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1. 下列各数中，与$\sqrt{2}$的积为有理数的是 （
A.2
B.3
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
C
）A.2
B.3
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
1.C
解析
【分析】
拿到这道题首先明确题干要求：找出与$\sqrt{2}$相乘的结果为有理数的选项。解题思路可分为两步：第一步回忆相关知识点，有理数是整数和分数的统称，同时要掌握二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）；第二步将四个选项分别与$\sqrt{2}$相乘，计算出结果后判断是否为有理数，即可选出正确答案。
【解析】
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a、b$均为非负数），结合有理数的定义（整数和分数统称有理数），逐一计算验证：
A选项：$2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求；
B选项：$3×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$是无理数，不符合要求；
C选项：$\sqrt{2}×\sqrt{2}=\sqrt{2×2}=\sqrt{4}=2$，2是整数，属于有理数，符合要求；
D选项：$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式乘法运算
2.有理数的定义
3.无理数的判别
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对二次根式乘法运算规则的掌握，以及对有理数、无理数概念的区分，熟练掌握基础知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确题干要求：找出与$\sqrt{2}$相乘的结果为有理数的选项。解题思路可分为两步：第一步回忆相关知识点，有理数是整数和分数的统称，同时要掌握二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）；第二步将四个选项分别与$\sqrt{2}$相乘，计算出结果后判断是否为有理数，即可选出正确答案。
【解析】
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a、b$均为非负数），结合有理数的定义（整数和分数统称有理数），逐一计算验证：
A选项：$2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求；
B选项：$3×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$是无理数，不符合要求；
C选项：$\sqrt{2}×\sqrt{2}=\sqrt{2×2}=\sqrt{4}=2$，2是整数，属于有理数，符合要求；
D选项：$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式乘法运算
2.有理数的定义
3.无理数的判别
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对二次根式乘法运算规则的掌握，以及对有理数、无理数概念的区分，熟练掌握基础知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 下列计算正确的是 （
A.$\sqrt{3}+\sqrt{7}=\sqrt{10}$
B.$3+\sqrt{7}=3\sqrt{7}$
C.$\sqrt{3} × \sqrt{7}=\sqrt{21}$
D.$2\sqrt{7}-2=\sqrt{7}$
C
）A.$\sqrt{3}+\sqrt{7}=\sqrt{10}$
B.$3+\sqrt{7}=3\sqrt{7}$
C.$\sqrt{3} × \sqrt{7}=\sqrt{21}$
D.$2\sqrt{7}-2=\sqrt{7}$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减和乘法运算，解题思路如下：首先回忆二次根式的运算规则：一是只有同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）才能进行加减合并，合并时仅系数相加减，根号部分保持不变；二是二次根式乘法满足$\sqrt{a} × \sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）。接下来逐个验证四个选项是否符合运算法则，即可选出正确答案。
【解析】
我们根据二次根式的运算法则逐一分析选项：
1. 分析选项A：$\sqrt{3}$和$\sqrt{7}$的被开方数分别为3和7，二者不是同类二次根式，不能直接相加，因此$\sqrt{3}+\sqrt{7}≠\sqrt{10}$，A错误。
2. 分析选项B：3是有理数，$\sqrt{7}$是最简二次根式，二者不是同类二次根式，不能合并，因此$3+\sqrt{7}≠3\sqrt{7}$，B错误。
3. 分析选项C：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{3} × \sqrt{7}=\sqrt{3×7}=\sqrt{21}$，运算符合规则，C正确。
4. 分析选项D：$2\sqrt{7}$和2不是同类二次根式，不能直接相减，因此$2\sqrt{7}-2≠\sqrt{7}$，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 同类二次根式
2. 二次根式乘法运算
3. 二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分二次根式加减和乘法的运算规则，易错点是误将非同类二次根式直接合并，只要牢记相关运算法则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的加减和乘法运算，解题思路如下：首先回忆二次根式的运算规则：一是只有同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）才能进行加减合并，合并时仅系数相加减，根号部分保持不变；二是二次根式乘法满足$\sqrt{a} × \sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）。接下来逐个验证四个选项是否符合运算法则，即可选出正确答案。
【解析】
我们根据二次根式的运算法则逐一分析选项：
1. 分析选项A：$\sqrt{3}$和$\sqrt{7}$的被开方数分别为3和7，二者不是同类二次根式，不能直接相加，因此$\sqrt{3}+\sqrt{7}≠\sqrt{10}$，A错误。
2. 分析选项B：3是有理数，$\sqrt{7}$是最简二次根式，二者不是同类二次根式，不能合并，因此$3+\sqrt{7}≠3\sqrt{7}$，B错误。
3. 分析选项C：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{3} × \sqrt{7}=\sqrt{3×7}=\sqrt{21}$，运算符合规则，C正确。
4. 分析选项D：$2\sqrt{7}$和2不是同类二次根式，不能直接相减，因此$2\sqrt{7}-2≠\sqrt{7}$，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 同类二次根式
2. 二次根式乘法运算
3. 二次根式加减运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分二次根式加减和乘法的运算规则，易错点是误将非同类二次根式直接合并，只要牢记相关运算法则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
3. 等式$\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-2}}$成立的条件是（
A.$x≠ 2$
B.$x≥ 0$
C.$x＞2$
D.$\dfrac{x}{x-2}≥ 0$
C
）A.$x≠ 2$
B.$x≥ 0$
C.$x＞2$
D.$\dfrac{x}{x-2}≥ 0$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查二次根式商的性质的适用条件，解题思路如下：首先回忆$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的前提：一是分子的被开方数非负，二是分母的被开方数为正数（分母不能为0，且根号下的数必须非负）。将题目中的式子与公式对应，列出关于x的不等式组，求解不等式组即可得到等式成立的条件，再逐一核对选项即可。
【解析】
根据二次根式的除法运算法则：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的条件为$\boldsymbol{a≥0}$且$\boldsymbol{b＞0}$。
对应本题，$a=x$，$b=x-2$，因此可列不等式组：
$\begin{cases}x≥0 \\x-2＞0\end{cases}$
解第二个不等式得$x＞2$，与第一个不等式$x≥0$取交集，最终得$x＞2$。
逐一分析选项：
A选项$x≠2$：包含$x＜2$的情况，此时$x-2＜0$，$\sqrt{x-2}$无意义，错误；
B选项$x≥0$：包含$0≤ x＜2$的情况，此时$x-2＜0$，$\sqrt{x-2}$无意义，错误；
C选项$x＞2$：完全符合求解结果，正确；
D选项$\dfrac{x}{x-2}≥0$：解得$x＞2$或$x≤0$，当$x≤0$时，$\sqrt{x}$无意义，错误。
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的除法法则；一元一次不等式组的解法
【点评】本题属于二次根式性质的基础考查题，易错点是忽略分母的二次根式的被开方数不能为0，或者只考虑整个分式的被开方数非负，从而误选D选项，解题时需同时保证分子、分母的二次根式都有意义。
【难度系数】0.7
本题考查二次根式商的性质的适用条件，解题思路如下：首先回忆$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的前提：一是分子的被开方数非负，二是分母的被开方数为正数（分母不能为0，且根号下的数必须非负）。将题目中的式子与公式对应，列出关于x的不等式组，求解不等式组即可得到等式成立的条件，再逐一核对选项即可。
【解析】
根据二次根式的除法运算法则：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立的条件为$\boldsymbol{a≥0}$且$\boldsymbol{b＞0}$。
对应本题，$a=x$，$b=x-2$，因此可列不等式组：
$\begin{cases}x≥0 \\x-2＞0\end{cases}$
解第二个不等式得$x＞2$，与第一个不等式$x≥0$取交集，最终得$x＞2$。
逐一分析选项：
A选项$x≠2$：包含$x＜2$的情况，此时$x-2＜0$，$\sqrt{x-2}$无意义，错误；
B选项$x≥0$：包含$0≤ x＜2$的情况，此时$x-2＜0$，$\sqrt{x-2}$无意义，错误；
C选项$x＞2$：完全符合求解结果，正确；
D选项$\dfrac{x}{x-2}≥0$：解得$x＞2$或$x≤0$，当$x≤0$时，$\sqrt{x}$无意义，错误。
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的除法法则；一元一次不等式组的解法
【点评】本题属于二次根式性质的基础考查题，易错点是忽略分母的二次根式的被开方数不能为0，或者只考虑整个分式的被开方数非负，从而误选D选项，解题时需同时保证分子、分母的二次根式都有意义。
【难度系数】0.7
4. 高空抛物是一种不文明的危险行为.据研究,从高处坠落的物品,其下落的时间$t(\mathrm{s})$和高度$h(\mathrm{m})$近似满足公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$（不考虑阻力的影响）.物体从60 m的高空落到地面的时间是（
A.$2\sqrt{3}\ \mathrm{s}$
B.$3\sqrt{2}\ \mathrm{s}$
C.$6\sqrt{2}\ \mathrm{s}$
D.$12\ \mathrm{s}$
A
）A.$2\sqrt{3}\ \mathrm{s}$
B.$3\sqrt{2}\ \mathrm{s}$
C.$6\sqrt{2}\ \mathrm{s}$
D.$12\ \mathrm{s}$
答案
4.A
解析
【分析】
本题给出了下落时间t与高度h的对应公式，要求物体从60m高空落地的时间，解题思路清晰：首先明确已知高度h=60m，将其代入题目给出的公式中，再对计算得到的二次根式进行化简，最终和选项比对即可得出结果。
【解析】
已知下落时间和高度的关系公式为$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，题目中给出下落高度$h=60\mathrm{m}$，将h代入公式可得：
$t=\sqrt{\frac{60}{5}}=\sqrt{12}$
对二次根式进行化简：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，结果单位为s，即下落时间为$2\sqrt{3}\ \mathrm{s}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；二次根式的化简
【点评】
本题结合生活实际场景命题，核心考察代入求值的基本方法和二次根式的化简规则，计算量小，细心作答即可得分。
【难度系数】
0.8
本题给出了下落时间t与高度h的对应公式，要求物体从60m高空落地的时间，解题思路清晰：首先明确已知高度h=60m，将其代入题目给出的公式中，再对计算得到的二次根式进行化简，最终和选项比对即可得出结果。
【解析】
已知下落时间和高度的关系公式为$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$，题目中给出下落高度$h=60\mathrm{m}$，将h代入公式可得：
$t=\sqrt{\frac{60}{5}}=\sqrt{12}$
对二次根式进行化简：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，结果单位为s，即下落时间为$2\sqrt{3}\ \mathrm{s}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；二次根式的化简
【点评】
本题结合生活实际场景命题，核心考察代入求值的基本方法和二次根式的化简规则，计算量小，细心作答即可得分。
【难度系数】
0.8
5.估计$\sqrt{32} × \sqrt{\frac{1}{4}} + \sqrt{18}$的运算结果应在 （
A.5到6之间
B.6到7之间
C.7到8之间
D.8到9之间
C
）A.5到6之间
B.6到7之间
C.7到8之间
D.8到9之间
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先明确本题是二次根式运算与无理数范围估算的结合类题型，可分两步求解：第一步先化简原式，先利用二次根式的乘法法则计算乘法部分，再将所有二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式得到最简结果；第二步估算化简后无理数的取值范围，可通过比较无理数平方和相邻整数平方的大小，或代入常用无理数的近似值计算，最终匹配对应选项即可。
【解析】
解：先根据二次根式的运算法则化简原式：
$\begin{aligned}\sqrt{32} × \sqrt{\frac{1}{4}} + \sqrt{18}&=\sqrt{32×\frac{1}{4}} + \sqrt{18}\\&=\sqrt{8}+\sqrt{18}\\&=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}\\&=5\sqrt{2}\end{aligned}$
再估算$5\sqrt{2}$的范围：
将$5\sqrt{2}$转化为根号形式得$5\sqrt{2}=\sqrt{25×2}=\sqrt{50}$，
因为$7^2=49$，$8^2=64$，且$49＜50＜64$，
所以$\sqrt{49}＜\sqrt{50}＜\sqrt{64}$，即$7＜5\sqrt{2}＜8$，运算结果在7到8之间。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的运算；最简二次根式化简；无理数的估算
【点评】
本题属于基础综合题，重点考查二次根式的计算能力和无理数的估算能力，解题的关键是先准确化简原式再进行估值，避免直接估算各部分再相加出现误差，是二次根式模块的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确本题是二次根式运算与无理数范围估算的结合类题型，可分两步求解：第一步先化简原式，先利用二次根式的乘法法则计算乘法部分，再将所有二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式得到最简结果；第二步估算化简后无理数的取值范围，可通过比较无理数平方和相邻整数平方的大小，或代入常用无理数的近似值计算，最终匹配对应选项即可。
【解析】
解：先根据二次根式的运算法则化简原式：
$\begin{aligned}\sqrt{32} × \sqrt{\frac{1}{4}} + \sqrt{18}&=\sqrt{32×\frac{1}{4}} + \sqrt{18}\\&=\sqrt{8}+\sqrt{18}\\&=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}\\&=5\sqrt{2}\end{aligned}$
再估算$5\sqrt{2}$的范围：
将$5\sqrt{2}$转化为根号形式得$5\sqrt{2}=\sqrt{25×2}=\sqrt{50}$，
因为$7^2=49$，$8^2=64$，且$49＜50＜64$，
所以$\sqrt{49}＜\sqrt{50}＜\sqrt{64}$，即$7＜5\sqrt{2}＜8$，运算结果在7到8之间。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的运算；最简二次根式化简；无理数的估算
【点评】
本题属于基础综合题，重点考查二次根式的计算能力和无理数的估算能力，解题的关键是先准确化简原式再进行估值，避免直接估算各部分再相加出现误差，是二次根式模块的常考题型。
【难度系数】
0.8
6.如果等腰三角形的两边长分别为$\sqrt{8}$和$6\sqrt{\frac{1}{2}}$，那么这个等腰三角形的周长为（
A.$8\sqrt{2}$或$7\sqrt{2}$
B.$7\sqrt{2}$
C.$5\sqrt{2}$或$6\sqrt{2}$
D.$8\sqrt{2}$
A
）A.$8\sqrt{2}$或$7\sqrt{2}$
B.$7\sqrt{2}$
C.$5\sqrt{2}$或$6\sqrt{2}$
D.$8\sqrt{2}$
答案
6.A
解析
【分析】
首先先将题目给出的两个边长化简为最简二次根式，方便后续计算。结合等腰三角形两条腰长度相等的性质，分两种情况讨论：①腰长为$\sqrt{8}$，底边长为$6\sqrt{\frac{1}{2}}$；②腰长为$6\sqrt{\frac{1}{2}}$，底边长为$\sqrt{8}$。每种情况都需要先根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断能否构成三角形，若能构成再计算对应周长，不符合的情况直接舍去。
【解析】
先化简两个边长：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，
$6\sqrt{\frac{1}{2}}=6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$。
分两种情况讨论：
1. 若腰长为$2\sqrt{2}$，底边长为$3\sqrt{2}$：
此时三角形三边长为$2\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$、$3\sqrt{2}$，
验证三边关系：$2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}＞3\sqrt{2}$，满足三角形三边要求，
周长为$2\sqrt{2}+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}$。
2. 若腰长为$3\sqrt{2}$，底边长为$2\sqrt{2}$：
此时三角形三边长为$3\sqrt{2}$、$3\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$，
验证三边关系：$3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}＞3\sqrt{2}$，满足三角形三边要求，
周长为$3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
综上，这个等腰三角形的周长为$7\sqrt{2}$或$8\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；二次根式的化简；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题时需考虑等腰三角形腰长的两种可能情况，同时切记要验证三边是否符合三角形构成条件，避免漏解或得出不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
首先先将题目给出的两个边长化简为最简二次根式，方便后续计算。结合等腰三角形两条腰长度相等的性质，分两种情况讨论：①腰长为$\sqrt{8}$，底边长为$6\sqrt{\frac{1}{2}}$；②腰长为$6\sqrt{\frac{1}{2}}$，底边长为$\sqrt{8}$。每种情况都需要先根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断能否构成三角形，若能构成再计算对应周长，不符合的情况直接舍去。
【解析】
先化简两个边长：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，
$6\sqrt{\frac{1}{2}}=6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$。
分两种情况讨论：
1. 若腰长为$2\sqrt{2}$，底边长为$3\sqrt{2}$：
此时三角形三边长为$2\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$、$3\sqrt{2}$，
验证三边关系：$2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}＞3\sqrt{2}$，满足三角形三边要求，
周长为$2\sqrt{2}+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}$。
2. 若腰长为$3\sqrt{2}$，底边长为$2\sqrt{2}$：
此时三角形三边长为$3\sqrt{2}$、$3\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$，
验证三边关系：$3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}＞3\sqrt{2}$，满足三角形三边要求，
周长为$3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
综上，这个等腰三角形的周长为$7\sqrt{2}$或$8\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；二次根式的化简；三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题时需考虑等腰三角形腰长的两种可能情况，同时切记要验证三边是否符合三角形构成条件，避免漏解或得出不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
