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基础夯实 分解因式〈小结与复习〉
题型一 提公因式法分解因式
【典例1】(1)$8x^3y^2 -12xy^3z$； (2)$m(x^2+y^2)-n(x^2+y^2)$.
变式.(1)$2m(x+y)-3(x+y)$； (2)$(x+2)^2 -3x -6$.
题型二 平方差公式分解因式
【典例2】(1)$x^2 - \frac{1}{4}y^2$； (2)$16 - m^4$.
变式.(1)$x^2y - \frac{1}{4}y$； (2)$(a+b)^2 -4(a-b)^2$；
(3)$3ab^3 -3ab$； (4)$12x^3 -3x$.
题型三 运用完全平方公式分解因式
【典例3】(1)$4x^2 -4x +1$； (2)$t^2 +10t +25$.
变式.(1)$3ax^2 -6ax +3a$； (2)$(x+y)^2 -6(x+y)+9$；
(3)$(a+b)^2 +4m(a+b)+4m^2$； (4)$(a-2b)^2 +8ab$.
题型四 先提公因式再用公式法
【典例4】(1)$ax^4 -2ax^2 +a$； (2)$(a-b)^2m +2m(a-b)+m$.
题型一 提公因式法分解因式
【典例1】(1)$8x^3y^2 -12xy^3z$； (2)$m(x^2+y^2)-n(x^2+y^2)$.
变式.(1)$2m(x+y)-3(x+y)$； (2)$(x+2)^2 -3x -6$.
题型二 平方差公式分解因式
【典例2】(1)$x^2 - \frac{1}{4}y^2$； (2)$16 - m^4$.
变式.(1)$x^2y - \frac{1}{4}y$； (2)$(a+b)^2 -4(a-b)^2$；
(3)$3ab^3 -3ab$； (4)$12x^3 -3x$.
题型三 运用完全平方公式分解因式
【典例3】(1)$4x^2 -4x +1$； (2)$t^2 +10t +25$.
变式.(1)$3ax^2 -6ax +3a$； (2)$(x+y)^2 -6(x+y)+9$；
(3)$(a+b)^2 +4m(a+b)+4m^2$； (4)$(a-2b)^2 +8ab$.
题型四 先提公因式再用公式法
【典例4】(1)$ax^4 -2ax^2 +a$； (2)$(a-b)^2m +2m(a-b)+m$.
答案
【典例1】解:
(1)原式=$4xy^2(2x^2-3yz)$;
(2)原式=$(x^2+y^2)(m-n)$.
变式.解:
(1)原式=$(x+y)(2m-3)$;
(2)原式=$(x+2)(x-1)$.
【典例2】解:
(1)原式=$(x+\dfrac{1}{2}y)(x-\dfrac{1}{2}y)$;
(2)原式=$(4+m^2)(2+m)(2-m)$.
变式.解:
(1)原式=$y(x+\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{2})$;
(2)原式=$-(3a-b)(a-3b)$;
(3)原式=$3ab(b+1)(b-1)$;
(4)原式=$3x(2x+1)(2x-1)$.
【典例3】解:
(1)原式=$(2x-1)^2$;
(2)原式=$(t+5)^2$.
变式.解:
(1)原式=$3a(x-1)^2$;
(2)原式=$(x+y-3)^2$;
(3)原式=$(a+b+2m)^2$;
(4)原式=$(a+2b)^2$.
【典例4】解:
(1)原式=$a(x+1)^2(x-1)^2$;
(2)原式=$m(a-b+1)^2$.
(1)原式=$4xy^2(2x^2-3yz)$;
(2)原式=$(x^2+y^2)(m-n)$.
变式.解:
(1)原式=$(x+y)(2m-3)$;
(2)原式=$(x+2)(x-1)$.
【典例2】解:
(1)原式=$(x+\dfrac{1}{2}y)(x-\dfrac{1}{2}y)$;
(2)原式=$(4+m^2)(2+m)(2-m)$.
变式.解:
(1)原式=$y(x+\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{2})$;
(2)原式=$-(3a-b)(a-3b)$;
(3)原式=$3ab(b+1)(b-1)$;
(4)原式=$3x(2x+1)(2x-1)$.
【典例3】解:
(1)原式=$(2x-1)^2$;
(2)原式=$(t+5)^2$.
变式.解:
(1)原式=$3a(x-1)^2$;
(2)原式=$(x+y-3)^2$;
(3)原式=$(a+b+2m)^2$;
(4)原式=$(a+2b)^2$.
【典例4】解:
(1)原式=$a(x+1)^2(x-1)^2$;
(2)原式=$m(a-b+1)^2$.
解析
【分析】
分解因式需遵循“一提、二套、三查”的基本思路：第一步先观察多项式各项是否有公因式，若有则先提取公因式，公因式为各项系数的最大公约数与相同因式（含单项式、多项式）最低次幂的乘积；第二步观察提取公因式后剩余多项式的项数，若为两项则考虑是否符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，若为三项则考虑是否符合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构，对应套用公式分解；第三步检查分解结果，确保每个因式都不能再分解为止，同时注意结果需化为最简形式。
【解析】
题型一 提公因式法分解因式
【典例1】
(1) 先确定公因式：系数8和12的最大公约数是4，相同字母$x$的最低次幂是$x$，$y$的最低次幂是$y^2$，公因式为$4xy^2$，提取公因式后可得结果。
(2) 两项公共因式为多项式$x^2+y^2$，直接提取公因式即可。
【变式】
(1) 两项公共因式为多项式$x+y$，直接提取公因式即可。
(2) 先将后两项变形为$-3(x+2)$，可得多项式公因式为$x+2$，提取公因式后化简括号内的式子即可。
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题型二 平方差公式分解因式
【典例2】
(1) 多项式可改写为$x^2-(\frac{1}{2}y)^2$，符合平方差公式结构，直接套用公式分解即可。
(2) 先将原式改写为$4^2-(m^2)^2$，第一次套用平方差公式得$(4+m^2)(4-m^2)$，再对$4-m^2$继续套用平方差公式分解，保证分解彻底。
【变式】
(1) 先提取公因式$y$，剩余部分$x^2-\frac{1}{4}$符合平方差结构，套用公式分解即可。
(2) 将原式改写为$(a+b)^2-[2(a-b)]^2$，套用平方差公式后化简两个括号内的整式，整理符号即可。
(3) 先提取公因式$3ab$，剩余部分$b^2-1$符合平方差结构，套用公式分解即可。
(4) 先提取公因式$3x$，剩余部分$4x^2-1$符合平方差结构，套用公式分解即可。
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题型三 运用完全平方公式分解因式
【典例3】
(1) 原式可改写为$(2x)^2-2·2x·1+1^2$，符合完全平方差公式结构，套用公式分解即可。
(2) 原式可改写为$t^2+2· t·5+5^2$，符合完全平方和公式结构，套用公式分解即可。
【变式】
(1) 先提取公因式$3a$，剩余部分$x^2-2x+1$符合完全平方差结构，套用公式分解即可。
(2) 将$x+y$看作整体，原式符合完全平方差公式结构，套用公式分解即可。
(3) 将$a+b$看作整体，原式符合完全平方和公式结构，套用公式分解即可。
(4) 先展开完全平方式，合并同类项后得到的多项式符合完全平方和结构，套用公式分解即可。
---
题型四 先提公因式再用公式法
【典例4】
(1) 先提取公因式$a$，剩余部分先套用完全平方公式分解，再对得到的$x^2-1$套用平方差公式分解，保证分解彻底即可。
(2) 先提取公因式$m$，将$a-b$看作整体，剩余部分符合完全平方和结构，套用公式分解即可。
【答案】
【典例1】解:
(1)原式=$4xy^2(2x^2-3yz)$;
(2)原式=$(x^2+y^2)(m-n)$.
变式.解:
(1)原式=$(x+y)(2m-3)$;
(2)原式=$(x+2)(x-1)$.
【典例2】解:
(1)原式=$(x+\dfrac{1}{2}y)(x-\dfrac{1}{2}y)$;
(2)原式=$(4+m^2)(2+m)(2-m)$.
变式.解:
(1)原式=$y(x+\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{2})$;
(2)原式=$-(3a-b)(a-3b)$;
(3)原式=$3ab(b+1)(b-1)$;
(4)原式=$3x(2x+1)(2x-1)$.
【典例3】解:
(1)原式=$(2x-1)^2$;
(2)原式=$(t+5)^2$.
变式.解:
(1)原式=$3a(x-1)^2$;
(2)原式=$(x+y-3)^2$;
(3)原式=$(a+b+2m)^2$;
(4)原式=$(a+2b)^2$.
【典例4】解:
(1)原式=$a(x+1)^2(x-1)^2$;
(2)原式=$m(a-b+1)^2$.
【知识点】
提公因式法、公式法分解因式、分解因式的步骤
【点评】
本组题目为分解因式的基础题型，全面覆盖了分解因式的常用方法，熟练掌握“一提二套三查”的解题步骤，提升对公式结构的识别能力，即可快速完成解题，解题时要注意因式需分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
分解因式需遵循“一提、二套、三查”的基本思路：第一步先观察多项式各项是否有公因式，若有则先提取公因式，公因式为各项系数的最大公约数与相同因式（含单项式、多项式）最低次幂的乘积；第二步观察提取公因式后剩余多项式的项数，若为两项则考虑是否符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，若为三项则考虑是否符合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构，对应套用公式分解；第三步检查分解结果，确保每个因式都不能再分解为止，同时注意结果需化为最简形式。
【解析】
题型一 提公因式法分解因式
【典例1】
(1) 先确定公因式：系数8和12的最大公约数是4，相同字母$x$的最低次幂是$x$，$y$的最低次幂是$y^2$，公因式为$4xy^2$，提取公因式后可得结果。
(2) 两项公共因式为多项式$x^2+y^2$，直接提取公因式即可。
【变式】
(1) 两项公共因式为多项式$x+y$，直接提取公因式即可。
(2) 先将后两项变形为$-3(x+2)$，可得多项式公因式为$x+2$，提取公因式后化简括号内的式子即可。
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题型二 平方差公式分解因式
【典例2】
(1) 多项式可改写为$x^2-(\frac{1}{2}y)^2$，符合平方差公式结构，直接套用公式分解即可。
(2) 先将原式改写为$4^2-(m^2)^2$，第一次套用平方差公式得$(4+m^2)(4-m^2)$，再对$4-m^2$继续套用平方差公式分解，保证分解彻底。
【变式】
(1) 先提取公因式$y$，剩余部分$x^2-\frac{1}{4}$符合平方差结构，套用公式分解即可。
(2) 将原式改写为$(a+b)^2-[2(a-b)]^2$，套用平方差公式后化简两个括号内的整式，整理符号即可。
(3) 先提取公因式$3ab$，剩余部分$b^2-1$符合平方差结构，套用公式分解即可。
(4) 先提取公因式$3x$，剩余部分$4x^2-1$符合平方差结构，套用公式分解即可。
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题型三 运用完全平方公式分解因式
【典例3】
(1) 原式可改写为$(2x)^2-2·2x·1+1^2$，符合完全平方差公式结构，套用公式分解即可。
(2) 原式可改写为$t^2+2· t·5+5^2$，符合完全平方和公式结构，套用公式分解即可。
【变式】
(1) 先提取公因式$3a$，剩余部分$x^2-2x+1$符合完全平方差结构，套用公式分解即可。
(2) 将$x+y$看作整体，原式符合完全平方差公式结构，套用公式分解即可。
(3) 将$a+b$看作整体，原式符合完全平方和公式结构，套用公式分解即可。
(4) 先展开完全平方式，合并同类项后得到的多项式符合完全平方和结构，套用公式分解即可。
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题型四 先提公因式再用公式法
【典例4】
(1) 先提取公因式$a$，剩余部分先套用完全平方公式分解，再对得到的$x^2-1$套用平方差公式分解，保证分解彻底即可。
(2) 先提取公因式$m$，将$a-b$看作整体，剩余部分符合完全平方和结构，套用公式分解即可。
【答案】
【典例1】解:
(1)原式=$4xy^2(2x^2-3yz)$;
(2)原式=$(x^2+y^2)(m-n)$.
变式.解:
(1)原式=$(x+y)(2m-3)$;
(2)原式=$(x+2)(x-1)$.
【典例2】解:
(1)原式=$(x+\dfrac{1}{2}y)(x-\dfrac{1}{2}y)$;
(2)原式=$(4+m^2)(2+m)(2-m)$.
变式.解:
(1)原式=$y(x+\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{2})$;
(2)原式=$-(3a-b)(a-3b)$;
(3)原式=$3ab(b+1)(b-1)$;
(4)原式=$3x(2x+1)(2x-1)$.
【典例3】解:
(1)原式=$(2x-1)^2$;
(2)原式=$(t+5)^2$.
变式.解:
(1)原式=$3a(x-1)^2$;
(2)原式=$(x+y-3)^2$;
(3)原式=$(a+b+2m)^2$;
(4)原式=$(a+2b)^2$.
【典例4】解:
(1)原式=$a(x+1)^2(x-1)^2$;
(2)原式=$m(a-b+1)^2$.
【知识点】
提公因式法、公式法分解因式、分解因式的步骤
【点评】
本组题目为分解因式的基础题型，全面覆盖了分解因式的常用方法，熟练掌握“一提二套三查”的解题步骤，提升对公式结构的识别能力，即可快速完成解题，解题时要注意因式需分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
