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6. 如图，在$5×5$的正方形网格中，从格点上的点$A$，$B$，$C$，$D$中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为 （
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6.C
解析
【分析】
首先，从4个点中任取3个点，共有4种不同的组合，分别是△ABC、△ABD、△ACD、△BCD。接下来我们设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算每个三角形三边长度的平方，再根据勾股定理的逆定理（若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形）逐一判断是否为直角三角形，最后统计符合条件的个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理先计算各线段长度的平方：
$AB^2=1^2+2^2=5$，$AC^2=4^2+2^2=20$，$AD^2=1^2+3^2=10$，
$BC^2=5^2=25$，$BD^2=2^2+1^2=5$，$CD^2=3^2+1^2=10$。
对4组三点组合逐一判断：
1. 对△ABC：$AB^2+AC^2=5+20=25=BC^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
2. 对△ABD：$AB^2+BD^2=5+5=10=AD^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
3. 对△ACD：$AD^2+CD^2=10+10=20=AC^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
4. 对△BCD：$BD^2+CD^2=5+10=15≠25=BC^2$，不满足判定条件，不是直角三角形。
综上，符合条件的直角三角形共有3个。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，网格线段长度计算
【点评】
本题需要先枚举所有三点构成三角形的组合，再结合勾股定理逆定理判断，解题时要注意不要漏算或错算各边的平方，避免出现漏解、多解的错误，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
首先，从4个点中任取3个点，共有4种不同的组合，分别是△ABC、△ABD、△ACD、△BCD。接下来我们设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算每个三角形三边长度的平方，再根据勾股定理的逆定理（若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形）逐一判断是否为直角三角形，最后统计符合条件的个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理先计算各线段长度的平方：
$AB^2=1^2+2^2=5$，$AC^2=4^2+2^2=20$，$AD^2=1^2+3^2=10$，
$BC^2=5^2=25$，$BD^2=2^2+1^2=5$，$CD^2=3^2+1^2=10$。
对4组三点组合逐一判断：
1. 对△ABC：$AB^2+AC^2=5+20=25=BC^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
2. 对△ABD：$AB^2+BD^2=5+5=10=AD^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
3. 对△ACD：$AD^2+CD^2=10+10=20=AC^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；
4. 对△BCD：$BD^2+CD^2=5+10=15≠25=BC^2$，不满足判定条件，不是直角三角形。
综上，符合条件的直角三角形共有3个。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，网格线段长度计算
【点评】
本题需要先枚举所有三点构成三角形的组合，再结合勾股定理逆定理判断，解题时要注意不要漏算或错算各边的平方，避免出现漏解、多解的错误，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
7.如图，$△ ABC$在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是 （
A.$BC=5$
B.$△ ABC$的面积为5
C.$∠ A=90°$
D.点A到BC的距离为$\frac{5}{2}$
D
）A.$BC=5$
B.$△ ABC$的面积为5
C.$∠ A=90°$
D.点A到BC的距离为$\frac{5}{2}$
答案
7.D
解析
【分析】
这是网格背景下的三角形性质判断问题，解题思路如下：①先用勾股定理计算三角形三边长度，验证选项A、C是否正确；②结合直角三角形面积公式（或割补法）计算△ABC的面积，验证选项B；③利用面积法求解点A到BC的距离，验证选项D，最终选出错误结论。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，逐一验证选项：
1. 验证A选项：BC的横向距离为4，纵向距离为3，由勾股定理得$BC=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$，A结论正确。
2. 验证C选项：计算得$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，则$AB^2+AC^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=25=BC^2$，根据勾股定理逆定理可得$∠ A=90°$，C结论正确。
3. 验证B选项：因为$∠ A=90°$，所以$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$，B结论正确。
4. 验证D选项：设点A到BC的距离为$h$，由三角形面积公式得$S=\frac{1}{2}× BC× h$，代入$S=5、BC=5$，得$\frac{1}{2}×5× h=5$，解得$h=2≠\frac{5}{2}$，D结论错误。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理及逆定理，三角形面积计算，点到直线的距离
【点评】
本题结合网格考查三角形的基础性质，解题的核心是灵活运用勾股定理计算边长，结合逆定理判断直角，用面积法快速求解点到直线的距离，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
这是网格背景下的三角形性质判断问题，解题思路如下：①先用勾股定理计算三角形三边长度，验证选项A、C是否正确；②结合直角三角形面积公式（或割补法）计算△ABC的面积，验证选项B；③利用面积法求解点A到BC的距离，验证选项D，最终选出错误结论。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，逐一验证选项：
1. 验证A选项：BC的横向距离为4，纵向距离为3，由勾股定理得$BC=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$，A结论正确。
2. 验证C选项：计算得$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，则$AB^2+AC^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=25=BC^2$，根据勾股定理逆定理可得$∠ A=90°$，C结论正确。
3. 验证B选项：因为$∠ A=90°$，所以$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$，B结论正确。
4. 验证D选项：设点A到BC的距离为$h$，由三角形面积公式得$S=\frac{1}{2}× BC× h$，代入$S=5、BC=5$，得$\frac{1}{2}×5× h=5$，解得$h=2≠\frac{5}{2}$，D结论错误。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理及逆定理，三角形面积计算，点到直线的距离
【点评】
本题结合网格考查三角形的基础性质，解题的核心是灵活运用勾股定理计算边长，结合逆定理判断直角，用面积法快速求解点到直线的距离，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
8. 已知三角形的三边长为$a,b,c$,如果$\sqrt{a-6}+|b-8|+(c-10)^2=0$,那么$△ ABC$是
直角
三角形。答案
8.直角
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的构成：二次根式、绝对值、平方数都是非负数，几个非负数的和为0时，每个非负数都必须为0，据此可以先求出a、b、c三边的长度；再根据勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵$\sqrt{a-6} ≥ 0$，$|b-8| ≥ 0$，$(c-10)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{a-6}+|b-8|+(c-10)^2=0$
∴每个非负项的值都为0，即：
$a-6=0$，解得$a=6$
$b-8=0$，解得$b=8$
$c-10=0$，解得$c=10$
接下来验证三边平方关系：
$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$c^2 = 10^2 = 100$
∴$a^2 + b^2 = c^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础题型，将非负数的性质与三角形形状判断相结合，解题的核心是先利用非负性求出三角形三边长，再通过勾股定理逆定理验证三边的平方关系即可得出结论。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知等式的构成：二次根式、绝对值、平方数都是非负数，几个非负数的和为0时，每个非负数都必须为0，据此可以先求出a、b、c三边的长度；再根据勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵$\sqrt{a-6} ≥ 0$，$|b-8| ≥ 0$，$(c-10)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{a-6}+|b-8|+(c-10)^2=0$
∴每个非负项的值都为0，即：
$a-6=0$，解得$a=6$
$b-8=0$，解得$b=8$
$c-10=0$，解得$c=10$
接下来验证三边平方关系：
$a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$c^2 = 10^2 = 100$
∴$a^2 + b^2 = c^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础题型，将非负数的性质与三角形形状判断相结合，解题的核心是先利用非负性求出三角形三边长，再通过勾股定理逆定理验证三边的平方关系即可得出结论。
【难度系数】
0.8
9.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=1,AD=3.若∠B=90°,则∠BCD的度数为
135°
.答案
9.$135°$
解析
【分析】
解题时先连接辅助线AC，首先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长度，同时根据等腰直角三角形的特征得到∠ACB的度数；再将AC的长度代入△ACD中，利用勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形，得到∠ACD的度数；最后将∠ACB与∠ACD相加即可求出∠BCD的度数。
【解析】
连接AC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，
由勾股定理得：$AC^2=AB^2+BC^2=2^2+2^2=8$，
∴$AC=2\sqrt{2}$，
∵AB=BC，∠B=90°，
∴∠ACB=45°，
在△ACD中，$AC^2+CD^2=8+1^2=9$，$AD^2=3^2=9$，
∴$AC^2+CD^2=AD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=45°+90°=135°。
【答案】
$135°$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，通过作辅助线将四边形拆分为两个三角形是解题的突破口，要求学生能灵活运用勾股定理求边长、用勾股定理逆定理判定直角三角形。
【难度系数】
0.7
解题时先连接辅助线AC，首先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长度，同时根据等腰直角三角形的特征得到∠ACB的度数；再将AC的长度代入△ACD中，利用勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形，得到∠ACD的度数；最后将∠ACB与∠ACD相加即可求出∠BCD的度数。
【解析】
连接AC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，
由勾股定理得：$AC^2=AB^2+BC^2=2^2+2^2=8$，
∴$AC=2\sqrt{2}$，
∵AB=BC，∠B=90°，
∴∠ACB=45°，
在△ACD中，$AC^2+CD^2=8+1^2=9$，$AD^2=3^2=9$，
∴$AC^2+CD^2=AD^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=45°+90°=135°。
【答案】
$135°$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，通过作辅助线将四边形拆分为两个三角形是解题的突破口，要求学生能灵活运用勾股定理求边长、用勾股定理逆定理判定直角三角形。
【难度系数】
0.7
10.如图,在长方形ABCD中,AB＝24,AD＝50,点E是AD上一点,且AE:ED＝9:16.
(1)求BE,CE的长.
(2)判断△BEC的形状,并说明理由.
(1)求BE,CE的长.
(2)判断△BEC的形状,并说明理由.
答案
10.解: (1) $\because AD = 50, AE : ED = 9 : 16, \therefore AE = 18, DE = 32.$
$\because AB = 24,$
$\therefore BE = \sqrt{AE^2 + AB^2} = 30,$
$CE = \sqrt{DE^2 + CD^2} = 40.$
(2)$△ BEC$ 是直角三角形.理由如下
$\because BE = 30, CE = 40, BC = AD = 50,$
$\therefore BE^2 + CE^2 = BC^2.$
$\therefore △ BEC$ 是直角三角形.
$\because AB = 24,$
$\therefore BE = \sqrt{AE^2 + AB^2} = 30,$
$CE = \sqrt{DE^2 + CD^2} = 40.$
(2)$△ BEC$ 是直角三角形.理由如下
$\because BE = 30, CE = 40, BC = AD = 50,$
$\therefore BE^2 + CE^2 = BC^2.$
$\therefore △ BEC$ 是直角三角形.
解析
【分析】
（1）要求BE、CE的长度，首先观察图形可知，长方形ABCD中∠A、∠D都是直角，因此△ABE和△DCE都是直角三角形，只要先求出AE、ED的长度，就可以用勾股定理计算BE、CE。已知AD总长和AE与ED的比例，可通过按比例分配计算出AE、ED的长度。
（2）判断△BEC的形状，已知BE、CE的长度，结合长方形对边相等可得BC=AD=50，只需验证三边是否满足勾股定理的逆定理，即较短两边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断三角形形状。
【解析】
(1) 已知AD=50，AE:ED=9:16，总份数为9+16=25份，
因此$AE=50×\frac{9}{25}=18$，$ED=50×\frac{16}{25}=32$。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠A=∠D=90°，CD=AB=24，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AE^2+AB^2}=\sqrt{18^2+24^2}=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30$；
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{DE^2+CD^2}=\sqrt{32^2+24^2}=\sqrt{1024+576}=\sqrt{1600}=40$。
(2) △BEC是直角三角形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ BC=AD=50，
∵ $BE^2+CE^2=30^2+40^2=900+1600=2500$，$BC^2=50^2=2500$，
∴ $BE^2+CE^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△BEC是直角三角形。
【答案】
(1) $BE=30$，$CE=40$；
(2) $△ BEC$是直角三角形。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；长方形的性质
【点评】
本题是基础几何应用题，解题的关键是熟练掌握长方形的性质，灵活运用勾股定理及其逆定理进行计算和判断，解题步骤清晰，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
（1）要求BE、CE的长度，首先观察图形可知，长方形ABCD中∠A、∠D都是直角，因此△ABE和△DCE都是直角三角形，只要先求出AE、ED的长度，就可以用勾股定理计算BE、CE。已知AD总长和AE与ED的比例，可通过按比例分配计算出AE、ED的长度。
（2）判断△BEC的形状，已知BE、CE的长度，结合长方形对边相等可得BC=AD=50，只需验证三边是否满足勾股定理的逆定理，即较短两边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断三角形形状。
【解析】
(1) 已知AD=50，AE:ED=9:16，总份数为9+16=25份，
因此$AE=50×\frac{9}{25}=18$，$ED=50×\frac{16}{25}=32$。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠A=∠D=90°，CD=AB=24，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AE^2+AB^2}=\sqrt{18^2+24^2}=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30$；
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{DE^2+CD^2}=\sqrt{32^2+24^2}=\sqrt{1024+576}=\sqrt{1600}=40$。
(2) △BEC是直角三角形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ BC=AD=50，
∵ $BE^2+CE^2=30^2+40^2=900+1600=2500$，$BC^2=50^2=2500$，
∴ $BE^2+CE^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△BEC是直角三角形。
【答案】
(1) $BE=30$，$CE=40$；
(2) $△ BEC$是直角三角形。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；长方形的性质
【点评】
本题是基础几何应用题，解题的关键是熟练掌握长方形的性质，灵活运用勾股定理及其逆定理进行计算和判断，解题步骤清晰，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
