登录
7.计算$(\sqrt{18}-\sqrt{2})×\sqrt{2}$的结果是
4
.答案
7.4
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题可选择两种思路：思路一：利用乘法分配律拆开括号，分别计算括号内两个二次根式与√2的乘积，再将所得结果相减；思路二：先把括号内的二次根式化简为最简二次根式，合并同类二次根式后再和√2相乘，两种方法均符合运算规则，计算难度相近。
【解析】
方法一：运用乘法分配律计算
原式=√18×√2 - √2×√2
=√(18×2) - (√2)²
=√36 - 2
=6 - 2
=4
方法二：先化简括号内的项再计算
原式=(3√2 - √2)×√2
=2√2×√2
=2×(√2×√2)
=2×2
=4
【答案】
4
【知识点】
二次根式的混合运算、二次根式的化简、同类二次根式的合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，运算时可根据式子结构灵活选择计算方法，只要熟练掌握二次根式的化简规则、乘法法则以及同类二次根式的合并方法，就能准确求出结果，计算时注意规避根号运算的低级错误即可。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的混合运算，解题可选择两种思路：思路一：利用乘法分配律拆开括号，分别计算括号内两个二次根式与√2的乘积，再将所得结果相减；思路二：先把括号内的二次根式化简为最简二次根式，合并同类二次根式后再和√2相乘，两种方法均符合运算规则，计算难度相近。
【解析】
方法一：运用乘法分配律计算
原式=√18×√2 - √2×√2
=√(18×2) - (√2)²
=√36 - 2
=6 - 2
=4
方法二：先化简括号内的项再计算
原式=(3√2 - √2)×√2
=2√2×√2
=2×(√2×√2)
=2×2
=4
【答案】
4
【知识点】
二次根式的混合运算、二次根式的化简、同类二次根式的合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，运算时可根据式子结构灵活选择计算方法，只要熟练掌握二次根式的化简规则、乘法法则以及同类二次根式的合并方法，就能准确求出结果，计算时注意规避根号运算的低级错误即可。
【难度系数】
0.9
8.若$a+\sqrt{8}=\sqrt{18}$，则表示实数a的点会落在如图所示的数轴上的
②
段.答案
8.②
解析
【分析】
解题时首先需要化简题目中的二次根式，求出a的表达式，再通过估算无理数的大小确定a的取值范围，最后对照数轴判断a所在的段即可。具体步骤：第一步先把√8和√18化为最简二次根式，第二步移项计算得到a的值，第三步通过比较平方数估算a的范围，对应数轴区间找到对应段。
【解析】
解：首先化简二次根式：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
将其代入原式$a+\sqrt{8}=\sqrt{18}$得：
$a + 2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
移项得：$a=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$
接下来估算$\sqrt{2}$的大小：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$
所以$1＜\sqrt{2}＜2$
即实数a在1和2之间，对应数轴上的②段。
【答案】
②
【知识点】
二次根式化简；无理数估算；数轴表示实数
【点评】
本题是基础运算类题型，将二次根式化简和无理数大小估算两个考点结合，解题核心是先求出a的表达式，再借助平方数估算无理数的范围，进而结合数轴确定位置，需要熟练掌握常见二次根式的化简方法以及常见无理数的近似范围。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要化简题目中的二次根式，求出a的表达式，再通过估算无理数的大小确定a的取值范围，最后对照数轴判断a所在的段即可。具体步骤：第一步先把√8和√18化为最简二次根式，第二步移项计算得到a的值，第三步通过比较平方数估算a的范围，对应数轴区间找到对应段。
【解析】
解：首先化简二次根式：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
将其代入原式$a+\sqrt{8}=\sqrt{18}$得：
$a + 2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
移项得：$a=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$
接下来估算$\sqrt{2}$的大小：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$
所以$1＜\sqrt{2}＜2$
即实数a在1和2之间，对应数轴上的②段。
【答案】
②
【知识点】
二次根式化简；无理数估算；数轴表示实数
【点评】
本题是基础运算类题型，将二次根式化简和无理数大小估算两个考点结合，解题核心是先求出a的表达式，再借助平方数估算无理数的范围，进而结合数轴确定位置，需要熟练掌握常见二次根式的化简方法以及常见无理数的近似范围。
【难度系数】
0.7
9.海伦—秦九韶公式告诉我们:如果三角形的三边长分别为$a,b,c$,记$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$,那么三角形的面积可以表示为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.现已知一个三角形的三边长分别为$5,6,7$,那么这个三角形的面积为
$6\sqrt{6}$
.答案
9.$6\sqrt{6}$
解析
【分析】
本题可直接利用海伦-秦九韶公式求解，解题思路分为两步：第一步先根据三角形三边长求出半周长$p$；第二步将$p$和三边长代入面积公式计算，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
已知三角形三边长$a=5$，$b=6$，$c=7$，
第一步：计算半周长$p$：
$p=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}×(5+6+7)=9$
第二步：将$p$、$a$、$b$、$c$代入海伦公式计算面积$S$：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$=\sqrt{9×(9-5)×(9-6)×(9-7)}$
$=\sqrt{9×4×3×2}$
$=\sqrt{216}$
$=\sqrt{36×6}=6\sqrt{6}$
【答案】
$6\sqrt{6}$
【知识点】
海伦-秦九韶公式应用；二次根式化简
【点评】
本题属于基础公式应用题，只要熟练掌握海伦-秦九韶公式的内容，按照步骤代入计算，同时注意二次根式化简要彻底就能正确解答。
【难度系数】
0.8
本题可直接利用海伦-秦九韶公式求解，解题思路分为两步：第一步先根据三角形三边长求出半周长$p$；第二步将$p$和三边长代入面积公式计算，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
已知三角形三边长$a=5$，$b=6$，$c=7$，
第一步：计算半周长$p$：
$p=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}×(5+6+7)=9$
第二步：将$p$、$a$、$b$、$c$代入海伦公式计算面积$S$：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$=\sqrt{9×(9-5)×(9-6)×(9-7)}$
$=\sqrt{9×4×3×2}$
$=\sqrt{216}$
$=\sqrt{36×6}=6\sqrt{6}$
【答案】
$6\sqrt{6}$
【知识点】
海伦-秦九韶公式应用；二次根式化简
【点评】
本题属于基础公式应用题，只要熟练掌握海伦-秦九韶公式的内容，按照步骤代入计算，同时注意二次根式化简要彻底就能正确解答。
【难度系数】
0.8
10. 计算：
(1)$\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{32}$.
(2)$\sqrt{4} × \sqrt{6} - \sqrt{54}$.
(3)$(-\sqrt{2}) × \sqrt{6} + |\sqrt{3} - 2| - (\frac{1}{2})^{-1}$.
(4)$(2 - \sqrt{3})^2 - (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})$.
(1)$\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{32}$.
(2)$\sqrt{4} × \sqrt{6} - \sqrt{54}$.
(3)$(-\sqrt{2}) × \sqrt{6} + |\sqrt{3} - 2| - (\frac{1}{2})^{-1}$.
(4)$(2 - \sqrt{3})^2 - (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})$.
答案
10.解:(1)原式$=5\sqrt{2}$.
(2)原式$=-\sqrt{6}$.
(3)原式$=-3\sqrt{3}$.
(4)原式$=8-4\sqrt{3}$.
(2)原式$=-\sqrt{6}$.
(3)原式$=-3\sqrt{3}$.
(4)原式$=8-4\sqrt{3}$.
解析
【分析】
这组题目均为二次根式的混合运算，解题思路可遵循以下通用步骤：首先将式子中的二次根式化为最简二次根式，再按照“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序计算，遇到绝对值、负指数幂、符合乘法公式结构的部分优先计算，最后合并同类二次根式得到结果。各小题具体思考方向：(1)属于二次根式加减运算，先化简每个根式再合并同类二次根式；(2)先计算二次根式乘法，再化简合并；(3)分别计算二次根式乘法、绝对值化简、负指数幂，再合并同类项；(4)分别用完全平方公式、平方差公式展开两部分，再做减法运算。
【解析】
(1) 先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
原式$=3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = (3-2+4)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
(2) 先计算二次根式乘法，再化简合并：
$\sqrt{4}×\sqrt{6}=2×\sqrt{6}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{54}=3\sqrt{6}$
原式$=2\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = (2-3)\sqrt{6} = -\sqrt{6}$
(3) 分别计算三部分：
① 二次根式乘法：$(-\sqrt{2})×\sqrt{6}=-\sqrt{12}=-2\sqrt{3}$
② 绝对值化简：因为$\sqrt{3}＜2$，所以$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$
③ 负指数幂：$(\frac{1}{2})^{-1}=2$
代入原式得：
原式$=-2\sqrt{3} + (2-\sqrt{3}) - 2 = -2\sqrt{3} +2 -\sqrt{3} -2 = -3\sqrt{3}$
(4) 分别用乘法公式展开：
① 完全平方公式：$(2-\sqrt{3})^2=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=4 -4\sqrt{3} +3=7-4\sqrt{3}$
② 平方差公式：$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^2 - (\sqrt{5})^2=4-5=-1$
代入原式得：
原式$=(7-4\sqrt{3}) - (-1) =7-4\sqrt{3}+1=8-4\sqrt{3}$
【答案】
(1)$5\sqrt{2}$；(2)$-\sqrt{6}$；(3)$-3\sqrt{3}$；(4)$8-4\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的运算、乘法公式的应用、绝对值与负整数指数幂运算
【点评】
这组题是二次根式运算的常规题型，核心考察最简二次根式的化简、同类二次根式的合并，以及运算顺序、相关公式的应用，计算时需注意符号判断，熟练掌握基础运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这组题目均为二次根式的混合运算，解题思路可遵循以下通用步骤：首先将式子中的二次根式化为最简二次根式，再按照“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序计算，遇到绝对值、负指数幂、符合乘法公式结构的部分优先计算，最后合并同类二次根式得到结果。各小题具体思考方向：(1)属于二次根式加减运算，先化简每个根式再合并同类二次根式；(2)先计算二次根式乘法，再化简合并；(3)分别计算二次根式乘法、绝对值化简、负指数幂，再合并同类项；(4)分别用完全平方公式、平方差公式展开两部分，再做减法运算。
【解析】
(1) 先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
原式$=3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = (3-2+4)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
(2) 先计算二次根式乘法，再化简合并：
$\sqrt{4}×\sqrt{6}=2×\sqrt{6}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{54}=3\sqrt{6}$
原式$=2\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = (2-3)\sqrt{6} = -\sqrt{6}$
(3) 分别计算三部分：
① 二次根式乘法：$(-\sqrt{2})×\sqrt{6}=-\sqrt{12}=-2\sqrt{3}$
② 绝对值化简：因为$\sqrt{3}＜2$，所以$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$
③ 负指数幂：$(\frac{1}{2})^{-1}=2$
代入原式得：
原式$=-2\sqrt{3} + (2-\sqrt{3}) - 2 = -2\sqrt{3} +2 -\sqrt{3} -2 = -3\sqrt{3}$
(4) 分别用乘法公式展开：
① 完全平方公式：$(2-\sqrt{3})^2=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=4 -4\sqrt{3} +3=7-4\sqrt{3}$
② 平方差公式：$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^2 - (\sqrt{5})^2=4-5=-1$
代入原式得：
原式$=(7-4\sqrt{3}) - (-1) =7-4\sqrt{3}+1=8-4\sqrt{3}$
【答案】
(1)$5\sqrt{2}$；(2)$-\sqrt{6}$；(3)$-3\sqrt{3}$；(4)$8-4\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的运算、乘法公式的应用、绝对值与负整数指数幂运算
【点评】
这组题是二次根式运算的常规题型，核心考察最简二次根式的化简、同类二次根式的合并，以及运算顺序、相关公式的应用，计算时需注意符号判断，熟练掌握基础运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
