,高为5 cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q,则蚂蚁爬行的最短路径长为
13
cm.答案
9.13
解析
【分析】
解决立体图形表面的最短路径问题，核心思路是将立体面展开为平面，利用“两点之间线段最短”确定最短路径为展开后两点的连线段，再结合勾股定理计算长度。本题蚂蚁需要经过4个侧面爬行一圈，因此先把长方体的4个侧面展开成一个大长方形，算出展开后长方形的长和宽，再将P、Q连线放在直角三角形中用勾股定理计算即可。
【解析】
将长方体的四个侧面沿高剪开展开为平面图形：
1. 展开后所得长方形的长为长方体底面周长：$2×(4+2)=12\ \mathrm{cm}$，长方形的宽为长方体的高$5\ \mathrm{cm}$；
2. 此时P、Q两点的连线即为最短路径，该线段是直角三角形的斜边，两条直角边长度分别为$12\ \mathrm{cm}$和$5\ \mathrm{cm}$；
3. 根据勾股定理，最短路径长为$\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$。
【答案】
13
【知识点】
长方体侧面展开、勾股定理、最短路径计算
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题型，解题关键是将立体图形的侧面转化为平面图形，结合两点之间线段最短的性质，再利用勾股定理求解，需要注意展开时底面周长的计算不要出错。
【难度系数】
0.7
解决立体图形表面的最短路径问题，核心思路是将立体面展开为平面，利用“两点之间线段最短”确定最短路径为展开后两点的连线段，再结合勾股定理计算长度。本题蚂蚁需要经过4个侧面爬行一圈，因此先把长方体的4个侧面展开成一个大长方形，算出展开后长方形的长和宽，再将P、Q连线放在直角三角形中用勾股定理计算即可。
【解析】
将长方体的四个侧面沿高剪开展开为平面图形：
1. 展开后所得长方形的长为长方体底面周长：$2×(4+2)=12\ \mathrm{cm}$，长方形的宽为长方体的高$5\ \mathrm{cm}$；
2. 此时P、Q两点的连线即为最短路径，该线段是直角三角形的斜边，两条直角边长度分别为$12\ \mathrm{cm}$和$5\ \mathrm{cm}$；
3. 根据勾股定理，最短路径长为$\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$。
【答案】
13
【知识点】
长方体侧面展开、勾股定理、最短路径计算
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题型，解题关键是将立体图形的侧面转化为平面图形，结合两点之间线段最短的性质，再利用勾股定理求解，需要注意展开时底面周长的计算不要出错。
【难度系数】
0.7
10. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点.
(1)在图1中，以格点为端点，画线段$MN=\sqrt{13}$.
(2)在图2中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10.
(1)在图1中，以格点为端点，画线段$MN=\sqrt{13}$.
(2)在图2中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10.
答案
10. 解:(1)如图1所示.(2)如图2所示.
解析
【分析】
(1)要画出长度为√13的线段，可借助勾股定理分析：直角三角形的斜边长为√(a²+b²)，只需找到正整数a、b满足a²+b²=13，易得2²+3²=13，因此只要选取横向间隔3格、纵向间隔2格的两个格点连线，即可得到长度为√13的线段。
(2)面积为10的正方形，其边长为√10，同理根据勾股定理可得1²+3²=10，说明正方形的边长对应直角边为1和3的直角三角形的斜边；再结合正方形四条边相等、邻边互相垂直的性质，画出四条长度为√10且相邻互相垂直的线段，保证端点均为格点即可完成作图。
【解析】
(1)根据勾股定理，若直角三角形的两条直角边长分别为2、3，则斜边长为$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。因此在图1的网格中，选取横向距离为3、纵向距离为2的两个格点分别标记为M、N，连接MN，所得线段长度即为√13。
(2)正方形面积为10，则它的边长为$\sqrt{10}$，由勾股定理得$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，即正方形的边长可由直角边为1、3的直角三角形的斜边得到。在图2的网格中，依次选取4个格点A、B、C、D，使相邻两点的横向、纵向间隔分别为1和3，且相邻线段互相垂直，顺次连接四点，即可得到边长为√10、面积为10的正方形ABCD。
【答案】
(1)如图1所示.
(2)如图2所示.
【知识点】
勾股定理；正方形的性质；网格作图
【点评】
本题属于网格类基础作图题，核心是利用勾股定理将无理数长度的线段转化为直角三角形的斜边，再结合几何图形的性质完成作图，能够有效锻炼学生数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
(1)要画出长度为√13的线段，可借助勾股定理分析：直角三角形的斜边长为√(a²+b²)，只需找到正整数a、b满足a²+b²=13，易得2²+3²=13，因此只要选取横向间隔3格、纵向间隔2格的两个格点连线，即可得到长度为√13的线段。
(2)面积为10的正方形，其边长为√10，同理根据勾股定理可得1²+3²=10，说明正方形的边长对应直角边为1和3的直角三角形的斜边；再结合正方形四条边相等、邻边互相垂直的性质，画出四条长度为√10且相邻互相垂直的线段，保证端点均为格点即可完成作图。
【解析】
(1)根据勾股定理，若直角三角形的两条直角边长分别为2、3，则斜边长为$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。因此在图1的网格中，选取横向距离为3、纵向距离为2的两个格点分别标记为M、N，连接MN，所得线段长度即为√13。
(2)正方形面积为10，则它的边长为$\sqrt{10}$，由勾股定理得$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，即正方形的边长可由直角边为1、3的直角三角形的斜边得到。在图2的网格中，依次选取4个格点A、B、C、D，使相邻两点的横向、纵向间隔分别为1和3，且相邻线段互相垂直，顺次连接四点，即可得到边长为√10、面积为10的正方形ABCD。
【答案】
(1)如图1所示.
(2)如图2所示.
【知识点】
勾股定理；正方形的性质；网格作图
【点评】
本题属于网格类基础作图题，核心是利用勾股定理将无理数长度的线段转化为直角三角形的斜边，再结合几何图形的性质完成作图，能够有效锻炼学生数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
