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11. 如图，在$△ ABC$中，$CD ⊥ AB$于点$D$，$AC = 20$，$CD = 12$，$BD = 9$. 求$△ ABC$的面积.
答案
11. 解:
∵ 在 Rt△ADC 中，$AD^2 + CD^2 = AC^2$,
∴$AD^2 + 12^2 = 20^2$,解得 $AD=16$.
∴$AB = AD + BD = 16 + 9 = 25$.
∴$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2} × 25 × 12 = 150$.
∵ 在 Rt△ADC 中，$AD^2 + CD^2 = AC^2$,
∴$AD^2 + 12^2 = 20^2$,解得 $AD=16$.
∴$AB = AD + BD = 16 + 9 = 25$.
∴$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2} × 25 × 12 = 150$.
解析
【分析】
要求△ABC的面积，已知高CD=12，只需要先求出底边AB的长度即可。AB由AD和BD两部分组成，BD=9是已知条件，因此解题核心是求AD的长度。因为CD⊥AB，所以△ADC是直角三角形，已知斜边AC=20、直角边CD=12，可利用勾股定理求出AD的长，再计算AB的总长，最后代入三角形面积公式就能得到结果。
【解析】
解：
∵CD⊥AB，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，根据勾股定理可得$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
代入数值：$AD^2 + 12^2 = 20^2$，
计算得$AD^2 = 400 - 144 = 256$，解得$AD=16$（线段长度为正，舍去负值），
∴$AB = AD + BD = 16 + 9 = 25$，
∴$S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB·CD = \frac{1}{2}×25×12 = 150$。
【答案】
150
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是明确面积求解所需的条件，通过勾股定理求出未知的底边长，再代入面积公式计算即可，主要考察基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.85
要求△ABC的面积，已知高CD=12，只需要先求出底边AB的长度即可。AB由AD和BD两部分组成，BD=9是已知条件，因此解题核心是求AD的长度。因为CD⊥AB，所以△ADC是直角三角形，已知斜边AC=20、直角边CD=12，可利用勾股定理求出AD的长，再计算AB的总长，最后代入三角形面积公式就能得到结果。
【解析】
解：
∵CD⊥AB，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，根据勾股定理可得$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
代入数值：$AD^2 + 12^2 = 20^2$，
计算得$AD^2 = 400 - 144 = 256$，解得$AD=16$（线段长度为正，舍去负值），
∴$AB = AD + BD = 16 + 9 = 25$，
∴$S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB·CD = \frac{1}{2}×25×12 = 150$。
【答案】
150
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是明确面积求解所需的条件，通过勾股定理求出未知的底边长，再代入面积公式计算即可，主要考察基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.85
12.如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，且$∠ QPN = 30°$，点A处有一所中学，$AP = 160$ m.若拖拉机行驶时，周围100 m以内会受到噪声的影响，则拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时：
(1)学校是否会受到噪声影响？
(2)如果不受影响，请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
(1)学校是否会受到噪声影响？
(2)如果不受影响，请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
答案
12. 解:(1)作 $AH ⊥ MN$ 于点 $H$, 如图,
在 Rt△APH 中,
∵$∠HPA=30°$,
∴$AH = \frac{1}{2}AP = \frac{1}{2} × 160 = 80$, 而 $80＜100$.
∴拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时学校会受到影响.
(2)以点 A 为圆心,100 为半径画弧交 MN 于点 B,C,连接 AB,AC. 如图,则 $AB=AC=100$, 而 $AH ⊥ BC$,
∴$BH=CH$. 在 Rt△ABH 中,
$BH = \sqrt{100^2 - 80^2} = 60$,
∴$BC=2BH=120$.
∵拖拉机的速度为 18 km/h = 5 m/s,
∴学校受到影响的时间为 $\frac{120}{5}=24$(s).
解析
【分析】
要判断学校是否受噪声影响，需先计算点A到公路MN的最短距离，再与100m比较：若最短距离≤100m则受影响，反之不受。第一问可过A作MN的垂线，利用含30°角的直角三角形的性质求出垂线段长度即可判断。若受影响，需先求出拖拉机行驶过程中到A的距离≤100m的路段长度：以A为圆心、100m为半径画弧，与MN交于两点，两点间的线段就是受影响的路段，用勾股定理求出该路段长度，再结合速度公式计算受影响的时间，注意速度单位要统一为m/s。
【解析】
(1) 过点A作$AH ⊥ MN$于点H，得到$\mathrm{Rt}△ APH$。
已知$∠ HPA = ∠ QPN = 30°$，$AP=160\mathrm{m}$，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AH = \frac{1}{2}AP = \frac{1}{2} × 160 = 80\mathrm{m}$
因为$80\mathrm{m} ＜ 100\mathrm{m}$，所以学校会受到噪声影响。
(2) 以点A为圆心，100m为半径画弧，交MN于B、C两点，连接AB、AC，则$AB=AC=100\mathrm{m}$，即拖拉机行驶在BC段时，学校受噪声影响。
因为$AH ⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$BH=CH$。
在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，由勾股定理得：
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{100^2 - 80^2} = \sqrt{3600} = 60\mathrm{m}$
所以受影响的路段长度$BC = 2BH = 2 × 60 = 120\mathrm{m}$。
将拖拉机速度单位换算：$18\mathrm{km/h} = 18 ÷ 3.6 = 5\mathrm{m/s}$
根据时间=路程÷速度，可得受影响的时间$t = \frac{BC}{v} = \frac{120}{5} = 24\mathrm{s}$。
【答案】
(1) 学校会受到噪声影响；
(2) 学校受影响的时间为24秒。
【知识点】
1. 点到直线的距离
2. 含30°角的直角三角形性质
3. 勾股定理
【点评】
本题以生活中的噪声影响问题为载体，考查了几何知识的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为几何模型，明确“受影响范围”对应的几何含义，解题时需注意单位换算的正确性，避免因单位不统一出错。
【难度系数】
0.7
要判断学校是否受噪声影响，需先计算点A到公路MN的最短距离，再与100m比较：若最短距离≤100m则受影响，反之不受。第一问可过A作MN的垂线，利用含30°角的直角三角形的性质求出垂线段长度即可判断。若受影响，需先求出拖拉机行驶过程中到A的距离≤100m的路段长度：以A为圆心、100m为半径画弧，与MN交于两点，两点间的线段就是受影响的路段，用勾股定理求出该路段长度，再结合速度公式计算受影响的时间，注意速度单位要统一为m/s。
【解析】
(1) 过点A作$AH ⊥ MN$于点H，得到$\mathrm{Rt}△ APH$。
已知$∠ HPA = ∠ QPN = 30°$，$AP=160\mathrm{m}$，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AH = \frac{1}{2}AP = \frac{1}{2} × 160 = 80\mathrm{m}$
因为$80\mathrm{m} ＜ 100\mathrm{m}$，所以学校会受到噪声影响。
(2) 以点A为圆心，100m为半径画弧，交MN于B、C两点，连接AB、AC，则$AB=AC=100\mathrm{m}$，即拖拉机行驶在BC段时，学校受噪声影响。
因为$AH ⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$BH=CH$。
在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，由勾股定理得：
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{100^2 - 80^2} = \sqrt{3600} = 60\mathrm{m}$
所以受影响的路段长度$BC = 2BH = 2 × 60 = 120\mathrm{m}$。
将拖拉机速度单位换算：$18\mathrm{km/h} = 18 ÷ 3.6 = 5\mathrm{m/s}$
根据时间=路程÷速度，可得受影响的时间$t = \frac{BC}{v} = \frac{120}{5} = 24\mathrm{s}$。
【答案】
(1) 学校会受到噪声影响；
(2) 学校受影响的时间为24秒。
【知识点】
1. 点到直线的距离
2. 含30°角的直角三角形性质
3. 勾股定理
【点评】
本题以生活中的噪声影响问题为载体，考查了几何知识的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为几何模型，明确“受影响范围”对应的几何含义，解题时需注意单位换算的正确性，避免因单位不统一出错。
【难度系数】
0.7
