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9. 规定 $ a ※ b = 2^a × 2^b $。
(1)求 $ 2 ※ 3 $ 的值；
(2)若 $ 2 ※ (x+1) = 16 $，求 $ x $ 的值。
(1)求 $ 2 ※ 3 $ 的值；
(2)若 $ 2 ※ (x+1) = 16 $，求 $ x $ 的值。
答案
9. (1)$2※3=2^2×2^3=4×8=32$.
(2)$\because 2※(x+1)=16$,
$\therefore 2^2×2^{x+1}=2^{x+3}=16=2^4$.
$\therefore x+3=4$.
$\therefore x=1$.
(2)$\because 2※(x+1)=16$,
$\therefore 2^2×2^{x+1}=2^{x+3}=16=2^4$.
$\therefore x+3=4$.
$\therefore x=1$.
10. 阅读下列材料，并解决下面的问题.
材料:一般地,n个相同的因数a相乘:$\underbrace{a· a· ··· · a}_{n个a}$记为$a^{n}$.如$2^{3}=8$,此时,3叫作以2为底8的对数,记为$\log_{2}8$(即$\log_{2}8=3$).一般地,若$a^{n}=b(a＞0$且$a≠1,b＞0)$,则n叫作以a为底b的对数,记为$\log_{a}b$(即$\log_{a}b=n$).
问题:
(1)计算以下各对数的值:
$\log_{3}3=$,$\log_{3}27=$,$\log_{3}81=$.
(2)观察(1)中三个数3,27,81之间满足怎样的关系式?$\log_{3}3,\log_{3}27,\log_{3}81$之间又满足怎样的关系式?
(3)由(2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗?请根据幂的运算法则以及对数的定义进行验证.
结论:$\log_{a}M+\log_{a}N=\_\_\_\_\_\_(a＞0$且$a≠1,M＞0,N＞0)$.
验证:
材料:一般地,n个相同的因数a相乘:$\underbrace{a· a· ··· · a}_{n个a}$记为$a^{n}$.如$2^{3}=8$,此时,3叫作以2为底8的对数,记为$\log_{2}8$(即$\log_{2}8=3$).一般地,若$a^{n}=b(a＞0$且$a≠1,b＞0)$,则n叫作以a为底b的对数,记为$\log_{a}b$(即$\log_{a}b=n$).
问题:
(1)计算以下各对数的值:
$\log_{3}3=$,$\log_{3}27=$,$\log_{3}81=$.
(2)观察(1)中三个数3,27,81之间满足怎样的关系式?$\log_{3}3,\log_{3}27,\log_{3}81$之间又满足怎样的关系式?
(3)由(2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗?请根据幂的运算法则以及对数的定义进行验证.
结论:$\log_{a}M+\log_{a}N=\_\_\_\_\_\_(a＞0$且$a≠1,M＞0,N＞0)$.
验证:
答案
10. (1)1 3 4
(2)$3×27=81;\log_3 3+\log_3 27=\log_3 81$.
(3)结论:$\log_a M+\log_a N=\log_a MN$.
验证:设 $x = \log_a M, y = \log_a N$, 则 $M = a^x ,N = a^y$, 所以 $MN = a^x · a^y = a^{x+y}$,
所以 $\log_a MN = x + y$,
即 $\log_a M+\log_a N=\log_a MN$.
(2)$3×27=81;\log_3 3+\log_3 27=\log_3 81$.
(3)结论:$\log_a M+\log_a N=\log_a MN$.
验证:设 $x = \log_a M, y = \log_a N$, 则 $M = a^x ,N = a^y$, 所以 $MN = a^x · a^y = a^{x+y}$,
所以 $\log_a MN = x + y$,
即 $\log_a M+\log_a N=\log_a MN$.
