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7. 要使代数式$\frac{\sqrt{4-2x}}{x+1}$有意义，则$x$的取值范围是
$x≤ 2$ 且 $x≠ -1$
。答案
7.$x≤ 2$ 且 $x≠ -1$
解析
【分析】
要确定代数式有意义时x的取值范围，首先观察代数式的结构：它同时包含二次根式和分式，因此需要满足两个限制条件：一是二次根式的被开方数必须为非负数，保证根号有意义；二是分式的分母不能为0，保证分式有意义。我们只需分别列出对应不等式求解，再取两个解集的公共部分即可得到最终结果。
【解析】
要使代数式$\frac{\sqrt{4-2x}}{x+1}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：
$4-2x ≥ 0$
移项得：$-2x ≥ -4$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得：$x ≤ 2$
2. 分式的分母不为0：
$x+1 ≠ 0$
解得：$x ≠ -1$
综合两个条件，x需同时满足$x ≤ 2$且$x ≠ -1$。
【答案】
$x≤ 2$ 且 $x≠ -1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是代数式有意义的常规基础题，解题时要注意梳理代数式中所有带限制要求的结构，多个限制条件需同时满足，不要遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.8
要确定代数式有意义时x的取值范围，首先观察代数式的结构：它同时包含二次根式和分式，因此需要满足两个限制条件：一是二次根式的被开方数必须为非负数，保证根号有意义；二是分式的分母不能为0，保证分式有意义。我们只需分别列出对应不等式求解，再取两个解集的公共部分即可得到最终结果。
【解析】
要使代数式$\frac{\sqrt{4-2x}}{x+1}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：
$4-2x ≥ 0$
移项得：$-2x ≥ -4$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得：$x ≤ 2$
2. 分式的分母不为0：
$x+1 ≠ 0$
解得：$x ≠ -1$
综合两个条件，x需同时满足$x ≤ 2$且$x ≠ -1$。
【答案】
$x≤ 2$ 且 $x≠ -1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是代数式有意义的常规基础题，解题时要注意梳理代数式中所有带限制要求的结构，多个限制条件需同时满足，不要遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.8
8. 若三角形的三边长分别为3,m,5,则化简$\sqrt{4-4m+m^2}-\sqrt{(m-8)^2}$的结果为
$2m-10$
。答案
8.$2m-10$
解析
【分析】
解题时首先要利用三角形三边关系确定m的取值范围，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式转化为绝对值的化简问题，最后结合m的范围去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】
第一步：根据三角形三边关系求m的取值范围
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知三边长为3，m，5，因此：
$5-3 ＜ m ＜ 5+3$，即$2 ＜ m ＜ 8$
第二步：化简二次根式
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，对原式变形：
$\sqrt{4-4m+m^2}-\sqrt{(m-8)^2}=\sqrt{(m-2)^2}-\sqrt{(m-8)^2}=|m-2|-|m-8|$
第三步：去绝对值并化简
因为$2 ＜ m ＜ 8$，所以$m-2＞0$，$m-8＜0$，因此：
$|m-2|=m-2$，$|m-8|=8-m$
代入原式得：
原式$=(m-2)-(8-m)=m-2-8+m=2m-10$
【答案】
$2m-10$
【知识点】
三角形三边关系；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是基础综合题，将三角形三边关系和代数化简结合考察，解题的核心是先确定参数的取值范围，再正确去绝对值符号，需要注意去绝对值时要根据绝对值内式子的正负判断化简结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先要利用三角形三边关系确定m的取值范围，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式转化为绝对值的化简问题，最后结合m的范围去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】
第一步：根据三角形三边关系求m的取值范围
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知三边长为3，m，5，因此：
$5-3 ＜ m ＜ 5+3$，即$2 ＜ m ＜ 8$
第二步：化简二次根式
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，对原式变形：
$\sqrt{4-4m+m^2}-\sqrt{(m-8)^2}=\sqrt{(m-2)^2}-\sqrt{(m-8)^2}=|m-2|-|m-8|$
第三步：去绝对值并化简
因为$2 ＜ m ＜ 8$，所以$m-2＞0$，$m-8＜0$，因此：
$|m-2|=m-2$，$|m-8|=8-m$
代入原式得：
原式$=(m-2)-(8-m)=m-2-8+m=2m-10$
【答案】
$2m-10$
【知识点】
三角形三边关系；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是基础综合题，将三角形三边关系和代数化简结合考察，解题的核心是先确定参数的取值范围，再正确去绝对值符号，需要注意去绝对值时要根据绝对值内式子的正负判断化简结果。
【难度系数】
0.7
9. 计算：
(1)$(\sqrt{11})^2$.
(2)$(-\sqrt{0.5})^2$.
(3)$(\sqrt{\dfrac{1}{3}})^2$.
(4)$(2\sqrt{2})^2$.
(5)$(-2\sqrt{\dfrac{1}{4}})^2$.
(6)$\sqrt{(-5)^2}$.
(7)$\sqrt{(-\dfrac{1}{6})^2}$.
(8)$-\sqrt{(-\dfrac{1}{7})^2}$.
(1)$(\sqrt{11})^2$.
(2)$(-\sqrt{0.5})^2$.
(3)$(\sqrt{\dfrac{1}{3}})^2$.
(4)$(2\sqrt{2})^2$.
(5)$(-2\sqrt{\dfrac{1}{4}})^2$.
(6)$\sqrt{(-5)^2}$.
(7)$\sqrt{(-\dfrac{1}{6})^2}$.
(8)$-\sqrt{(-\dfrac{1}{7})^2}$.
答案
9.解:(1)原式=11.(2)原式=0.5.
(3)原式=$\dfrac{1}{3}$.(4)原式=8.
(5)原式=1.(6)原式=5.
(7)原式=$\dfrac{1}{6}$.(8)原式=$-\dfrac{1}{7}$.
(3)原式=$\dfrac{1}{3}$.(4)原式=8.
(5)原式=1.(6)原式=5.
(7)原式=$\dfrac{1}{6}$.(8)原式=$-\dfrac{1}{7}$.
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算，解题时需区分两类二次根式的运算性质：① 对于$(\sqrt{a})^2$，当$a≥0$时，结果等于$a$；如果二次根式带有系数，可先利用积的乘方规则$(ab)^2=a^2b^2$，将系数和根式部分分别平方后再相乘，且平方后负号会消去。② 对于$\sqrt{a^2}$，结果等于$|a|$，再根据$a$的正负去掉绝对值符号，注意根号外的符号要保留。按照这个思路逐个计算每小题即可。
【解析】
我们根据二次根式的性质逐一计算：
(1) 根据$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，原式$=11$；
(2) 平方后负号抵消，原式$=(\sqrt{0.5})^2=0.5$；
(3) 根据$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，原式$=\dfrac{1}{3}$；
(4) 利用积的乘方计算：原式$=2^2×(\sqrt{2})^2=4×2=8$；
(5) 平方后负号抵消，再用积的乘方：原式$=(2\sqrt{\dfrac{1}{4}})^2=2^2×(\sqrt{\dfrac{1}{4}})^2=4×\dfrac{1}{4}=1$；
(6) 根据$\sqrt{a^2}=|a|$，原式$=|-5|=5$；
(7) 根据$\sqrt{a^2}=|a|$，原式$=\left|-\dfrac{1}{6}\right|=\dfrac{1}{6}$；
(8) 先算根号内的部分，保留根号外的负号：原式$=-\left|-\dfrac{1}{7}\right|=-\dfrac{1}{7}$。
【答案】
(1)$11$；(2)$0.5$；(3)$\dfrac{1}{3}$；(4)$8$；(5)$1$；(6)$5$；(7)$\dfrac{1}{6}$；(8)$-\dfrac{1}{7}$
【知识点】
二次根式的性质，积的乘方运算，绝对值化简
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，核心是要区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的运算规则，计算时要注意符号的处理，带系数的二次根式平方时需分别对系数和根式部分平方再相乘，熟练掌握这些性质是后续学习二次根式混合运算的基础。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的相关运算，解题时需区分两类二次根式的运算性质：① 对于$(\sqrt{a})^2$，当$a≥0$时，结果等于$a$；如果二次根式带有系数，可先利用积的乘方规则$(ab)^2=a^2b^2$，将系数和根式部分分别平方后再相乘，且平方后负号会消去。② 对于$\sqrt{a^2}$，结果等于$|a|$，再根据$a$的正负去掉绝对值符号，注意根号外的符号要保留。按照这个思路逐个计算每小题即可。
【解析】
我们根据二次根式的性质逐一计算：
(1) 根据$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，原式$=11$；
(2) 平方后负号抵消，原式$=(\sqrt{0.5})^2=0.5$；
(3) 根据$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，原式$=\dfrac{1}{3}$；
(4) 利用积的乘方计算：原式$=2^2×(\sqrt{2})^2=4×2=8$；
(5) 平方后负号抵消，再用积的乘方：原式$=(2\sqrt{\dfrac{1}{4}})^2=2^2×(\sqrt{\dfrac{1}{4}})^2=4×\dfrac{1}{4}=1$；
(6) 根据$\sqrt{a^2}=|a|$，原式$=|-5|=5$；
(7) 根据$\sqrt{a^2}=|a|$，原式$=\left|-\dfrac{1}{6}\right|=\dfrac{1}{6}$；
(8) 先算根号内的部分，保留根号外的负号：原式$=-\left|-\dfrac{1}{7}\right|=-\dfrac{1}{7}$。
【答案】
(1)$11$；(2)$0.5$；(3)$\dfrac{1}{3}$；(4)$8$；(5)$1$；(6)$5$；(7)$\dfrac{1}{6}$；(8)$-\dfrac{1}{7}$
【知识点】
二次根式的性质，积的乘方运算，绝对值化简
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，核心是要区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的运算规则，计算时要注意符号的处理，带系数的二次根式平方时需分别对系数和根式部分平方再相乘，熟练掌握这些性质是后续学习二次根式混合运算的基础。
【难度系数】
0.85
10. 已知 $ y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} - 4 $，求 $ (x + y)^{2026} $ 的值。
答案
10.解:根据题意,得$\begin{cases} x-3≥ 0,\\ 3-x≥ 0, \end{cases}$
解得 $x=3$.
当 $x=3$ 时,$y=-4$.
$\therefore (x+y)^{2\ 026}=(3-4)^{2\ 026}=1$.
解得 $x=3$.
当 $x=3$ 时,$y=-4$.
$\therefore (x+y)^{2\ 026}=(3-4)^{2\ 026}=1$.
解析
【分析】
要计算$(x+y)^{2026}$的值，首先需要确定x和y的取值。观察y的表达式，其中包含二次根式，根据二次根式的性质，被开方数必须是非负数，因此可以列出关于x的不等式组，解不等式组得到x的唯一取值，再代入原式求出y的值，最后代入待求式计算乘方即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得：
$\begin{cases} x-3≥ 0 \\ 3-x≥ 0 \end{cases}$
解$x-3≥0$得$x≥3$，解$3-x≥0$得$x≤3$，因此$x=3$。
将$x=3$代入$y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} - 4$，得：
$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}-4=-4$
将$x=3$、$y=-4$代入$(x+y)^{2026}$得：
$(x+y)^{2026}=(3-4)^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式有意义的条件、代数式求值、乘方运算
【点评】
本题是二次根式性质的典型应用题型，解题关键是利用二次根式被开方数的非负性确定x的取值，掌握二次根式的基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要计算$(x+y)^{2026}$的值，首先需要确定x和y的取值。观察y的表达式，其中包含二次根式，根据二次根式的性质，被开方数必须是非负数，因此可以列出关于x的不等式组，解不等式组得到x的唯一取值，再代入原式求出y的值，最后代入待求式计算乘方即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得：
$\begin{cases} x-3≥ 0 \\ 3-x≥ 0 \end{cases}$
解$x-3≥0$得$x≥3$，解$3-x≥0$得$x≤3$，因此$x=3$。
将$x=3$代入$y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} - 4$，得：
$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}-4=-4$
将$x=3$、$y=-4$代入$(x+y)^{2026}$得：
$(x+y)^{2026}=(3-4)^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式有意义的条件、代数式求值、乘方运算
【点评】
本题是二次根式性质的典型应用题型，解题关键是利用二次根式被开方数的非负性确定x的取值，掌握二次根式的基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
