1. (2024·日照)我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了"绳索量竿"问题:"一条竿子一条索,索比竿子长一托,折回索子来量竿,却比竿子短一托,问索、竿各长几何?"大意为:"有一根竿和一条绳,若用绳去量竿,则绳比竿长5尺;若将绳对折后再去量竿,则绳比竿短5尺,问绳和竿各有多长?"设绳长x尺,竿长y尺,根据题意可列方程组为(注:"托"和"尺"为古代的长度单位,1托=5尺)
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A.$\begin{cases}x - y = 5,\\y - \dfrac{1}{2}x = 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}y - x = 5,\\\dfrac{1}{2}x - y = 5\end{cases}$
C.$\begin{cases}x - y = 5,\\2x = y + 5\end{cases}$
D.$\begin{cases}x - y = 5,\\y - 2x = 5\end{cases}$

1. A

2. 已知甲、乙两种商品的进价和为100元,为了促销而打折销售,若甲商品打八折,乙商品打六折,则可赚50元;若甲商品打六折,乙商品打八折,则可赚30元.甲、乙两种商品的定价分别为
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A.50元、150元
B.50元、100元
C.100元、50元
D.150元、50元

2. D 解析:设甲商品的定价为 $ x $ 元,乙商品的定价为 $ y $ 元. 根据题意,得 $ \{\begin{array}{l} 0.8x + 0.6y = 100 + 50,\\ 0.6x + 0.8y = 100 + 30,\end{array} $ 解得 $ \{\begin{array}{l} x = 150,\\ y = 50.\end{array} $

3. (2024·齐齐哈尔)校团委开展以"我爱读书"为主题的演讲比赛活动,为奖励表现突出的学生,计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品,则购买方案有
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A.5种
B.4种
C.3种
D.2种

3. B 解析:设购买 8 元的笔记本 $ x $ 本,10 元的笔记本 $ y $ 本.根据题意,得 $ 8x + 10y = 200 $, 整理,得 $ y = 20 - \frac{4}{5}x $, $ \because x $、$ y $ 均为正整数, $ \therefore \{\begin{array}{l} x = 5,\\ y = 16\end{array} $ 或 $ \{\begin{array}{l} x = 10,\\ y = 12\end{array} $ 或 $ \{\begin{array}{l} x = 15,\\ y = 8\end{array} $ 或 $ \{\begin{array}{l} x = 20,\\ y = 4,\end{array} $ $ \therefore $ 购买方案有 4 种.

二、填空题(每小题8分,共24分)
4. "六一"前夕,某市准备为希望小学购进图书和文具若干套,已知2套文具和1套图书共需45元,1套文具和2套图书共需54元,则1套文具和1套图书共需元.

4. 33 解析:设 1 套文具 $ x $ 元,1 套图书 $ y $ 元.根据题意,得 $ \{\begin{array}{l} 2x + y = 45①,\\ x + 2y = 54②,\end{array} $ $ ① + ② $, 得 $ 3x + 3y = 99 $, $ \therefore x + y = 33 $, 即 1 套文具和 1 套图书共需 33 元.

设1套文具$x$元，1套图书$y$元。根据题意，得$\begin{cases}2x + y = 45 \\ x + 2y = 54\end{cases}$，$① + ②$，得$3x + 3y = 99$，$\therefore x + y = 33$。

5. 哥哥和弟弟在400m的环形跑道上散步.若两人同时同地反向出发,则4min相遇;若同时同地同向出发,40min哥哥追上弟弟.则哥哥每分钟走m.

5. 55 解析:设哥哥每分钟走 $ x $ m,弟弟每分钟走 $ y $ m, 根据题意,得 $ \{\begin{array}{l} 4x + 4y = 400,\\ 40x - 40y = 400,\end{array} $ 解得 $ \{\begin{array}{l} x = 55,\\ y = 45,\end{array} $ 即哥哥每分钟走 55 m.

设哥哥每分钟走 $ x $ m，弟弟每分钟走 $ y $ m。
根据题意，反向出发时，4分钟相遇，两人路程之和为400m，可得方程：$ 4x + 4y = 400 $；
同向出发时，40分钟哥哥追上弟弟，两人路程之差为400m，可得方程：$ 40x - 40y = 400 $。
联立方程组：$\begin{cases}4x + 4y = 400 \\ 40x - 40y = 400\end{cases}$
化简第一个方程：$x + y = 100$；
化简第二个方程：$x - y = 10$。
将两式相加：$2x = 110$，解得$x = 55$。
则哥哥每分钟走55m。

6. 为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文3a + b,2b + c,2c + d,2d.例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,10,8.当接收方收到密文13,9,24,20时,则解密得到的明文四个数字之和为.

6. 22 解析:根据题意,得 $ \{\begin{array}{l} 3a + b = 13,\\ 2b + c = 9,\\ 2c + d = 24,\\ 2d = 20,\end{array} $ 解得 $ \{\begin{array}{l} a = 4,\\ b = 1,\\ c = 7,\\ d = 10,\end{array} $ $ \therefore a + b + c + d = 4 + 1 + 7 + 10 = 22 $, 即解密得到的明文四个数字之和为 22.

根据题意，得$\begin{cases}3a + b = 13\\2b + c = 9\\2c + d = 24\\2d = 20\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 4\\b = 1\\c = 7\\d = 10\end{cases}$，$\therefore a + b + c + d = 4 + 1 + 7 + 10 = 22$。

三、解答题(共52分)
7. (12分)(2024·淮安)《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著,其中有这样一个问题:"今有客不知其数.两人共盘,少两盘;三人共盘,长三盘.问客及盘各几何?"大意为:"现有若干名客人.若2个人共用1个盘子,则少2个盘子;若3个人共用1个盘子,则多出来3个盘子.问客人和盘子各有多少?"请你解答这个问题.

7. 设有 $ x $ 个客人,$ y $ 个盘子. 根据题意,得 $ \{\begin{array}{l} \frac{x}{2} = y + 2,\\ \frac{x}{3} + 3 = y,\end{array} $ 解得 $ \{\begin{array}{l} x = 30,\\ y = 13.\end{array} $ 答:有 30 个客人,13 个盘子.