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11.已知$a=2+\sqrt{5},b=2-\sqrt{5}$，求下列式子的值：
(1)$a^2b+ab^2$.
(2)$a^2-3ab+b^2$.
(1)$a^2b+ab^2$.
(2)$a^2-3ab+b^2$.
答案
11.解:$\because a=2+\sqrt{5},b=2-\sqrt{5}$,
$\therefore ab=(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^{2}-(\sqrt{5})^{2}=-1,a+b=2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}=4$.
(1)$a^{2}b+ab^{2}=ab(a+b)=-1×4=-4$.
(2)$a^{2}-3ab+b^{2}=(a+b)^{2}-5ab=4^{2}-5×(-1)=16+5=21$.
法二:$a^{2}-3ab+b^{2}=(a-b)^{2}-ab=21$.
$\therefore ab=(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^{2}-(\sqrt{5})^{2}=-1,a+b=2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}=4$.
(1)$a^{2}b+ab^{2}=ab(a+b)=-1×4=-4$.
(2)$a^{2}-3ab+b^{2}=(a+b)^{2}-5ab=4^{2}-5×(-1)=16+5=21$.
法二:$a^{2}-3ab+b^{2}=(a-b)^{2}-ab=21$.
解析
【分析】
遇到已知含二次根式的a、b的值求代数式值的题目时，若直接将a、b代入计算，步骤繁琐易出错。观察待求式的结构，可通过因式分解或完全平方公式变形，转化为含a+b和ab的形式，因此先计算出a+b与ab的值，再整体代入变形后的式子计算，能大幅简化运算。
【解析】
解：$\because a=2+\sqrt{5},b=2-\sqrt{5}$，
$\therefore ab=(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^{2}-(\sqrt{5})^{2}=4-5=-1$，
$a+b=2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}=4$。
(1) 对$a^2b+ab^2$提公因式得：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$，
将$ab=-1,a+b=4$代入得：
原式$=-1×4=-4$。
(2) 利用完全平方公式对$a^2-3ab+b^2$变形得：
$a^2-3ab+b^2=(a+b)^2-2ab-3ab=(a+b)^2-5ab$，
将$a+b=4,ab=-1$代入得：
原式$=4^2-5×(-1)=16+5=21$。
（也可变形为$(a-b)^2-ab$计算，结果一致）
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{21}$
【知识点】
二次根式的运算，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题考查整体代入思想在代数式求值中的应用，先计算a+b、ab的值再代入变形后的式子，可避免复杂的二次根式乘方运算，解题时需熟练掌握代数式的恒等变形技巧。
【难度系数】
0.7
遇到已知含二次根式的a、b的值求代数式值的题目时，若直接将a、b代入计算，步骤繁琐易出错。观察待求式的结构，可通过因式分解或完全平方公式变形，转化为含a+b和ab的形式，因此先计算出a+b与ab的值，再整体代入变形后的式子计算，能大幅简化运算。
【解析】
解：$\because a=2+\sqrt{5},b=2-\sqrt{5}$，
$\therefore ab=(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^{2}-(\sqrt{5})^{2}=4-5=-1$，
$a+b=2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}=4$。
(1) 对$a^2b+ab^2$提公因式得：
$a^2b+ab^2=ab(a+b)$，
将$ab=-1,a+b=4$代入得：
原式$=-1×4=-4$。
(2) 利用完全平方公式对$a^2-3ab+b^2$变形得：
$a^2-3ab+b^2=(a+b)^2-2ab-3ab=(a+b)^2-5ab$，
将$a+b=4,ab=-1$代入得：
原式$=4^2-5×(-1)=16+5=21$。
（也可变形为$(a-b)^2-ab$计算，结果一致）
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{21}$
【知识点】
二次根式的运算，因式分解，完全平方公式
【点评】
本题考查整体代入思想在代数式求值中的应用，先计算a+b、ab的值再代入变形后的式子，可避免复杂的二次根式乘方运算，解题时需熟练掌握代数式的恒等变形技巧。
【难度系数】
0.7
12. 先阅读，再解决问题：
求$\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$的值.
解:设$x=\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$.
两边平方,得$x^2=(\sqrt{3+\sqrt{5}})^2+(\sqrt{3-\sqrt{5}})^2+2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$,
即$x^2=3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}+4$,$x^2=10$,$\therefore x=\pm\sqrt{10}$.
$\because \sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}＞0$,$\therefore \sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{10}$.
请利用上述方法,求$\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}$的值.
求$\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$的值.
解:设$x=\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$.
两边平方,得$x^2=(\sqrt{3+\sqrt{5}})^2+(\sqrt{3-\sqrt{5}})^2+2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$,
即$x^2=3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}+4$,$x^2=10$,$\therefore x=\pm\sqrt{10}$.
$\because \sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}＞0$,$\therefore \sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{10}$.
请利用上述方法,求$\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}$的值.
答案
12.解:设$x=\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}$,
两边平方,得$x^{2}=(\sqrt{4-\sqrt{7}} )^{2}+(\sqrt{4+\sqrt{7}} )^{2}-2\sqrt{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}$,
即$x^{2}=4-\sqrt{7}+4+\sqrt{7}-6$,
可得$x^{2}=2$,
$\therefore x=\pm\sqrt{2}$.
$\because \sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}＜0$,
$\therefore \sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}=-\sqrt{2}$.
两边平方,得$x^{2}=(\sqrt{4-\sqrt{7}} )^{2}+(\sqrt{4+\sqrt{7}} )^{2}-2\sqrt{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}$,
即$x^{2}=4-\sqrt{7}+4+\sqrt{7}-6$,
可得$x^{2}=2$,
$\therefore x=\pm\sqrt{2}$.
$\because \sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}＜0$,
$\therefore \sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}=-\sqrt{2}$.
解析
【分析】
这是一道材料类比类二次根式化简题，可参考例题思路求解：①直接计算两个多重二次根式的差运算复杂，因此先设待求式子的值为x；②对x两边同时平方，借助完全平方公式展开，再结合平方差公式计算根号内的乘积，去掉根号后即可求出x²的值；③最后判断原式的正负：因为√(4+√7)大于√(4-√7)，所以原式的结果为负数，据此从x²的两个平方根中选取符合符号要求的根，即为最终结果。
【解析】
设$x=\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}$，
两边平方，根据完全平方公式展开得：
$x^{2}=(\sqrt{4-\sqrt{7}} )^{2}+(\sqrt{4+\sqrt{7}} )^{2}-2\sqrt{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}$，
根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，结合平方差公式计算根号内的乘积：$(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})=4^2-(\sqrt{7})^2=9$，
代入化简得：$x^{2}=4-\sqrt{7}+4+\sqrt{7}-2×3=2$，
$\therefore x=\pm\sqrt{2}$，
$\because \sqrt{4+\sqrt{7}}＞\sqrt{4-\sqrt{7}}$，即$\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}＜0$，
$\therefore \sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}=-\sqrt{2}$。
【答案】
$-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式运算，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查阅读类比能力，核心是掌握平方法化简多重二次根式的技巧，解题时注意模仿给定方法运算即可，需特别注意最后要结合原式的正负性对结果进行取舍，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
这是一道材料类比类二次根式化简题，可参考例题思路求解：①直接计算两个多重二次根式的差运算复杂，因此先设待求式子的值为x；②对x两边同时平方，借助完全平方公式展开，再结合平方差公式计算根号内的乘积，去掉根号后即可求出x²的值；③最后判断原式的正负：因为√(4+√7)大于√(4-√7)，所以原式的结果为负数，据此从x²的两个平方根中选取符合符号要求的根，即为最终结果。
【解析】
设$x=\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}$，
两边平方，根据完全平方公式展开得：
$x^{2}=(\sqrt{4-\sqrt{7}} )^{2}+(\sqrt{4+\sqrt{7}} )^{2}-2\sqrt{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}$，
根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，结合平方差公式计算根号内的乘积：$(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})=4^2-(\sqrt{7})^2=9$，
代入化简得：$x^{2}=4-\sqrt{7}+4+\sqrt{7}-2×3=2$，
$\therefore x=\pm\sqrt{2}$，
$\because \sqrt{4+\sqrt{7}}＞\sqrt{4-\sqrt{7}}$，即$\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}＜0$，
$\therefore \sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}=-\sqrt{2}$。
【答案】
$-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式运算，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查阅读类比能力，核心是掌握平方法化简多重二次根式的技巧，解题时注意模仿给定方法运算即可，需特别注意最后要结合原式的正负性对结果进行取舍，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
