【典例1】如图1，A，B，C为格点，作$∠ ACB$平分线CD.

提示:$\because BP=BC,\therefore ∠ BCP=∠ BPD,$
又$\because BP// AC,\therefore ∠ P=∠ PCA,$
$\therefore CD$平分$∠ ACB.$

【分析】
要作∠ACB的平分线，核心是构造出将∠ACB分成两个相等角的射线。我们可以利用方格的坐标特征，先构造与AC平行的线段，结合平行线的内错角相等性质，再构造长度等于BC的等线段得到等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质，推导得到两个角相等，即可得到角平分线。首先根据AC的走向找到符合平行且等长要求的格点P，连接CP与AB交于点D，CD即为所求角平分线。
【解析】
1. 找格点P，使得$BP// AC$，且$BP=BC$；
2. 连接$CP$，交$AB$于点$D$，射线$CD$即为所求；
3. 证明：
$\because BP// AC$，
$\therefore ∠ BPC = ∠ PCA$（两直线平行，内错角相等），
又$\because BP=BC$，
$\therefore ∠ BCP = ∠ BPC$（等腰三角形两底角相等），
$\therefore ∠ BCP = ∠ PCA$，即$CD$平分$∠ ACB$。
【答案】

【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定
【点评】
本题属于方格纸无刻度直尺作图题，解题的关键是灵活运用方格的特点构造符合要求的平行线和等线段，结合几何性质完成角平分线的作图，考查了几何作图能力与基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

变式1.如图2，A，B，C为格点，作$∠ ACB$的平分线$CD$.
变式2.如图3，A，B，C为格点，$AB＝5$，作$∠ CAB$的平分线$AD$.

1.
2. 提示:$BD=AB=5,\therefore ∠ BDA=∠ BAD,$
又$\because BD// AC,\therefore ∠ CAD=∠ ADB=∠ DAB.$

【分析】
1. 作∠ACB的平分线时，可利用角平分线的判定定理，在格点中找到到∠ACB两边距离相等的格点，连接该点与点C即可得到角平分线；也可构造以C为顶点的等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质得到角平分线。
2. 作∠CAB的平分线时，先观察到AC为水平线段，可构造平行于AC的线段BD，且保证BD=AB=5，结合平行线内错角相等、等腰三角形等边对等角的性质，即可推出AD平分∠CAB。
【解析】
变式1
观察格点位置，找到到CA、CB距离相等的格点D，连接CD，CD即为∠ACB的平分线。
变式2
沿水平方向（与AC平行的方向）向左找到格点D，使得BD=AB=5，连接AD。
证明：
∵BD//AC，
∴∠CAD=∠ADB，
又
∵BD=AB=5，
∴∠BDA=∠BAD，
∴∠CAD=∠BAD，即AD是∠CAB的平分线。
【答案】
1.
2.
【知识点】
角平分线的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于格点无刻度直尺作图题，需要灵活整合角平分线、等腰三角形、平行线的相关性质，通过构造等线段、平行线完成作图，侧重考查几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

【典例2】如图4，A，B，C为格点，BC＝5，作∠ACB的平分线CD.

提示:$CB=CE=5,$而$BF=EF,$
$\therefore DC$平分$∠ BCE.$

【分析】
要作∠ACB的平分线，可利用等腰三角形“三线合一”的性质求解：首先已知BC=5，我们可以先构造以∠C为顶角、两腰长均为5的等腰三角形，在CA的延长线上找到格点E，使得CE=CB=5，此时△CBE为等腰三角形；再找到底边BE的中点F，连接CF，根据等腰三角形三线合一的性质，CF就是∠ACB的平分线。解题时可结合网格特点，借助勾股定理确定对应格点的位置。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 由网格特征可得∠CAB=90°，AC=3，AB=4，根据勾股定理计算得$BC=\sqrt{AC^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，和题设条件一致。
2. 在CA的延长线上取格点E，使AE=2，此时$CE=CA+AE=3+2=5$，即$CE=CB$，△CBE为等腰三角形。
3. B、E均为格点，可直接找到BE的中点F（格点），连接CF。根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合，因此CF就是所求的∠ACB的平分线CD。
【答案】

【知识点】
勾股定理；等腰三角形三线合一；角平分线作图
【点评】
本题是典型的网格无刻度作图题，解题核心是将作角平分线的问题转化为构造等腰三角形、找底边中点的问题，需要结合网格特征和勾股定理快速定位等长线段的位置，对几何直观和知识灵活运用能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7

变式.如图 5,6,A,B,C 为格点,BC=5,作∠ACB 的平分线 CD.

【分析】要作∠ACB的平分线，可结合格点特征和等腰三角形三线合一的性质求解：首先观察△ABC是直角三角形，AC=3，BC=5，我们可以在CA的延长线上取格点E，使CE=CB=5，得到以C为顶点的等腰△CBE，等腰三角形顶角的平分线与底边中线重合，因此只需找到底边BE上的格点，连接C与该格点，所得直线与AB的交点即为D，CD就是所求的角平分线。
【解析】
1. 设每个小正方形边长为1，易得AC=3，∠A=90°，已知BC=5；
2. 沿CA方向向下延长，取格点E，使得CE=5（即AE=2），此时CE=CB，△CBE为等腰三角形，顶角为∠BCE（即∠ACB）；
3. 用无刻度直尺连接BE，连接点C与BE上的格点，该连线与AB交于点D；
4. 根据等腰三角形三线合一的性质，上述连线平分∠ACB，故CD即为所求的∠ACB的平分线。
【答案】

【知识点】
角平分线作图，等腰三角形三线合一，格点几何作图
【点评】本题是典型的无刻度直尺作图题，核心是利用格点的边长特征构造等腰三角形，借助等腰三角形三线合一的性质得到角平分线，需要学生灵活运用等腰三角形性质和角平分线的相关概念，掌握格点作图的常用技巧。
【难度系数】
0.7

【典例3】如图7，A，B，C为格点，AB＝5，在AB上作点E使AE＝3.

变式.如图8，A，B，C为格点，AB＝5，在AB上作点E使AE＝2.

提示:$AB=AM=5,$又$\because CE// BM,$
$\therefore AE=AC=3.$

【分析】
要在长度为5的AB上截取指定长度的AE，可借助平行线分线段成比例的性质构造求解：
1. 首先利用网格边长为1的特征，构造以A为端点、长度为5的水平线段AM，此时AB=AM，连接BM；
2. 在AM上截取长度等于所求AE的线段：典例需AE=3，即取AC=3；变式需AE=2，即在AM上取点D使AD=2；
3. 过截取得到的点作BM的平行线，与AB的交点即为所求E，由平行线分线段成比例可得AE长度等于AM上截取的线段长度，符合要求。
【解析】
典例3作图步骤：
1. 沿AC所在水平射线向右取格点M，使AM=5，连接BM；
2. 过点C作CE//BM，交AB于点E。
由平行线分线段成比例得$\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{AM}$，已知AB=AM=5，AC=3，代入计算得AE=3，点E即为所求。
变式作图步骤：
1. 沿AC所在水平射线向右取格点M，使AM=5，连接BM；
2. 在AM上取格点D，使AD=2，过D作DF//BM，交AB于点E。
由平行线分线段成比例得$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AM}$，已知AB=AM=5，AD=2，代入计算得AE=2，点E即为所求。
【答案】


【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形性质，网格作图
【点评】
本题为无刻度直尺网格作图题，核心是利用网格边长特征构造等长线段，再通过作平行线结合比例关系得到符合要求的线段，侧重考查几何性质的灵活运用和实操作图能力。
【难度系数】
0.6