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【典例1】如图，P为等边△ABC内一点，∠APC=90°，∠APB=150°，求证：PC=2PB.
备用图
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答案
证明:方法一:在BP下方,以BP为边作等边△BPM,连接CM，
在△ABP和△CBM 中，
$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ ABP=∠ CBM, \\ BP=BM, \end{cases}$
∴△ABP≌△CBM(SAS),
∴∠BMC=∠APB=150°,
∴∠CMP=90°,
∴∠MCP=30°,
∴CP=2PM=2PB.
方法二:在AB的左侧,作等边△APM,连接BM，
在△ABM和△ACP中，
$\begin{cases} AM=AP, \\ ∠ BAM=∠ CAP, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABM≌△ACP(SAS),
∴BM=PC,
∠AMB=∠APC=90°,
∴∠BMP=30°,
而∠BPM=150°-60°=90°,
∴BM=2BP,
∴PC=2BP.
解析
【分析】
要证明PC=2PB，可联想到含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此需要将PB、PC转化到同一个含30°角的直角三角形中。已知△ABC是等边三角形，三边相等且内角均为60°，我们可以通过构造等边三角形得到旋转型全等，将已知的∠APB、∠APC的角度转移，得到所需的直角和30°角，进而推导线段关系。
【解析】
方法一：
在BP下方，以BP为边作等边△BPM，连接CM，
1. 证明全等：
因为△ABC和△BPM都是等边三角形，所以AB=BC，BP=BM，∠ABC=∠PBM=60°，因此∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBM-∠PBC=∠CBM。
在△ABP和△CBM 中，
$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ ABP=∠ CBM, \\ BP=BM, \end{cases}$
∴△ABP≌△CBM(SAS)。
2. 角度推导：
由全等得∠BMC=∠APB=150°，又因为等边△BPM中∠BMP=60°，所以∠CMP=150°-60°=90°。
由周角为360°，可得∠BPC=360°-90°-150°=120°，因此∠CPM=120°-60°=60°，在Rt△CMP中∠MCP=30°。
3. 线段推导：
根据30°直角三角形性质，CP=2PM，又因为PM=PB，所以CP=2PB。
方法二：
在AB的左侧，作等边△APM，连接BM，
1. 证明全等：
因为△ABC和△APM都是等边三角形，所以AM=AP，AB=AC，∠MAP=∠BAC=60°，因此∠BAM=∠MAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP=∠CAP。
在△ABM和△ACP中，
$\begin{cases} AM=AP, \\ ∠ BAM=∠ CAP, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABM≌△ACP(SAS)。
2. 角度推导：
由全等得BM=PC，∠AMB=∠APC=90°，又因为等边△APM中∠AMP=60°，所以∠BMP=90°-60°=30°。
已知∠APB=150°，所以∠BPM=150°-60°=90°，即△BPM是直角三角形。
3. 线段推导：
根据30°直角三角形性质，BM=2BP，又因为BM=PC，所以PC=2BP。
【答案】
证明:方法一:在BP下方,以BP为边作等边△BPM,连接CM，
在△ABP和△CBM 中，
$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ ABP=∠ CBM, \\ BP=BM, \end{cases}$
∴△ABP≌△CBM(SAS),
∴∠BMC=∠APB=150°,
∴∠CMP=90°,
∴∠MCP=30°,
∴CP=2PM=2PB.
方法二:在AB的左侧,作等边△APM,连接BM，
在△ABM和△ACP中，
$\begin{cases} AM=AP, \\ ∠ BAM=∠ CAP, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABM≌△ACP(SAS),
∴BM=PC,
∠AMB=∠APC=90°,
∴∠BMP=30°,
而∠BPM=150°-60°=90°,
∴BM=2BP,
∴PC=2BP.
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形中线段倍分关系的典型题型，核心是利用旋转构造思想，通过作等边三角形创造全等条件，将分散的边、角条件集中到同一个三角形中，再结合特殊直角三角形的性质推导结论，是等边三角形综合题的常见考法，掌握该构造方法可以快速解决同类问题。
【难度系数】
0.6
要证明PC=2PB，可联想到含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此需要将PB、PC转化到同一个含30°角的直角三角形中。已知△ABC是等边三角形，三边相等且内角均为60°，我们可以通过构造等边三角形得到旋转型全等，将已知的∠APB、∠APC的角度转移，得到所需的直角和30°角，进而推导线段关系。
【解析】
方法一：
在BP下方，以BP为边作等边△BPM，连接CM，
1. 证明全等：
因为△ABC和△BPM都是等边三角形，所以AB=BC，BP=BM，∠ABC=∠PBM=60°，因此∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBM-∠PBC=∠CBM。
在△ABP和△CBM 中，
$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ ABP=∠ CBM, \\ BP=BM, \end{cases}$
∴△ABP≌△CBM(SAS)。
2. 角度推导：
由全等得∠BMC=∠APB=150°，又因为等边△BPM中∠BMP=60°，所以∠CMP=150°-60°=90°。
由周角为360°，可得∠BPC=360°-90°-150°=120°，因此∠CPM=120°-60°=60°，在Rt△CMP中∠MCP=30°。
3. 线段推导：
根据30°直角三角形性质，CP=2PM，又因为PM=PB，所以CP=2PB。
方法二：
在AB的左侧，作等边△APM，连接BM，
1. 证明全等：
因为△ABC和△APM都是等边三角形，所以AM=AP，AB=AC，∠MAP=∠BAC=60°，因此∠BAM=∠MAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP=∠CAP。
在△ABM和△ACP中，
$\begin{cases} AM=AP, \\ ∠ BAM=∠ CAP, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABM≌△ACP(SAS)。
2. 角度推导：
由全等得BM=PC，∠AMB=∠APC=90°，又因为等边△APM中∠AMP=60°，所以∠BMP=90°-60°=30°。
已知∠APB=150°，所以∠BPM=150°-60°=90°，即△BPM是直角三角形。
3. 线段推导：
根据30°直角三角形性质，BM=2BP，又因为BM=PC，所以PC=2BP。
【答案】
证明:方法一:在BP下方,以BP为边作等边△BPM,连接CM，
在△ABP和△CBM 中，
$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ ABP=∠ CBM, \\ BP=BM, \end{cases}$
∴△ABP≌△CBM(SAS),
∴∠BMC=∠APB=150°,
∴∠CMP=90°,
∴∠MCP=30°,
∴CP=2PM=2PB.
方法二:在AB的左侧,作等边△APM,连接BM，
在△ABM和△ACP中，
$\begin{cases} AM=AP, \\ ∠ BAM=∠ CAP, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABM≌△ACP(SAS),
∴BM=PC,
∠AMB=∠APC=90°,
∴∠BMP=30°,
而∠BPM=150°-60°=90°,
∴BM=2BP,
∴PC=2BP.
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形中线段倍分关系的典型题型，核心是利用旋转构造思想，通过作等边三角形创造全等条件，将分散的边、角条件集中到同一个三角形中，再结合特殊直角三角形的性质推导结论，是等边三角形综合题的常见考法，掌握该构造方法可以快速解决同类问题。
【难度系数】
0.6
【典例2】在等边△ABC中，D，E分别在BC，AB上，连接AD，CE交于点M，BE＝CD.连接BM，若BM⊥AM，求证：AM＝2CM.
备用图
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答案
证明:方法一:作AN⊥CE,垂足为N，
证△EBC≌△DCA，
证∠BAM=∠ACN，
证明△CAN≌△ABM，
∴AM=CN,又AM=2MN，
∴CM=MN，
∴AM=2CM.
方法二:在AM上取点G,使AG=CM,连接CG，
∴△ACG≌△CBM，
∴∠AGC=∠BMC=150°,
MG=CM,
∴AM=2CM.
解析
【分析】
要证明AM=2CM，可结合等边三角形性质和已知条件先推导线角关系，再构造全等三角形转化线段：
1. 首先利用等边△ABC三边相等、内角均为60°的性质，结合已知BE=CD，先证明△EBC≌△DCA，得到角相等的关系，推导得出∠AMC=120°；
2. 结合BM⊥AM的条件，有两种构造思路：
思路1：过A作AN⊥CE，利用直角三角形30°角的性质得AM=2MN，再证明△CAN≌△ABM得到CN=AM，进而推导出CM=MN即可得结论；
思路2：在AM上截取AG=CM，证明△ACG≌△CBM，推导角的关系得到GM=CM，结合AG=CM即可得AM=2CM。
【解析】
方法一：
1. 作AN⊥CE，垂足为N：
已知△ABC是等边三角形，故$AB=BC=AC$，$∠ BAC=∠ ABC=∠ ACB=60°$。
在$△ EBC$和$△ DCA$中：
$\begin{cases}BE=CD\\∠ EBC=∠ DCA=60°\\BC=CA\end{cases}$
因此$△ EBC≌△ DCA(\mathrm{SAS})$，得$∠ BCE=∠ CAD$。
2. 由$∠ CAD+∠ ACM=∠ BCE+∠ ACM=∠ ACB=60°$，在$△ AMC$中可得$∠ AMC=180°-60°=120°$，故$∠ AMN=180°-120°=60°$。
因$AN⊥ CE$，$∠ ANM=90°$，故$∠ MAN=30°$，由直角三角形性质得$AM=2MN$。
3. 由$BM⊥ AM$得$∠ AMB=90°$，故$∠ BAM+∠ ABM=90°$；又$∠ CAN+∠ ACN=90°$，且$∠ ACN=60°-∠ BCE=60°-∠ CAD=∠ BAM$。
在$△ CAN$和$△ ABM$中：
$\begin{cases}∠ ANC=∠ AMB=90°\\∠ ACN=∠ BAM\\AC=AB\end{cases}$
因此$△ CAN≌△ ABM(\mathrm{AAS})$，得$CN=AM$。
4. 又$CN=CM+MN$，结合$AM=2MN$得$2MN=CM+MN$，即$CM=MN$，因此$AM=2MN=2CM$。
方法二：
1. 在AM上取点G，使$AG=CM$，连接CG：
已知△ABC是等边三角形，故$AC=BC$，$∠ ACB=60°$，同方法一先证$△ EBC≌△ DCA(\mathrm{SAS})$，得$∠ BCE=∠ CAD$，即$∠ CAG=∠ BCM$。
2. 在$△ ACG$和$△ CBM$中：
$\begin{cases}AG=CM\\∠ CAG=∠ BCM\\AC=BC\end{cases}$
因此$△ ACG≌△ CBM(\mathrm{SAS})$，得$∠ AGC=∠ BMC$。
3. 同方法一得$∠ AMC=120°$，又$∠ AMB=90°$，故$∠ BMC=360°-90°-120°=150°$，因此$∠ AGC=150°$，得$∠ CGM=180°-150°=30°$。
4. 在$△ CGM$中，$∠ GMC=∠ AMC=120°$，故$∠ GCM=180°-120°-30°=30°$，因此$∠ CGM=∠ GCM$，得$GM=CM$。
5. 结合$AG=CM$，得$AM=AG+GM=CM+CM=2CM$。
【答案】
证明:方法一:作AN⊥CE,垂足为N，
证△EBC≌△DCA，
证∠BAM=∠ACN，
证明△CAN≌△ABM，
∴AM=CN,又AM=2MN，
∴CM=MN，
∴AM=2CM.
方法二:在AM上取点G,使AG=CM,连接CG，
∴△ACG≌△CBM，
∴∠AGC=∠BMC=150°,
MG=CM,
∴AM=2CM.
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等构造的典型习题，核心是利用等边三角形的边角特征推导基础全等关系，再结合垂直条件构造辅助线得到第二组全等，将待证的线段倍数关系转化为等线段的和差关系，对辅助线构造能力和全等证明的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
要证明AM=2CM，可结合等边三角形性质和已知条件先推导线角关系，再构造全等三角形转化线段：
1. 首先利用等边△ABC三边相等、内角均为60°的性质，结合已知BE=CD，先证明△EBC≌△DCA，得到角相等的关系，推导得出∠AMC=120°；
2. 结合BM⊥AM的条件，有两种构造思路：
思路1：过A作AN⊥CE，利用直角三角形30°角的性质得AM=2MN，再证明△CAN≌△ABM得到CN=AM，进而推导出CM=MN即可得结论；
思路2：在AM上截取AG=CM，证明△ACG≌△CBM，推导角的关系得到GM=CM，结合AG=CM即可得AM=2CM。
【解析】
方法一：
1. 作AN⊥CE，垂足为N：
已知△ABC是等边三角形，故$AB=BC=AC$，$∠ BAC=∠ ABC=∠ ACB=60°$。
在$△ EBC$和$△ DCA$中：
$\begin{cases}BE=CD\\∠ EBC=∠ DCA=60°\\BC=CA\end{cases}$
因此$△ EBC≌△ DCA(\mathrm{SAS})$，得$∠ BCE=∠ CAD$。
2. 由$∠ CAD+∠ ACM=∠ BCE+∠ ACM=∠ ACB=60°$，在$△ AMC$中可得$∠ AMC=180°-60°=120°$，故$∠ AMN=180°-120°=60°$。
因$AN⊥ CE$，$∠ ANM=90°$，故$∠ MAN=30°$，由直角三角形性质得$AM=2MN$。
3. 由$BM⊥ AM$得$∠ AMB=90°$，故$∠ BAM+∠ ABM=90°$；又$∠ CAN+∠ ACN=90°$，且$∠ ACN=60°-∠ BCE=60°-∠ CAD=∠ BAM$。
在$△ CAN$和$△ ABM$中：
$\begin{cases}∠ ANC=∠ AMB=90°\\∠ ACN=∠ BAM\\AC=AB\end{cases}$
因此$△ CAN≌△ ABM(\mathrm{AAS})$，得$CN=AM$。
4. 又$CN=CM+MN$，结合$AM=2MN$得$2MN=CM+MN$，即$CM=MN$，因此$AM=2MN=2CM$。
方法二：
1. 在AM上取点G，使$AG=CM$，连接CG：
已知△ABC是等边三角形，故$AC=BC$，$∠ ACB=60°$，同方法一先证$△ EBC≌△ DCA(\mathrm{SAS})$，得$∠ BCE=∠ CAD$，即$∠ CAG=∠ BCM$。
2. 在$△ ACG$和$△ CBM$中：
$\begin{cases}AG=CM\\∠ CAG=∠ BCM\\AC=BC\end{cases}$
因此$△ ACG≌△ CBM(\mathrm{SAS})$，得$∠ AGC=∠ BMC$。
3. 同方法一得$∠ AMC=120°$，又$∠ AMB=90°$，故$∠ BMC=360°-90°-120°=150°$，因此$∠ AGC=150°$，得$∠ CGM=180°-150°=30°$。
4. 在$△ CGM$中，$∠ GMC=∠ AMC=120°$，故$∠ GCM=180°-120°-30°=30°$，因此$∠ CGM=∠ GCM$，得$GM=CM$。
5. 结合$AG=CM$，得$AM=AG+GM=CM+CM=2CM$。
【答案】
证明:方法一:作AN⊥CE,垂足为N，
证△EBC≌△DCA，
证∠BAM=∠ACN，
证明△CAN≌△ABM，
∴AM=CN,又AM=2MN，
∴CM=MN，
∴AM=2CM.
方法二:在AM上取点G,使AG=CM,连接CG，
∴△ACG≌△CBM，
∴∠AGC=∠BMC=150°,
MG=CM,
∴AM=2CM.
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等构造的典型习题，核心是利用等边三角形的边角特征推导基础全等关系，再结合垂直条件构造辅助线得到第二组全等，将待证的线段倍数关系转化为等线段的和差关系，对辅助线构造能力和全等证明的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
【典例3】如图，$△ ABC$，$△ DPC$都是等边三角形.点$P$在$△ ABC$内，$M$为$AC$的中点，连接$PM$，$PA$，$PB$，若$PA⊥ PM$，且$PB=2PM$.
(1)求证:$BP⊥ BD$；
(2)求证:$PC=2PA$.
(1)求证:$BP⊥ BD$；
(2)求证:$PC=2PA$.
答案
证明:(1)△CAP≌△CBD⇒AP=BD，
∠BDC=120°,
∴∠BDP=60°.
延长PM至N使MN=PM,连接AN,CN，
∴△APM≌△CNM，
∴∠PNC=90°,CN=AP，
∠PCN=60°,
∴△PCN≌△PDB(SAS),
∴∠PBD=∠PNC=90°,
∴BP⊥BD；
(2)在Rt△PBD中,∠BPD=30°,
PD=2BD=2PA,
∴PC=2PA.
解析
【分析】
(1)要证$BP⊥BD$，即证$∠ PBD=90°$：首先利用两个等边三角形的边、角相等的性质，证明$△ CAP≌△ CBD$，得到$AP=BD$及相关角的关系；再结合$M$是$AC$中点的条件，用倍长中线法构造全等：延长$PM$到$N$使$MN=PM$，可证$△ APM≌△ CNM$，得到$CN=AP=BD$、$∠ PNC=∠ APM=90°$；最后结合已知$PB=2PM=PN$，以及等边$△ DPC$的边相等，证明$△ PCN≌△ PDB$，即可得到$∠ PBD=∠ PNC=90°$，完成垂直的证明。
(2)要证$PC=2PA$：首先由等边$△ DPC$得$PC=PD$，结合第(1)问得到的$Rt△ PBD$，可推出$∠ BPD=30°$，利用直角三角形中30°角对的直角边是斜边一半的性质，得$PD=2BD$，再结合之前全等得到的$BD=PA$，即可完成证明。
【解析】
(1)
∵$△ ABC$、$△ DPC$都是等边三角形，
∴$AC=BC$，$PC=DC$，$∠ ACB=∠ PCD=60°$，
∴$∠ ACB-∠ PCB=∠ PCD-∠ PCB$，即$∠ ACP=∠ BCD$，
可证$△ CAP≌△ CBD(SAS)$，得$AP=BD$，$∠ BDC=∠ APC$，故$∠ BDP=∠ BDC-∠ PDC=60°$。
延长$PM$至$N$使$MN=PM$，连接$AN$、$CN$，
∵$M$为$AC$中点，
∴$AM=CM$，
可证$△ APM≌△ CNM(SAS)$，得$∠ PNC=∠ APM=90°$，$CN=AP=BD$，且$∠ PCN=60°$。
∵$PB=2PM=PN$，$PC=PD$，$∠ PCN=∠ BDP=60°$，
∴$△ PCN≌△ PDB(SAS)$，
∴$∠ PBD=∠ PNC=90°$，即$BP⊥BD$。
(2)在$Rt△ PBD$中，由$△ PCN≌△ PDB$得$∠ BPD=∠ CPN=30°$，
根据直角三角形30°角的性质，$PD=2BD$，
又
∵$PD=PC$，$BD=AP$，
∴$PC=2PA$。
【答案】
证明:(1)$△CAP≌△CBD⇒AP=BD$，
$∠BDC=120°$,
$∴∠BDP=60°$.
延长$PM$至$N$使$MN=PM$,连接$AN,CN$，
$∴△APM≌△CNM$，
$∴∠PNC=90°,CN=AP$，
$∠PCN=60°$,
$∴△PCN≌△PDB(SAS)$,
$∴∠PBD=∠PNC=90°$,
$∴BP⊥BD$；
(2)在$Rt△PBD$中,$∠BPD=30°$,
$PD=2BD=2PA$,
$∴PC=2PA$.
【知识点】
1.等边三角形的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等构造的综合题，核心是利用倍长中线法构造全等三角形转化线段和角的关系，同时结合等边三角形、直角三角形的特殊性质推导结论，倍长中线是解决中点相关线段问题的常用技巧，需要熟练掌握这类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.4
(1)要证$BP⊥BD$，即证$∠ PBD=90°$：首先利用两个等边三角形的边、角相等的性质，证明$△ CAP≌△ CBD$，得到$AP=BD$及相关角的关系；再结合$M$是$AC$中点的条件，用倍长中线法构造全等：延长$PM$到$N$使$MN=PM$，可证$△ APM≌△ CNM$，得到$CN=AP=BD$、$∠ PNC=∠ APM=90°$；最后结合已知$PB=2PM=PN$，以及等边$△ DPC$的边相等，证明$△ PCN≌△ PDB$，即可得到$∠ PBD=∠ PNC=90°$，完成垂直的证明。
(2)要证$PC=2PA$：首先由等边$△ DPC$得$PC=PD$，结合第(1)问得到的$Rt△ PBD$，可推出$∠ BPD=30°$，利用直角三角形中30°角对的直角边是斜边一半的性质，得$PD=2BD$，再结合之前全等得到的$BD=PA$，即可完成证明。
【解析】
(1)
∵$△ ABC$、$△ DPC$都是等边三角形，
∴$AC=BC$，$PC=DC$，$∠ ACB=∠ PCD=60°$，
∴$∠ ACB-∠ PCB=∠ PCD-∠ PCB$，即$∠ ACP=∠ BCD$，
可证$△ CAP≌△ CBD(SAS)$，得$AP=BD$，$∠ BDC=∠ APC$，故$∠ BDP=∠ BDC-∠ PDC=60°$。
延长$PM$至$N$使$MN=PM$，连接$AN$、$CN$，
∵$M$为$AC$中点，
∴$AM=CM$，
可证$△ APM≌△ CNM(SAS)$，得$∠ PNC=∠ APM=90°$，$CN=AP=BD$，且$∠ PCN=60°$。
∵$PB=2PM=PN$，$PC=PD$，$∠ PCN=∠ BDP=60°$，
∴$△ PCN≌△ PDB(SAS)$，
∴$∠ PBD=∠ PNC=90°$，即$BP⊥BD$。
(2)在$Rt△ PBD$中，由$△ PCN≌△ PDB$得$∠ BPD=∠ CPN=30°$，
根据直角三角形30°角的性质，$PD=2BD$，
又
∵$PD=PC$，$BD=AP$，
∴$PC=2PA$。
【答案】
证明:(1)$△CAP≌△CBD⇒AP=BD$，
$∠BDC=120°$,
$∴∠BDP=60°$.
延长$PM$至$N$使$MN=PM$,连接$AN,CN$，
$∴△APM≌△CNM$，
$∴∠PNC=90°,CN=AP$，
$∠PCN=60°$,
$∴△PCN≌△PDB(SAS)$,
$∴∠PBD=∠PNC=90°$,
$∴BP⊥BD$；
(2)在$Rt△PBD$中,$∠BPD=30°$,
$PD=2BD=2PA$,
$∴PC=2PA$.
【知识点】
1.等边三角形的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等构造的综合题，核心是利用倍长中线法构造全等三角形转化线段和角的关系，同时结合等边三角形、直角三角形的特殊性质推导结论，倍长中线是解决中点相关线段问题的常用技巧，需要熟练掌握这类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.4
