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11.若$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2+200=12a+16b+20c$，试判断$△ ABC$的形状.
答案
11. 解: $\because a^2 + b^2 + c^2 + 200 = 12a + 16b + 20c ,$
$\therefore (a^2 - 12a + 36) + (b^2 - 16b + 64) + (c^2 - 20c + 100) = 0 ,$
即$(a-6)^2 + (b-8)^2 + (c-10)^2 = 0.$
$\therefore a - 6 = 0, b - 8 = 0, c - 10 = 0 ,$
即 $a = 6 , b = 8 , c = 10 .$
而 $6^2 + 8^2 = 100 = 10^2 ,$
$\therefore a^2 + b^2 = c^2 .$
$\therefore △ ABC$ 为直角三角形.
$\therefore (a^2 - 12a + 36) + (b^2 - 16b + 64) + (c^2 - 20c + 100) = 0 ,$
即$(a-6)^2 + (b-8)^2 + (c-10)^2 = 0.$
$\therefore a - 6 = 0, b - 8 = 0, c - 10 = 0 ,$
即 $a = 6 , b = 8 , c = 10 .$
而 $6^2 + 8^2 = 100 = 10^2 ,$
$\therefore a^2 + b^2 = c^2 .$
$\therefore △ ABC$ 为直角三角形.
解析
【分析】
观察已知等式，含有a、b、c的平方项、一次项和常数项，首先想到用配方法变形：先将等式右侧的项全部移到左侧，再对a、b、c分别凑完全平方。根据平方的非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，由此可求出a、b、c的具体长度，最后验证三边是否满足勾股定理的逆定理，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：$\because a^2 + b^2 + c^2 + 200 = 12a + 16b + 20c ,$
$\therefore (a^2 - 12a + 36) + (b^2 - 16b + 64) + (c^2 - 20c + 100) = 0 ,$
即$(a-6)^2 + (b-8)^2 + (c-10)^2 = 0.$
$\because$ 平方数具有非负性，
$\therefore a - 6 = 0, b - 8 = 0, c - 10 = 0 ,$
即 $a = 6 , b = 8 , c = 10 .$
而 $6^2 + 8^2 = 36+64=100 = 10^2 ,$
$\therefore a^2 + b^2 = c^2 .$
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$ 为直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，解题核心是熟练运用完全平方公式配方，结合非负数的性质求出三边长，再用勾股定理的逆定理完成判断，需要注意配方时常数项的取值要符合完全平方公式的结构。
【难度系数】
0.7
观察已知等式，含有a、b、c的平方项、一次项和常数项，首先想到用配方法变形：先将等式右侧的项全部移到左侧，再对a、b、c分别凑完全平方。根据平方的非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，由此可求出a、b、c的具体长度，最后验证三边是否满足勾股定理的逆定理，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：$\because a^2 + b^2 + c^2 + 200 = 12a + 16b + 20c ,$
$\therefore (a^2 - 12a + 36) + (b^2 - 16b + 64) + (c^2 - 20c + 100) = 0 ,$
即$(a-6)^2 + (b-8)^2 + (c-10)^2 = 0.$
$\because$ 平方数具有非负性，
$\therefore a - 6 = 0, b - 8 = 0, c - 10 = 0 ,$
即 $a = 6 , b = 8 , c = 10 .$
而 $6^2 + 8^2 = 36+64=100 = 10^2 ,$
$\therefore a^2 + b^2 = c^2 .$
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$ 为直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，解题核心是熟练运用完全平方公式配方，结合非负数的性质求出三边长，再用勾股定理的逆定理完成判断，需要注意配方时常数项的取值要符合完全平方公式的结构。
【难度系数】
0.7
12.某县辖A,C,D三镇在一条直线上,相互两镇间的公路里程如图所示.由于大山阻隔,原来从A,C两镇去D镇都需绕道B镇前往.为了发展经济,缩短A,C两镇到D镇的路程,现决定开凿隧道,修通A,C两镇直达D镇的公路AD.请问公路修通后从A镇去D镇比原来缩短路程多少千米?(数据$\sqrt{1024}=32,\sqrt{2176}\approx46.65$供选用)
答案
12. 解: $\because AC^2 + AB^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676, BC^2 = 26^2 = 676.$
$\therefore AC^2 + AB^2 = BC^2 .$ 由勾股定理的逆定理,得$∠ BAC = 90° .$
$\therefore ∠ BAD = 180° - ∠ BAC = 90° .$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,由勾股定理,得
$AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{40^2 - 24^2} = \sqrt{1\ 024} = 32(\mathrm{km}).$
$24 + 40 - 32 = 32(\mathrm{km}).$
所以公路修通后从 A 镇去 D 镇比原来缩短路程 32 km.
$\therefore AC^2 + AB^2 = BC^2 .$ 由勾股定理的逆定理,得$∠ BAC = 90° .$
$\therefore ∠ BAD = 180° - ∠ BAC = 90° .$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,由勾股定理,得
$AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{40^2 - 24^2} = \sqrt{1\ 024} = 32(\mathrm{km}).$
$24 + 40 - 32 = 32(\mathrm{km}).$
所以公路修通后从 A 镇去 D 镇比原来缩短路程 32 km.
解析
【分析】
要计算公路修通后A镇到D镇缩短的路程，需先分别求出原来的绕行路程和修通后的直达路程。原来A镇到D镇需绕道B镇，路程为AB与BD的长度和；修通后直达路程为AD，因此解题核心是求出AD的长度。首先观察△ABC的三边长，可通过勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，若得出∠BAC=90°，结合A、C、D三镇共线的条件，可得∠BAD也为90°，即△ABD为直角三角形，再利用勾股定理即可求出AD的长度，最后用原来的绕行路程减去AD的长度，就能得到缩短的路程。
【解析】
首先验证△ABC为直角三角形：
∵ $AC^2 + AB^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$，$BC^2 = 26^2 = 676$
∴ $AC^2 + AB^2 = BC^2$，由勾股定理的逆定理可得$∠ BAC = 90°$
∵ A、C、D三镇在同一条直线上，
∴ $∠ BAD = 180° - ∠ BAC = 90°$，即$△ ABD$为直角三角形
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{40^2 - 24^2} = \sqrt{1024} = 32(\mathrm{km})$
原来A镇到D镇的绕行路程为：$24 + 40 = 64(\mathrm{km})$
缩短的路程为：$64 - 32 = 32(\mathrm{km})$
【答案】
32 km
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题结合交通建设的实际场景，将生活问题转化为直角三角形的几何问题，解题关键是先利用勾股定理的逆定理判定直角，再结合勾股定理求解未知线段，考查了学生将实际问题抽象为数学模型的能力，以及对基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算公路修通后A镇到D镇缩短的路程，需先分别求出原来的绕行路程和修通后的直达路程。原来A镇到D镇需绕道B镇，路程为AB与BD的长度和；修通后直达路程为AD，因此解题核心是求出AD的长度。首先观察△ABC的三边长，可通过勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，若得出∠BAC=90°，结合A、C、D三镇共线的条件，可得∠BAD也为90°，即△ABD为直角三角形，再利用勾股定理即可求出AD的长度，最后用原来的绕行路程减去AD的长度，就能得到缩短的路程。
【解析】
首先验证△ABC为直角三角形：
∵ $AC^2 + AB^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$，$BC^2 = 26^2 = 676$
∴ $AC^2 + AB^2 = BC^2$，由勾股定理的逆定理可得$∠ BAC = 90°$
∵ A、C、D三镇在同一条直线上，
∴ $∠ BAD = 180° - ∠ BAC = 90°$，即$△ ABD$为直角三角形
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{BD^2 - AB^2} = \sqrt{40^2 - 24^2} = \sqrt{1024} = 32(\mathrm{km})$
原来A镇到D镇的绕行路程为：$24 + 40 = 64(\mathrm{km})$
缩短的路程为：$64 - 32 = 32(\mathrm{km})$
【答案】
32 km
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题结合交通建设的实际场景，将生活问题转化为直角三角形的几何问题，解题关键是先利用勾股定理的逆定理判定直角，再结合勾股定理求解未知线段，考查了学生将实际问题抽象为数学模型的能力，以及对基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
