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11. 已知$|a|=-a$，化简：$\sqrt{(a-2)^2} + |1 - a| + 2a$
答案
11.解:$\because |a|=-a$,
$\therefore a≤ 0$. 则 $a-2＜0,1-a＞0$,
$\therefore$ 原式$=2-a+1-a+2a=3$.
$\therefore a≤ 0$. 则 $a-2＜0,1-a＞0$,
$\therefore$ 原式$=2-a+1-a+2a=3$.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件|a|=-a入手，回忆绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0也等于-0，因此可以推出a的取值范围是a≤0。接下来要化简的式子包含二次根式的平方和绝对值，两者化简都需要判断内部代数式的正负：先判断a-2和1-a的正负，再根据√(x²)=|x|、负数的绝对值等于它的相反数、正数的绝对值等于它本身的规则，去掉根号和绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：$\because |a|=-a$，
$\therefore a≤ 0$，
$\therefore a-2＜0,1-a＞0$，
$\therefore$ 原式$=|a-2| + |1 - a| + 2a$
$=(2-a)+(1-a)+2a$
$=2-a+1-a+2a$
$=3$
【答案】
3
【知识点】
绝对值的性质；二次根式的化简；整式的加减
【点评】
本题核心是结合已知条件判断字母的取值范围，再依据相关性质化简二次根式与绝对值，解题的关键是准确判断被开方数、绝对值内式子的正负，熟练掌握相关性质是正确解题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件|a|=-a入手，回忆绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0也等于-0，因此可以推出a的取值范围是a≤0。接下来要化简的式子包含二次根式的平方和绝对值，两者化简都需要判断内部代数式的正负：先判断a-2和1-a的正负，再根据√(x²)=|x|、负数的绝对值等于它的相反数、正数的绝对值等于它本身的规则，去掉根号和绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：$\because |a|=-a$，
$\therefore a≤ 0$，
$\therefore a-2＜0,1-a＞0$，
$\therefore$ 原式$=|a-2| + |1 - a| + 2a$
$=(2-a)+(1-a)+2a$
$=2-a+1-a+2a$
$=3$
【答案】
3
【知识点】
绝对值的性质；二次根式的化简；整式的加减
【点评】
本题核心是结合已知条件判断字母的取值范围，再依据相关性质化简二次根式与绝对值，解题的关键是准确判断被开方数、绝对值内式子的正负，熟练掌握相关性质是正确解题的基础。
【难度系数】
0.8
12. 甲、乙两人计算算式 $x+\sqrt{1-2x+x^2}$ 的值，当 $x=3$ 的时候，得到不同的答案，其中甲的解答是 $x+\sqrt{1-2x+x^2}=x+\sqrt{(1-x)^2}=x+1-x=1$；乙的解答是 $x+\sqrt{1-2x+x^2}=x+\sqrt{(1-x)^2}=x+x-1=5$。哪一个答案是正确的？为什么？对的说出理由，错的指出错误的原因。
答案
12.解:乙的答案正确.
$\because x=3,\therefore 1-x＜0$.
又$\sqrt{(1-x)^2}＞0$,
$\therefore \sqrt{(1-x)^2}=x-1$,
而不是$\sqrt{(1-x)^2}=1-x$.
$\therefore$ 乙的答案是正确的,甲的答案是错误的.
$\because x=3,\therefore 1-x＜0$.
又$\sqrt{(1-x)^2}＞0$,
$\therefore \sqrt{(1-x)^2}=x-1$,
而不是$\sqrt{(1-x)^2}=1-x$.
$\therefore$ 乙的答案是正确的,甲的答案是错误的.
解析
【分析】
解题时首先观察根号内的多项式，可利用完全平方公式将其整理为平方形式，再结合二次根式的性质分析：二次根式开平方的结果一定是非负的，即$\sqrt{a^2}=|a|$，不能直接去掉根号得到$a$。接下来根据给定的$x=3$，判断绝对值内$1-x$的正负性，再按绝对值的化简规则去掉绝对值符号，代入计算出正确结果后，对比甲乙两人的解答即可判断对错，同时明确错误解法的问题所在。
【解析】
1. 首先明确二次根式的性质：对任意实数$a$，都有$\sqrt{a^2}=|a|$，开方结果为非负数。
2. 代入$x=3$，计算得$1-x=1-3=-2＜0$。
3. 因此$\sqrt{(1-x)^2}=|1-x|$，由于$1-x$是负数，负数的绝对值等于它的相反数，所以$|1-x|=x-1$。
4. 原式化简为$x+(x-1)=2x-1$，代入$x=3$得结果为$2×3-1=5$。
5. 对比两人解答：乙的化简符合规则，计算正确；甲错误地直接将$\sqrt{(1-x)^2}$化简为$1-x$，忽略了$1-x＜0$、二次根式开方结果非负的要求，因此化简错误，结果不对。
【答案】
乙的答案正确。$\because x=3,\therefore 1-x＜0$，又$\sqrt{(1-x)^2}＞0$，$\therefore \sqrt{(1-x)^2}=x-1$，而不是$\sqrt{(1-x)^2}=1-x$，所以乙的答案是正确的，甲的答案是错误的。
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 绝对值的化简
3. 完全平方公式
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，核心考查二次根式开方的非负性要求，易错点是化简$\sqrt{a^2}$时直接去掉根号忽略符号判断。解题时需牢记$\sqrt{a^2}=|a|$，先判断绝对值内式子的正负再化简，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察根号内的多项式，可利用完全平方公式将其整理为平方形式，再结合二次根式的性质分析：二次根式开平方的结果一定是非负的，即$\sqrt{a^2}=|a|$，不能直接去掉根号得到$a$。接下来根据给定的$x=3$，判断绝对值内$1-x$的正负性，再按绝对值的化简规则去掉绝对值符号，代入计算出正确结果后，对比甲乙两人的解答即可判断对错，同时明确错误解法的问题所在。
【解析】
1. 首先明确二次根式的性质：对任意实数$a$，都有$\sqrt{a^2}=|a|$，开方结果为非负数。
2. 代入$x=3$，计算得$1-x=1-3=-2＜0$。
3. 因此$\sqrt{(1-x)^2}=|1-x|$，由于$1-x$是负数，负数的绝对值等于它的相反数，所以$|1-x|=x-1$。
4. 原式化简为$x+(x-1)=2x-1$，代入$x=3$得结果为$2×3-1=5$。
5. 对比两人解答：乙的化简符合规则，计算正确；甲错误地直接将$\sqrt{(1-x)^2}$化简为$1-x$，忽略了$1-x＜0$、二次根式开方结果非负的要求，因此化简错误，结果不对。
【答案】
乙的答案正确。$\because x=3,\therefore 1-x＜0$，又$\sqrt{(1-x)^2}＞0$，$\therefore \sqrt{(1-x)^2}=x-1$，而不是$\sqrt{(1-x)^2}=1-x$，所以乙的答案是正确的，甲的答案是错误的。
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 绝对值的化简
3. 完全平方公式
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，核心考查二次根式开方的非负性要求，易错点是化简$\sqrt{a^2}$时直接去掉根号忽略符号判断。解题时需牢记$\sqrt{a^2}=|a|$，先判断绝对值内式子的正负再化简，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
