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1.在下列四组数中,不是勾股数的一组数是 (
A.$a=15,b=8,c=17$
B.$a=9,b=12,c=15$
C.$a=7,b=24,c=25$
D.$a=3,b=4,c=7$
D
)A.$a=15,b=8,c=17$
B.$a=9,b=12,c=15$
C.$a=7,b=24,c=25$
D.$a=3,b=4,c=7$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先明确勾股数的判定条件：①三个数均为正整数；②三个数中两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时我们可以逐个验证四个选项，先找出每组数中的最大数，再计算另外两个数的平方和，判断是否等于最大数的平方，不满足的就是本题要选的答案。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数，称为勾股数。我们逐个验证选项：
A选项：最大数是17，$15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$，$17^2 = 289$，满足$15^2 + 8^2 = 17^2$，是勾股数；
B选项：最大数是15，$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$，$15^2 = 225$，满足$9^2 + 12^2 = 15^2$，是勾股数；
C选项：最大数是25，$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2 = 625$，满足$7^2 + 24^2 = 25^2$，是勾股数；
D选项：最大数是7，$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$7^2 = 49$，$25≠49$，不满足勾股数的条件，不是勾股数。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记勾股数的两个判定条件，通过代入计算即可快速得出结果，是勾股定理相关内容中的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
要判断一组数是不是勾股数，首先明确勾股数的判定条件：①三个数均为正整数；②三个数中两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时我们可以逐个验证四个选项，先找出每组数中的最大数，再计算另外两个数的平方和，判断是否等于最大数的平方，不满足的就是本题要选的答案。
【解析】
勾股数的定义：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数，称为勾股数。我们逐个验证选项：
A选项：最大数是17，$15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$，$17^2 = 289$，满足$15^2 + 8^2 = 17^2$，是勾股数；
B选项：最大数是15，$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$，$15^2 = 225$，满足$9^2 + 12^2 = 15^2$，是勾股数；
C选项：最大数是25，$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2 = 625$，满足$7^2 + 24^2 = 25^2$，是勾股数；
D选项：最大数是7，$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$7^2 = 49$，$25≠49$，不满足勾股数的条件，不是勾股数。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记勾股数的两个判定条件，通过代入计算即可快速得出结果，是勾股定理相关内容中的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
2.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是 （
A.勾股定理
B.勾股定理的逆定理
C.三角形三个内角的和等于$180°$
D.直角三角形的两个锐角互余
B
）A.勾股定理
B.勾股定理的逆定理
C.三角形三个内角的和等于$180°$
D.直角三角形的两个锐角互余
答案
2.B
解析
【分析】
解题思路：首先明确题目的推导逻辑：我们可以得到△ABC的三条边AB、BC、AC的长度，要通过这三个边长判断∠B是否为直角。先回忆相关定理的适用场景：勾股定理是已知三角形是直角三角形，得到两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理是已知三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，判断这个三角形是直角三角形。本题是由三边长度推导角是否为直角，因此要用到勾股定理的逆定理，再逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
在△ABC中，若测得AB、BC、AC的长度满足$AB^2 + BC^2 = AC^2$，根据勾股定理的逆定理，即可判定△ABC是直角三角形，且∠B为直角。
对各选项分析如下：
A. 勾股定理的作用是已知直角三角形，推导三边的数量关系，与本题推导方向相反，不符合题意；
B. 勾股定理的逆定理可通过三边的数量关系判定三角形是否为直角三角形，符合题意；
C. 三角形内角和为$180°$用于角度计算或角度关系判断，与通过三边判定直角无关，不符合题意；
D. 直角三角形的两个锐角互余是直角三角形的性质，需以直角三角形为前提，无法通过三边判定直角，不符合题意。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理
【点评】
本题核心是区分勾股定理和其逆定理的应用场景，二者的条件和结论互逆，解题时需明确推导方向，即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确题目的推导逻辑：我们可以得到△ABC的三条边AB、BC、AC的长度，要通过这三个边长判断∠B是否为直角。先回忆相关定理的适用场景：勾股定理是已知三角形是直角三角形，得到两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理是已知三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，判断这个三角形是直角三角形。本题是由三边长度推导角是否为直角，因此要用到勾股定理的逆定理，再逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
在△ABC中，若测得AB、BC、AC的长度满足$AB^2 + BC^2 = AC^2$，根据勾股定理的逆定理，即可判定△ABC是直角三角形，且∠B为直角。
对各选项分析如下：
A. 勾股定理的作用是已知直角三角形，推导三边的数量关系，与本题推导方向相反，不符合题意；
B. 勾股定理的逆定理可通过三边的数量关系判定三角形是否为直角三角形，符合题意；
C. 三角形内角和为$180°$用于角度计算或角度关系判断，与通过三边判定直角无关，不符合题意；
D. 直角三角形的两个锐角互余是直角三角形的性质，需以直角三角形为前提，无法通过三边判定直角，不符合题意。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理
【点评】
本题核心是区分勾股定理和其逆定理的应用场景，二者的条件和结论互逆，解题时需明确推导方向，即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
3.有五根小木棒，其长度分别为5,9,12,13,15，现将它们摆成下列图形，其中包含两个直角三角形的是（
C
）答案
3.C
解析
【分析】要判断哪个图形包含两个直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先先计算给出的5根木棒长度的平方，找出符合勾股逆定理的三边组合，再核对每个选项的两个三角形是否都满足条件即可。
【解析】首先计算各木棒长度的平方：
$5^2=25$，$9^2=81$，$12^2=144$，$13^2=169$，$15^2=225$。
根据勾股定理的逆定理，先确定可构成直角三角形的三边组合：
$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，即边长为5、12、13的三角形是直角三角形；
$9^2+12^2=81+144=225=15^2$，即边长为9、12、15的三角形是直角三角形。
逐一验证选项：
选项A：三边为9、12、15的三角形是直角三角形，三边为5、13、15的三角形$5^2+13^2=194≠225=15^2$，不是直角三角形，不符合要求；
选项B：三边为5、12、13的三角形是直角三角形，三边为9、13、15的三角形$9^2+13^2=250≠225=15^2$，不是直角三角形，不符合要求；
选项C：三边为9、12、15的三角形是直角三角形，三边为5、12、13的三角形是直角三角形，符合要求；
选项D：三边为5、9、12的三角形$5^2+9^2=106≠144=12^2$，不是直角三角形，三边为12、13、15的三角形$12^2+13^2=313≠225=15^2$，不是直角三角形，不符合要求。
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【点评】本题核心考查勾股定理逆定理的实际应用，解题时优先找出所有可构成直角三角形的边长组合，再对照选项逐一验证即可快速得到答案，需要注意两个三角形共享一条公共边，共使用5根不同长度的木棒。
【难度系数】0.7
【解析】首先计算各木棒长度的平方：
$5^2=25$，$9^2=81$，$12^2=144$，$13^2=169$，$15^2=225$。
根据勾股定理的逆定理，先确定可构成直角三角形的三边组合：
$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，即边长为5、12、13的三角形是直角三角形；
$9^2+12^2=81+144=225=15^2$，即边长为9、12、15的三角形是直角三角形。
逐一验证选项：
选项A：三边为9、12、15的三角形是直角三角形，三边为5、13、15的三角形$5^2+13^2=194≠225=15^2$，不是直角三角形，不符合要求；
选项B：三边为5、12、13的三角形是直角三角形，三边为9、13、15的三角形$9^2+13^2=250≠225=15^2$，不是直角三角形，不符合要求；
选项C：三边为9、12、15的三角形是直角三角形，三边为5、12、13的三角形是直角三角形，符合要求；
选项D：三边为5、9、12的三角形$5^2+9^2=106≠144=12^2$，不是直角三角形，三边为12、13、15的三角形$12^2+13^2=313≠225=15^2$，不是直角三角形，不符合要求。
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【点评】本题核心考查勾股定理逆定理的实际应用，解题时优先找出所有可构成直角三角形的边长组合，再对照选项逐一验证即可快速得到答案，需要注意两个三角形共享一条公共边，共使用5根不同长度的木棒。
【难度系数】0.7
4. 下列条件，不能推出△ABC是直角三角形的是 （
A.$a^2 - c^2 = b^2$
B.$(a - b)(a + b) + c^2 = 0$
C.∠A=∠B=∠C
D.∠A=2∠B=2∠C
C
）A.$a^2 - c^2 = b^2$
B.$(a - b)(a + b) + c^2 = 0$
C.∠A=∠B=∠C
D.∠A=2∠B=2∠C
答案
4.C
解析
【分析】
判断△ABC是否为直角三角形有两种常用思路：一是利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足“两边的平方和等于第三边的平方”；二是利用三角形内角和为180°，验证是否存在90°的内角。我们只需逐一分析每个选项是否符合上述两种情况即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对$a^2 - c^2 = b^2$移项得$a^2 = b^2 + c^2$，符合勾股定理的逆定理，说明∠A为直角，可推出△ABC是直角三角形，不符合题意。
B选项：先展开$(a - b)(a + b) + c^2 = 0$得$a^2 - b^2 + c^2 = 0$，移项得$a^2 + c^2 = b^2$，符合勾股定理的逆定理，说明∠B为直角，可推出△ABC是直角三角形，不符合题意。
C选项：已知∠A=∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可得每个角的度数为$180° ÷ 3 = 60°$，△ABC是等边三角形，不存在直角，不能推出是直角三角形，符合题意。
D选项：设∠B=∠C=x，则∠A=2x，根据三角形内角和列方程：$2x + x + x = 180°$，解得$x=45°$，则∠A=$90°$，可推出△ABC是直角三角形，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形的判定方法，既可以从边的数量关系入手，也可以从内角的度数关系入手，属于基础类题型，解题时注意公式变形和角度计算不要出错。
【难度系数】
0.8
判断△ABC是否为直角三角形有两种常用思路：一是利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足“两边的平方和等于第三边的平方”；二是利用三角形内角和为180°，验证是否存在90°的内角。我们只需逐一分析每个选项是否符合上述两种情况即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对$a^2 - c^2 = b^2$移项得$a^2 = b^2 + c^2$，符合勾股定理的逆定理，说明∠A为直角，可推出△ABC是直角三角形，不符合题意。
B选项：先展开$(a - b)(a + b) + c^2 = 0$得$a^2 - b^2 + c^2 = 0$，移项得$a^2 + c^2 = b^2$，符合勾股定理的逆定理，说明∠B为直角，可推出△ABC是直角三角形，不符合题意。
C选项：已知∠A=∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可得每个角的度数为$180° ÷ 3 = 60°$，△ABC是等边三角形，不存在直角，不能推出是直角三角形，符合题意。
D选项：设∠B=∠C=x，则∠A=2x，根据三角形内角和列方程：$2x + x + x = 180°$，解得$x=45°$，则∠A=$90°$，可推出△ABC是直角三角形，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形的判定方法，既可以从边的数量关系入手，也可以从内角的度数关系入手，属于基础类题型，解题时注意公式变形和角度计算不要出错。
【难度系数】
0.8
5. 三角形的三条边长分别为6,8,10,那么它的最短边上的高为 （
A.6
B.4.5
C.2.4
D.8
D
）A.6
B.4.5
C.2.4
D.8
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先观察三角形三边长，6、8、10是常见勾股数，优先用勾股定理的逆定理判断三角形形状，确定是直角三角形后，先找到最短边，再结合直角三角形的性质或者三角形面积公式计算对应高即可。具体思考步骤：第一步验证三边是否满足勾股定理逆定理，判断三角形类型；第二步确定最短边及其性质；第三步计算最短边上的高。
【解析】
首先计算三边长的平方：
$6^2=36$，$8^2=64$，$10^2=100$
可得$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，斜边长为10，两条直角边长分别为6和8。
该三角形的最短边是长度为6的直角边，直角三角形中以一条直角边为底时，另一条直角边就是该底对应的高，因此长度为6的边上的高为8。
也可用面积法验证：三角形面积为$\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$，设最短边上的高为$h$，则$\frac{1}{2} × 6 × h = 24$，解得$h=8$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是先通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再结合直角边互为底和高的性质或者面积法求解对应高，解题时注意不要混淆不同边对应的高。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察三角形三边长，6、8、10是常见勾股数，优先用勾股定理的逆定理判断三角形形状，确定是直角三角形后，先找到最短边，再结合直角三角形的性质或者三角形面积公式计算对应高即可。具体思考步骤：第一步验证三边是否满足勾股定理逆定理，判断三角形类型；第二步确定最短边及其性质；第三步计算最短边上的高。
【解析】
首先计算三边长的平方：
$6^2=36$，$8^2=64$，$10^2=100$
可得$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，斜边长为10，两条直角边长分别为6和8。
该三角形的最短边是长度为6的直角边，直角三角形中以一条直角边为底时，另一条直角边就是该底对应的高，因此长度为6的边上的高为8。
也可用面积法验证：三角形面积为$\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$，设最短边上的高为$h$，则$\frac{1}{2} × 6 × h = 24$，解得$h=8$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是先通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再结合直角边互为底和高的性质或者面积法求解对应高，解题时注意不要混淆不同边对应的高。
【难度系数】
0.8
