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9. 儿子今年 13 岁，父亲今年 40 岁。问：几年前父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍？
答案
9. 解：设 $ x $ 年前父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍。
根据题意，得 $ 40 - x = 4(13 - x) $。
解这个方程，得 $ x = 4 $。
因此，4 年前父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍。
根据题意，得 $ 40 - x = 4(13 - x) $。
解这个方程，得 $ x = 4 $。
因此，4 年前父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍。
解析
【分析】
这是一道年龄相关的一元一次方程应用题，解题思路是：先设出所求的年数为未知数$x$，表示出$x$年前父子各自的年龄，再根据“$x$年前父亲年龄是儿子年龄的4倍”这一等量关系列出方程，最后解方程得到结果。
【解析】
解：设$x$年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍。
$x$年前，父亲的年龄为$(40 - x)$岁，儿子的年龄为$(13 - x)$岁，根据题意列方程：
$40 - x = 4(13 - x)$
展开方程右边：$40 - x = 52 - 4x$
移项得：$-x + 4x = 52 - 40$
合并同类项得：$3x = 12$
系数化为1得：$x = 4$
答：4年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍。
【答案】
4年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍。
【知识点】
一元一次方程的应用、年龄问题
【点评】
本题是典型的年龄问题，利用一元一次方程求解，关键是找准$x$年前父子的年龄及倍数关系，属于基础的方程应用题型，能帮助学生巩固一元一次方程的实际运用方法。
【难度系数】
0.6
这是一道年龄相关的一元一次方程应用题，解题思路是：先设出所求的年数为未知数$x$，表示出$x$年前父子各自的年龄，再根据“$x$年前父亲年龄是儿子年龄的4倍”这一等量关系列出方程，最后解方程得到结果。
【解析】
解：设$x$年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍。
$x$年前，父亲的年龄为$(40 - x)$岁，儿子的年龄为$(13 - x)$岁，根据题意列方程：
$40 - x = 4(13 - x)$
展开方程右边：$40 - x = 52 - 4x$
移项得：$-x + 4x = 52 - 40$
合并同类项得：$3x = 12$
系数化为1得：$x = 4$
答：4年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍。
【答案】
4年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍。
【知识点】
一元一次方程的应用、年龄问题
【点评】
本题是典型的年龄问题，利用一元一次方程求解，关键是找准$x$年前父子的年龄及倍数关系，属于基础的方程应用题型，能帮助学生巩固一元一次方程的实际运用方法。
【难度系数】
0.6
10. 某校有体育、美术两个课外小组。某班有学生 50 人，其中有 1 人两个小组都没有参加，有 30 人两个小组都参加了，而且参加体育小组的学生比参加美术小组的学生多 9 人。求该班参加美术小组的学生人数。
答案
10. 解：设该班参加美术小组的学生有 $ x $ 人。
根据题意，得 $ x + x + 9 - 30 = 50 - 1 $。
解这个方程，得 $ x = 35 $。
因此，该班参加美术小组的学生有 35 人。
根据题意，得 $ x + x + 9 - 30 = 50 - 1 $。
解这个方程，得 $ x = 35 $。
因此，该班参加美术小组的学生有 35 人。
解析
【分析】
先算出至少参加一个课外小组的人数：总人数减去两个小组都没参加的人数；再利用容斥原理：参加体育小组人数 + 参加美术小组人数 - 两个都参加的人数 = 至少参加一个小组的人数；设参加美术小组的人数为x，根据“参加体育小组的学生比参加美术小组多9人”表示出参加体育小组的人数，代入等量关系列方程即可求解。
【解析】
解：设该班参加美术小组的学生有$ x $人，则参加体育小组的学生有$ (x+9) $人。
至少参加一个小组的人数为：$ 50 - 1 = 49 $（人）
根据容斥原理，列方程得：
$ x + (x + 9) - 30 = 49 $
化简得：$ 2x - 21 = 49 $
移项计算：$ 2x = 70 $
解得：$ x = 35 $
答：该班参加美术小组的学生有35人。
【答案】
35人
【知识点】
一元一次方程的应用、容斥原理
【点评】
本题是容斥原理结合一元一次方程的基础应用题，解题核心是理清各部分人数关系，找到正确的等量关系，难度适中，学生只要掌握基础的方程应用和容斥逻辑即可解答。
【难度系数】
0.6
先算出至少参加一个课外小组的人数：总人数减去两个小组都没参加的人数；再利用容斥原理：参加体育小组人数 + 参加美术小组人数 - 两个都参加的人数 = 至少参加一个小组的人数；设参加美术小组的人数为x，根据“参加体育小组的学生比参加美术小组多9人”表示出参加体育小组的人数，代入等量关系列方程即可求解。
【解析】
解：设该班参加美术小组的学生有$ x $人，则参加体育小组的学生有$ (x+9) $人。
至少参加一个小组的人数为：$ 50 - 1 = 49 $（人）
根据容斥原理，列方程得：
$ x + (x + 9) - 30 = 49 $
化简得：$ 2x - 21 = 49 $
移项计算：$ 2x = 70 $
解得：$ x = 35 $
答：该班参加美术小组的学生有35人。
【答案】
35人
【知识点】
一元一次方程的应用、容斥原理
【点评】
本题是容斥原理结合一元一次方程的基础应用题，解题核心是理清各部分人数关系，找到正确的等量关系，难度适中，学生只要掌握基础的方程应用和容斥逻辑即可解答。
【难度系数】
0.6
列一元一次方程解应用题的步骤：审题、
找等量关系
、设未知数、列方程
、解方程、检验、写出答案。答案
找等量关系 列方程
解析
【分析】
本题考查列一元一次方程解应用题的标准步骤，解题思路是回忆课本明确的解题流程：先审题理解题意，接着需找到题目中的等量关系（这是列方程的核心依据），之后设未知数，再根据等量关系列出一元一次方程，后续依次为解方程、检验、写答案，据此可确定空缺内容。
【解析】
列一元一次方程解应用题的标准步骤为：①审题：明确题目中的已知量、未知量及问题；②找等量关系：分析数量间的相等关系，是构建方程的关键；③设未知数：通常设所求未知量为未知数；④列方程：根据找到的等量关系列出一元一次方程；⑤解方程；⑥检验解的合理性；⑦写出答案。因此题干空缺处依次对应找等量关系、列方程。
【答案】
找等量关系 列方程
【知识点】
一元一次方程应用、应用题解题步骤
【点评】
本题聚焦列一元一次方程解应用题的基础步骤，属于识记类基础题，需准确掌握各环节的逻辑顺序，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查列一元一次方程解应用题的标准步骤，解题思路是回忆课本明确的解题流程：先审题理解题意，接着需找到题目中的等量关系（这是列方程的核心依据），之后设未知数，再根据等量关系列出一元一次方程，后续依次为解方程、检验、写答案，据此可确定空缺内容。
【解析】
列一元一次方程解应用题的标准步骤为：①审题：明确题目中的已知量、未知量及问题；②找等量关系：分析数量间的相等关系，是构建方程的关键；③设未知数：通常设所求未知量为未知数；④列方程：根据找到的等量关系列出一元一次方程；⑤解方程；⑥检验解的合理性；⑦写出答案。因此题干空缺处依次对应找等量关系、列方程。
【答案】
找等量关系 列方程
【知识点】
一元一次方程应用、应用题解题步骤
【点评】
本题聚焦列一元一次方程解应用题的基础步骤，属于识记类基础题，需准确掌握各环节的逻辑顺序，难度较低。
【难度系数】
0.8
例 1
将内部直径为 18 mm 的圆柱形试管盛满水，再把试管中的水倒向一个底面是边长为 22 mm 的正方形、高为 15 mm 的空长方体容器。倒满这个容器后，试管内的水面大约下降了多少？（精确到 0.1 mm）
将内部直径为 18 mm 的圆柱形试管盛满水，再把试管中的水倒向一个底面是边长为 22 mm 的正方形、高为 15 mm 的空长方体容器。倒满这个容器后，试管内的水面大约下降了多少？（精确到 0.1 mm）
答案
设试管内的水面下降了 $ x $ mm。
根据题意，得：
$π × ( \frac{18}{2} )^2 × x = 22 × 22 × 15$
解这个方程：
$π × 9^2 × x = 484 × 15$
$81π x = 7260$
$x = \frac{7260}{81π} = \frac{2420}{27π} \approx 28.5$
答：试管内的水面大约下降了 28.5 mm。
根据题意，得：
$π × ( \frac{18}{2} )^2 × x = 22 × 22 × 15$
解这个方程：
$π × 9^2 × x = 484 × 15$
$81π x = 7260$
$x = \frac{7260}{81π} = \frac{2420}{27π} \approx 28.5$
答：试管内的水面大约下降了 28.5 mm。
解析
【分析】本题是等体积转换的应用题，核心是找到等量关系：试管中倒出的水的体积等于长方体容器的容积。设试管内水面下降了$ x $ mm，分别利用圆柱体积公式和长方体体积公式表示出倒出的水的体积与长方体容器的体积，据此列出一元一次方程，求解后按要求精确到0.1 mm即可。
【解析】设试管内的水面下降了$ x $ mm。
根据题意，倒出的水的体积等于长方体容器的容积，得：
$ π × (\frac{18}{2})^2 × x = 22 × 22 × 15 $
计算得：
$ π × 9^2 × x = 484 × 15 $
$ 81π x = 7260 $
解得：
$ x = \frac{7260}{81π} = \frac{2420}{27π} \approx 28.5 $
【答案】28.5 mm
【知识点】圆柱体积计算、长方体体积计算、一元一次方程的应用
【点评】本题通过实际场景考查一元一次方程的应用，关键是理解“倒出的水体积等于容器容积”的等量关系，计算时需注意公式的正确运用和结果的精确度要求，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】设试管内的水面下降了$ x $ mm。
根据题意，倒出的水的体积等于长方体容器的容积，得：
$ π × (\frac{18}{2})^2 × x = 22 × 22 × 15 $
计算得：
$ π × 9^2 × x = 484 × 15 $
$ 81π x = 7260 $
解得：
$ x = \frac{7260}{81π} = \frac{2420}{27π} \approx 28.5 $
【答案】28.5 mm
【知识点】圆柱体积计算、长方体体积计算、一元一次方程的应用
【点评】本题通过实际场景考查一元一次方程的应用，关键是理解“倒出的水体积等于容器容积”的等量关系，计算时需注意公式的正确运用和结果的精确度要求，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【变式训练 1】在内部直径为 20 cm、高为 55 cm 的圆柱形铁桶中，装有 40 cm 深的水。
(1) 现把一个棱长为 8 cm 的正方体形铁块慢慢放入桶中，桶中的水位大约上升了多少？（精确到 0.1 cm）
(2) 把这个正方体形铁块取出，往桶中放入一个底面直径为 8 cm、高为 40 cm 的圆柱形铁块，桶中的水是否会溢出？
(1) 现把一个棱长为 8 cm 的正方体形铁块慢慢放入桶中，桶中的水位大约上升了多少？（精确到 0.1 cm）
(2) 把这个正方体形铁块取出，往桶中放入一个底面直径为 8 cm、高为 40 cm 的圆柱形铁块，桶中的水是否会溢出？
答案
解：(1)设桶中的水位上升了x cm。
根据题意，得π×($\frac{20}{2}$)²×x = 8³。
解这个方程，得x ≈ 1.6。
因此，桶中的水位大约上升了1.6 cm。
(2)设桶中的水位上升了y cm。
根据题意，得π×($\frac{20}{2}$)²×y = π×($\frac{8}{2}$)²×40。
解这个方程，得y = 6.4。
因为40 + 6.4 ＜ 55，所以桶中的水不会溢出。
根据题意，得π×($\frac{20}{2}$)²×x = 8³。
解这个方程，得x ≈ 1.6。
因此，桶中的水位大约上升了1.6 cm。
(2)设桶中的水位上升了y cm。
根据题意，得π×($\frac{20}{2}$)²×y = π×($\frac{8}{2}$)²×40。
解这个方程，得y = 6.4。
因为40 + 6.4 ＜ 55，所以桶中的水不会溢出。
解析
【分析】
本题是利用体积相等建立方程解决实际问题的题目。第(1)问中，正方体铁块放入水中，排开水的体积等于正方体的体积，排开的水形成的圆柱底面积等于铁桶的底面积，据此设水位上升高度为x，结合圆柱和正方体体积公式列方程求解；第(2)问同理，先计算放入圆柱形铁块后排开水的体积，求出水位上升高度，再将总水位与铁桶高度比较，判断水是否溢出。
【解析】
(1) 设桶中的水位上升了$ x $ cm。
铁桶底面半径为$ \frac{20}{2}=10 $ cm，上升部分水的体积（圆柱体积）为$ π × 10^2 × x $；正方体铁块体积为$ 8^3=512 $ cm³。
根据排开水的体积等于正方体体积，列方程：
$ π × (\frac{20}{2})^2 × x = 8^3 $
代入计算得：$ 100π x = 512 $，解得$ x \approx \frac{512}{314} \approx 1.6 $。
因此，桶中的水位大约上升了1.6 cm。
(2) 设桶中的水位上升了$ y $ cm。
圆柱形铁块底面半径为$ \frac{8}{2}=4 $ cm，其体积为$ π × 4^2 × 40 = 640π $ cm³。
根据排开水的体积等于圆柱形铁块体积，列方程：
$ π × (\frac{20}{2})^2 × y = π × (\frac{8}{2})^2 × 40 $
约去$ π $化简得：$ 100y = 16 × 40 $，解得$ y=6.4 $。
总水位为$ 40 + 6.4 = 46.4 $ cm，因$ 46.4 ＜ 55 $，故桶中的水不会溢出。
【答案】
(1) 1.6 cm；(2) 不会溢出
【知识点】
圆柱体积计算、正方体体积计算、一元一次方程应用
【点评】
本题为体积转换类应用题，核心是利用“排开液体体积等于浸入物体体积”建立方程，解题需注意公式应用和数值计算，第二问需比较总水位与桶高判断是否溢出，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题是利用体积相等建立方程解决实际问题的题目。第(1)问中，正方体铁块放入水中，排开水的体积等于正方体的体积，排开的水形成的圆柱底面积等于铁桶的底面积，据此设水位上升高度为x，结合圆柱和正方体体积公式列方程求解；第(2)问同理，先计算放入圆柱形铁块后排开水的体积，求出水位上升高度，再将总水位与铁桶高度比较，判断水是否溢出。
【解析】
(1) 设桶中的水位上升了$ x $ cm。
铁桶底面半径为$ \frac{20}{2}=10 $ cm，上升部分水的体积（圆柱体积）为$ π × 10^2 × x $；正方体铁块体积为$ 8^3=512 $ cm³。
根据排开水的体积等于正方体体积，列方程：
$ π × (\frac{20}{2})^2 × x = 8^3 $
代入计算得：$ 100π x = 512 $，解得$ x \approx \frac{512}{314} \approx 1.6 $。
因此，桶中的水位大约上升了1.6 cm。
(2) 设桶中的水位上升了$ y $ cm。
圆柱形铁块底面半径为$ \frac{8}{2}=4 $ cm，其体积为$ π × 4^2 × 40 = 640π $ cm³。
根据排开水的体积等于圆柱形铁块体积，列方程：
$ π × (\frac{20}{2})^2 × y = π × (\frac{8}{2})^2 × 40 $
约去$ π $化简得：$ 100y = 16 × 40 $，解得$ y=6.4 $。
总水位为$ 40 + 6.4 = 46.4 $ cm，因$ 46.4 ＜ 55 $，故桶中的水不会溢出。
【答案】
(1) 1.6 cm；(2) 不会溢出
【知识点】
圆柱体积计算、正方体体积计算、一元一次方程应用
【点评】
本题为体积转换类应用题，核心是利用“排开液体体积等于浸入物体体积”建立方程，解题需注意公式应用和数值计算，第二问需比较总水位与桶高判断是否溢出，难度适中。
【难度系数】
0.5
