【典例1】在图1中，A，B为格点，画格点P，使∠PAB=45°。
变式1.在图2中，A，B，C为格点，在AC上画点P，使∠PBA=45°。

【典例1】
变式1.

【分析】
要构造45°角，可利用等腰直角三角形的锐角为45°的性质，结合网格特征作图：
1. 典例1：要得到∠PAB=45°，只需构造以A为顶点、AB为一边的等腰直角三角形，找到对应格点P即可。我们可以根据AB的横、纵向格数，找与AB垂直且等长的线段AP，此时△PAB为等腰直角三角形，∠PAB就是45°。
2. 变式1：要在AC上得到点P使∠PBA=45°，先构造以B为顶点、AB为直角边的等腰直角三角形，连接B与等腰直角三角形的第三个顶点，该直线与AC的交点就是所求点P。
【解析】
典例1
1. 数出线段AB的横向格数差为4，纵向格数差为2，由勾股定理得$AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$。
2. 从A点出发，向左数2格、向上数4格得到格点P，此时$AP=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=AB$，且AP与AB垂直，△PAB是等腰直角三角形。
3. 连接AP，此时∠PAB为等腰直角三角形的锐角，即∠PAB=45°，符合要求。
变式1
1. 先构造以B为顶点、AB为直角边的等腰直角三角形，找到满足BQ⊥AB且BQ=AB的格点Q。
2. 连接BQ，BQ与AC的交点即为点P，此时∠PBA是等腰直角三角形ABQ的锐角，即∠PBA=45°，符合要求。
【答案】
典例1：
变式1：
【知识点】
等腰直角三角形性质、网格作图、45°角构造
【点评】
本题是网格无刻度作图类题目，解题关键是掌握等腰直角三角形的角度特征，结合网格的边长、垂直特性快速确定关键点，对特殊三角形性质的应用和作图能力有一定考察。
【难度系数】
0.6

变式2.在图3中，A，B为格点，取点F，使∠ABF=45°。

变式2.

【分析】
要作出∠ABF=45°，可联想到等腰直角三角形的锐角为45°，因此我们可以借助方格纸的格点特征构造等腰直角三角形，使45°角的顶点为B，其中一条边为BA。首先利用勾股定理算出AB的长度，再在格点中寻找符合条件的点F，使得以A、B、F为顶点的三角形为等腰直角三角形，且对应锐角为∠ABF即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 计算AB的长度：观察A、B的格点位置，两点横向相差1格，纵向相差4格，由勾股定理得$AB=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$。
2. 确定点F的位置：从B点出发，向右数5格、向上数3格，得到格点F，连接BF。
3. 验证：计算AF的长度为$\sqrt{(5-1)^2+(3-4)^2}=\sqrt{17}$，BF的长度为$\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$。可得$AB^2+AF^2=17+17=34=BF^2$，由勾股定理的逆定理可知△ABF是等腰直角三角形，且∠BAF=90°，因此∠ABF=45°，满足题目要求。
【答案】

【知识点】
勾股定理；勾股定理逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是方格纸无刻度尺作图题，核心是将45°角的构造转化为等腰直角三角形的构造，利用方格的边长特征结合勾股定理及逆定理即可找到符合要求的点，能很好地锻炼几何作图能力和特殊三角形性质的应用能力。
【难度系数】
0.6

【典例2】在图4中，A，B，C为格点，在AB上作点M，使∠CMA=45°。

变式1.在图5中，A，B，E为格点，在AE上作点C，使∠ACB=45°。
变式2.在图6中，A，B，C为格点，在AB上作点M，使∠AMC=45°。

【典例2】
变式1.
变式2.

【分析】
要作出45°角，可利用等腰直角三角形的底角为45°的性质解题。首先观察格点中已知点的位置，寻找合适的格点，与已知点连接后构造出等腰直角三角形，再通过作辅助线找到辅助线与目标线段的交点，该交点即可满足对应的角为45°的要求。
【解析】
典例2
观察格点特征，找到可与点C构成等腰直角三角形的格点，绘制对应辅助线，辅助线与AB的交点即为所求点M，此时∠CMA为等腰直角三角形的底角，度数为45°，符合要求。
变式1
同理，寻找能与A、B两点构成等腰直角三角形的格点，绘制对应辅助线，辅助线与AE的交点即为所求点C，此时∠ACB=45°，符合要求。
变式2
分析格点位置，构造合适的等腰直角三角形并作辅助线，辅助线与AB的交点即为所求点M，此时∠AMC=45°，符合要求。
【答案】
【典例2】
变式1.
变式2.
【知识点】
等腰直角三角形性质、格点作图、特殊角构造
【点评】
本题属于无刻度直尺作图类问题，核心是借助格点的边长特性构造等腰直角三角形得到45°角，解题时需要仔细观察格点位置，灵活运用等腰直角三角形的角度性质，能较好地锻炼几何直观与动手作图能力。
【难度系数】
0.6

【典例3】在图7中，A，B，C为格点，在AC上画点P，使∠BPC=∠ABC。

【典例3】
提示:∠BPC=∠A+∠ABP=45°+∠ABP,∠ABC=∠ABP+45°,故只需作∠CBP=45°即可.

【分析】
要找到AC上满足∠BPC=∠ABC的点P，首先利用三角形外角的性质分析两角的关系：首先观察格点可得∠BAC=45°，∠BPC是△ABP的外角，因此∠BPC=∠BAC+∠ABP=45°+∠ABP；而∠ABC可拆分为∠ABP+∠PBC，要使两个角相等，消去公共的∠ABP后可得只需∠PBC=45°，因此问题转化为在AC下方作45°的∠CBP，射线BP与AC的交点即为所求的P点。
【解析】
1. 分析角的关系：由三角形外角的性质可知，∠BPC是△ABP的外角，因此$∠ BPC = ∠ BAC + ∠ ABP$。观察格点，点A到点B的水平距离和竖直距离均为3个单位，构成等腰直角三角形，因此$∠ BAC=45°$，代入得$∠ BPC = 45° + ∠ ABP$。
2. 等量转化推导条件：$∠ ABC = ∠ ABP + ∠ PBC$，若要$∠ BPC=∠ ABC$，则有$45° + ∠ ABP = ∠ ABP + ∠ PBC$，化简可得$∠ PBC=45°$。
3. 作图：使用无刻度直尺，以B为顶点，BC为一边，在AC的下方作$∠ PBC=45°$，射线BP与AC的交点即为所求的点P。
【答案】

【知识点】
三角形外角性质，45°角作图，等腰直角三角形特征
【点评】
本题将角的等量关系推理和格点作图结合，核心是通过角的拆分与转化，将作等角的问题简化为作特殊角45°的问题，能有效提升几何逻辑推理和动手作图的能力。
【难度系数】
0.6

变式1.在图8中，A，B，C为格点，先作$CH⊥ AB$，再在AB上作点M，使$CH=MH$。

变式1.

【分析】
本题为无刻度直尺格点作图题，解题分两步思考：① 作CH⊥AB：利用格点特征构造全等直角三角形，可找到过点C且与AB垂直的直线，该直线与AB的交点就是垂足H；② 作满足CH=MH的点M：结合格点边长相等的特点，在AB上以H为端点，截取长度与CH相等的线段HM，即可得到所求点M。
【解析】
设每个小方格的边长为1：
1. 作垂线CH：观察格点构造与AB所在直角三角形全等的直角三角形，其斜边所在直线过点C，该直线与AB交于点H，由全等三角形对应角相等，可证CH与AB的夹角为90°，即CH⊥AB；
2. 确定点M：在AB上，从点H向靠近点B的方向截取线段HM，使HM的长度等于CH的长度，所得点M即为所求。
【答案】

【知识点】
1. 格点作图 2. 全等三角形的应用 3. 等线段作图
【点评】
本题属于几何作图类基础拓展题，考察学生灵活运用全等三角形、格点性质解决作图问题的能力，需要学生具备一定的观察能力和几何构造能力。
【难度系数】
0.6

变式2.在图9中，A，B，C为格点，D为BC中点，在AB上作点F，使∠BFD=∠ADC.

变式2.
提示:∠ADC=45°+∠BAD,
∠BFD=45°+∠BAD,
故只需作∠ADF=45°即可.

【分析】
要在AB上找到点F使得∠BFD=∠ADC，可通过角的等量转化推导作图思路：首先根据三角形外角性质，∠BFD是△AFD的外角，可得∠BFD=∠BAD+∠ADF；再结合格点图形特征，能推出∠ADC=45°+∠BAD。对比两个角的组成，要使二者相等，只需满足∠ADF=45°即可，因此问题转化为：以D为顶点、AD为一边作45°的∠ADF，射线DF与AB的交点就是所求的F点，结合方格对角线可构造45°角的特性就能完成作图。
【解析】
1. 推导角的等量关系：
根据三角形外角定理，∠BFD是△AFD的外角，因此$∠ BFD=∠ BAD+∠ ADF$；
结合格点特征可证$∠ ADC=45°+∠ BAD$。
要使$∠ BFD=∠ ADC$，只需$∠ ADF=45°$即可。
2. 作图：
利用方格格点的特性，以D为顶点、AD为一边作$∠ ADF=45°$，射线DF与AB的交点即为所求的点F。
【答案】

【知识点】
三角形外角定理，格点作图，45°角构造
【点评】
本题属于格点无刻度直尺作图题，解题核心是通过角度等量关系的推导，将作等角的问题转化为作固定度数角的常规问题，结合方格的结构特征即可快速完成作图，能有效锻炼几何转化思维和作图实操能力。
【难度系数】
0.6