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例 2
将一根铁丝围成一个长为 24 cm、宽为 12 cm 的长方形。如果将它改成一个长比宽多 2 cm 的长方形，那么这个新长方形的面积是多少？
将一根铁丝围成一个长为 24 cm、宽为 12 cm 的长方形。如果将它改成一个长比宽多 2 cm 的长方形，那么这个新长方形的面积是多少？
答案
设这个新长方形的宽为 $ x $ cm，则长为 $ (x + 2) $ cm。
根据题意，得 $ 2[x + (x + 2)] = 2×(24 + 12) $。
解这个方程，得 $ 2(2x + 2) = 72 $，
$ 4x + 4 = 72 $，
$ 4x = 68 $，
$ x = 17 $。
$ x + 2 = 17 + 2 = 19 $。
面积为 $ 19×17 = 323 \, \mathrm{cm}^2 $。
答：这个新长方形的面积是 $ 323 \, \mathrm{cm}^2 $。
根据题意，得 $ 2[x + (x + 2)] = 2×(24 + 12) $。
解这个方程，得 $ 2(2x + 2) = 72 $，
$ 4x + 4 = 72 $，
$ 4x = 68 $，
$ x = 17 $。
$ x + 2 = 17 + 2 = 19 $。
面积为 $ 19×17 = 323 \, \mathrm{cm}^2 $。
答：这个新长方形的面积是 $ 323 \, \mathrm{cm}^2 $。
解析
【分析】
本题的核心是铁丝长度不变，即原长方形周长等于新长方形周长。首先计算原长方形的周长，再设新长方形的宽为未知数，根据长与宽的关系表示出长，利用周长相等建立一元一次方程，解方程求出宽和长，最后计算新长方形的面积。
【解析】
1. 计算原长方形周长：原长方形长24cm、宽12cm，周长为$2×(24 + 12) = 72 \, \mathrm{cm}$。
2. 设新长方形的宽为$x \, \mathrm{cm}$，则长为$(x + 2) \, \mathrm{cm}$，根据周长相等列方程：
$2[x + (x + 2)] = 72$
3. 解方程：
化简得$2(2x + 2) = 72$，即$4x + 4 = 72$；
移项得$4x = 72 - 4 = 68$；
解得$x = 17$。
4. 求新长方形的长：$x + 2 = 17 + 2 = 19 \, \mathrm{cm}$；
5. 计算新长方形面积：$19×17 = 323 \, \mathrm{cm}^2$。
【答案】
这个新长方形的面积是$323 \, \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
一元一次方程应用、长方形周长计算、长方形面积计算
【点评】
本题为一元一次方程的基础应用题，关键是抓住“铁丝长度不变（周长相等）”的等量关系，步骤明确，难度适中，适合巩固方程应用的基础知识点。
【难度系数】
0.6
本题的核心是铁丝长度不变，即原长方形周长等于新长方形周长。首先计算原长方形的周长，再设新长方形的宽为未知数，根据长与宽的关系表示出长，利用周长相等建立一元一次方程，解方程求出宽和长，最后计算新长方形的面积。
【解析】
1. 计算原长方形周长：原长方形长24cm、宽12cm，周长为$2×(24 + 12) = 72 \, \mathrm{cm}$。
2. 设新长方形的宽为$x \, \mathrm{cm}$，则长为$(x + 2) \, \mathrm{cm}$，根据周长相等列方程：
$2[x + (x + 2)] = 72$
3. 解方程：
化简得$2(2x + 2) = 72$，即$4x + 4 = 72$；
移项得$4x = 72 - 4 = 68$；
解得$x = 17$。
4. 求新长方形的长：$x + 2 = 17 + 2 = 19 \, \mathrm{cm}$；
5. 计算新长方形面积：$19×17 = 323 \, \mathrm{cm}^2$。
【答案】
这个新长方形的面积是$323 \, \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
一元一次方程应用、长方形周长计算、长方形面积计算
【点评】
本题为一元一次方程的基础应用题，关键是抓住“铁丝长度不变（周长相等）”的等量关系，步骤明确，难度适中，适合巩固方程应用的基础知识点。
【难度系数】
0.6
【变式训练 2】将一根铁丝围成一个长为 4 m、宽为 2 m 的长方形，然后将它改为一个正方形，则下列说法错误的是(
A.铁丝的长度没变
B.这个正方形的面积比这个长方形的面积多 $ 1 \mathrm { m } ^ { 2 } $
C.图形的形状发生了变化
D.这个长方形和这个正方形面积相等
D
)A.铁丝的长度没变
B.这个正方形的面积比这个长方形的面积多 $ 1 \mathrm { m } ^ { 2 } $
C.图形的形状发生了变化
D.这个长方形和这个正方形面积相等
答案
变式训练2 D
解析
铁丝长度：$2×(4 + 2)=12\,\mathrm{m}$
长方形面积：$4×2 = 8\,\mathrm{m}^2$
正方形边长：$12÷4 = 3\,\mathrm{m}$
正方形面积：$3×3 = 9\,\mathrm{m}^2$
$9-8=1\,\mathrm{m}^2$
D
长方形面积：$4×2 = 8\,\mathrm{m}^2$
正方形边长：$12÷4 = 3\,\mathrm{m}$
正方形面积：$3×3 = 9\,\mathrm{m}^2$
$9-8=1\,\mathrm{m}^2$
D
1. 一个长方形的周长是 40 cm。若将它的长减少 8 cm，宽增加 2 cm，则这个长方形就变成了一个正方形。那么，这个正方形的边长为(
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
B
)A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
答案
1. B
解析
设长方形的长为$x$ cm，宽为$y$ cm。
由长方形周长是$40$ cm，可得$2(x + y)=40$，即$x + y=20$。
长减少$8$ cm，宽增加$2$ cm变成正方形，此时长和宽相等，可得$x - 8=y + 2$。
联立方程组：
$\begin{cases}x + y=20 \\x - y=10\end{cases}$
两式相加得$2x=30$，解得$x=15$。
将$x=15$代入$x + y=20$，得$y=5$。
正方形边长为$x - 8=15 - 8=7$ cm。
B
由长方形周长是$40$ cm，可得$2(x + y)=40$，即$x + y=20$。
长减少$8$ cm，宽增加$2$ cm变成正方形，此时长和宽相等，可得$x - 8=y + 2$。
联立方程组：
$\begin{cases}x + y=20 \\x - y=10\end{cases}$
两式相加得$2x=30$，解得$x=15$。
将$x=15$代入$x + y=20$，得$y=5$。
正方形边长为$x - 8=15 - 8=7$ cm。
B
2. 将一根铁丝围成一个边长是 4 dm 的正方形，若将它改成一个长方形，且长是 6 dm，则宽应该是(
A.2 dm
B.6 dm
C.8 dm
D.10 dm
A
)A.2 dm
B.6 dm
C.8 dm
D.10 dm
答案
2. A
解析
正方形周长：$4×4 = 16\ \mathrm{dm}$
长方形宽：$16÷2 - 6 = 2\ \mathrm{dm}$
A
长方形宽：$16÷2 - 6 = 2\ \mathrm{dm}$
A
3. 已知半径为 5 cm、高为 7 cm 的圆柱的体积是直径为 4 cm、高为 $ x $ cm 的圆柱的体积的 5 倍，则下列方程正确的是(
A.$ 5 π × 4 ^ { 2 } × x = π × 10 ^ { 2 } × 7 $
B.$ π × 4 ^ { 2 } × x = 5 π × 10 ^ { 2 } × 7 $
C.$ 5 π × ( \frac { 4 } { 2 } ) ^ { 2 } × x = π × ( \frac { 5 } { 2 } ) ^ { 2 } × 7 $
D.$ 5 π × ( \frac { 4 } { 2 } ) ^ { 2 } × x = π × 5 ^ { 2 } × 7 $
D
)A.$ 5 π × 4 ^ { 2 } × x = π × 10 ^ { 2 } × 7 $
B.$ π × 4 ^ { 2 } × x = 5 π × 10 ^ { 2 } × 7 $
C.$ 5 π × ( \frac { 4 } { 2 } ) ^ { 2 } × x = π × ( \frac { 5 } { 2 } ) ^ { 2 } × 7 $
D.$ 5 π × ( \frac { 4 } { 2 } ) ^ { 2 } × x = π × 5 ^ { 2 } × 7 $
答案
3. D
解析
圆柱体积公式为$V = π r^2 h$。
半径为$5\,\mathrm{cm}$、高为$7\,\mathrm{cm}$的圆柱体积：$π × 5^2 × 7$。
直径为$4\,\mathrm{cm}$的圆柱，半径为$\frac{4}{2}\,\mathrm{cm}$，其体积为$π × (\frac{4}{2})^2 × x$。
依题意，前者体积是后者的$5$倍，可得方程：$5π × (\frac{4}{2})^2 × x = π × 5^2 × 7$。
D
半径为$5\,\mathrm{cm}$、高为$7\,\mathrm{cm}$的圆柱体积：$π × 5^2 × 7$。
直径为$4\,\mathrm{cm}$的圆柱，半径为$\frac{4}{2}\,\mathrm{cm}$，其体积为$π × (\frac{4}{2})^2 × x$。
依题意，前者体积是后者的$5$倍，可得方程：$5π × (\frac{4}{2})^2 × x = π × 5^2 × 7$。
D
4. 小聪将 40 cm 长的铁丝围成一个长方形，其中长比宽多 4 cm，求这个长方形的面积。设这个长方形的宽为 $ x $ cm，可列出方程：
2(x + 4 + x) = 40
。这个长方形的面积是96 cm²
。答案
4. 2(x + 4 + x) = 40 96 cm²
解析
【分析】
本题是利用一元一次方程解决几何图形的周长与面积问题。首先根据题意设出长方形的宽为$x$cm，得出长为$(x+4)$cm；再结合铁丝长度即长方形周长，利用长方形周长公式列出方程；最后解方程求出长和宽，再根据面积公式计算面积。
【解析】
设这个长方形的宽为$x$cm，则长为$(x+4)$cm。
因为铁丝长40cm，即长方形的周长为40cm，根据长方形周长公式：$周长=2×(长+宽)$，可列出方程：
$2(x + 4 + x) = 40$
解方程：
$2(2x + 4) = 40$
$2x + 4 = 20$
$2x = 16$
$x = 8$
则长为$8 + 4 = 12$cm，
长方形面积为：$12×8 = 96$cm²。
【答案】
$2(x + 4 + x) = 40$；$96\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元一次方程应用、长方形周长与面积
【点评】
本题属于基础的几何与方程结合的应用题，核心是利用周长公式建立方程，再通过方程求解边长后计算面积，解题思路清晰，步骤明确，适合学生巩固一元一次方程的应用。
【难度系数】
0.6
本题是利用一元一次方程解决几何图形的周长与面积问题。首先根据题意设出长方形的宽为$x$cm，得出长为$(x+4)$cm；再结合铁丝长度即长方形周长，利用长方形周长公式列出方程；最后解方程求出长和宽，再根据面积公式计算面积。
【解析】
设这个长方形的宽为$x$cm，则长为$(x+4)$cm。
因为铁丝长40cm，即长方形的周长为40cm，根据长方形周长公式：$周长=2×(长+宽)$，可列出方程：
$2(x + 4 + x) = 40$
解方程：
$2(2x + 4) = 40$
$2x + 4 = 20$
$2x = 16$
$x = 8$
则长为$8 + 4 = 12$cm，
长方形面积为：$12×8 = 96$cm²。
【答案】
$2(x + 4 + x) = 40$；$96\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元一次方程应用、长方形周长与面积
【点评】
本题属于基础的几何与方程结合的应用题，核心是利用周长公式建立方程，再通过方程求解边长后计算面积，解题思路清晰，步骤明确，适合学生巩固一元一次方程的应用。
【难度系数】
0.6
