1.已知$a≠c$,若$M=a^2 - ac$,$N=ac - c^2$,则$M$与$N$的大小关系是()

A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.不能确定

A

【分析】
比较两个代数式的大小常用作差法：先计算两个式子的差，将差与0比较，若差大于0则被减数更大，差等于0则两式相等，差小于0则减数更大。本题我们先计算$M-N$，再对差进行化简因式分解，结合$a≠c$的条件判断差的正负，即可得出$M$和$N$的大小关系。
【解析】
使用作差法比较大小：
$\begin{aligned}M-N&=(a^2-ac)-(ac-c^2)\\&=a^2-ac-ac+c^2\\&=a^2-2ac+c^2\\&=(a-c)^2\end{aligned}$
根据平方的非负性，可知$(a-c)^2≥0$，结合已知条件$a≠c$，可得$(a-c)^2＞0$，即$M-N＞0$，因此$M＞N$。
【答案】
A
【知识点】
作差法比较大小，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的基础题型，解题关键是熟练掌握作差比较法的步骤，能正确运用完全平方公式对作差后的式子化简，题干给出的$a≠c$是判断差值正负的核心条件。
【难度系数】
0.8

2.如图，有一张边长为$b$的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为$a$的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒.用$M$表示其底面积与侧面积的差，则$M$可因式分解为()

A.$(b-6a)(b-2a)$
B.$(b-3a)(b-2a)$
C.$(b-5a)(b-a)$
D.$(b-2a)^2$

A
解:$M=(b-2a)^2-4(b-2a)a=(b-2a)(b-6a)$

【分析】
解题时首先要明确无盖长方体纸盒的底面边长和侧面各边的长度：原正方形纸板边长为b，四角各剪去边长为a的正方形后，折成的长方体底面是边长为(b-2a)的正方形，侧面是4个长为(b-2a)、宽为a的长方形。接下来分别计算底面积和侧面积，作差得到M的表达式，再提取公因式进行因式分解，最后匹配选项即可。
【解析】
第一步：计算长方体纸盒的底面积
折成的无盖长方体底面为正方形，边长为$ b-2a $，因此底面积：
$ S_{\mathrm{底}}=(b-2a)^2 $
第二步：计算长方体纸盒的侧面积
每个侧面是长为$ b-2a $、宽为$ a $的长方形，共4个侧面，因此侧面积：
$ S_{\mathrm{侧}}=4× a×(b-2a)=4a(b-2a) $
第三步：计算M并因式分解
由题意M为底面积与侧面积的差，因此：
$ M=S_{\mathrm{底}}-S_{\mathrm{侧}}=(b-2a)^2 - 4a(b-2a) $
提取公因式$ (b-2a) $可得：
$ M=(b-2a)(b-2a - 4a)=(b-2a)(b-6a) $
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
列代数式，提公因式法因式分解，长方体表面积计算
【点评】
本题结合实际折纸场景考查代数式的运算与因式分解，解题的核心是准确表示出长方体底面和侧面的边长，再熟练运用提公因式法分解因式，整体难度不高，理清图形边长关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7

3.已知$a+\frac{1}{b}=3,a^2-\frac{1}{b^2}=12$,则a的值为.

3.5
提示:$\because a+\frac{1}{b}=3,(a+\frac{1}{b})(a-\frac{1}{b})=12,\therefore a-\frac{1}{b}=4,\therefore a=3.5.$

【分析】
解题时首先观察已知的两个代数式的结构，发现$a^2-\frac{1}{b^2}$符合平方差公式的特征，可利用平方差公式因式分解为$(a+\frac{1}{b})(a-\frac{1}{b})$。结合已知的$a+\frac{1}{b}=3$，可以先求出$a-\frac{1}{b}$的值，最后将$a+\frac{1}{b}$和$a-\frac{1}{b}$两个等式相加，消去$\frac{1}{b}$即可求出$a$的值。
【解析】
根据平方差公式，可得：
$a^2-\frac{1}{b^2}=(a+\frac{1}{b})(a-\frac{1}{b})$
已知$a+\frac{1}{b}=3$，$a^2-\frac{1}{b^2}=12$，代入得：
$3×(a-\frac{1}{b})=12$
解得：$a-\frac{1}{b}=4$
现在联立两个等式：
$\begin{cases}a+\frac{1}{b}=3&(1)\\a-\frac{1}{b}=4&(2)\end{cases}$
将(1)+(2)，左边相加得$2a$，右边相加得$3+4=7$，即：
$2a=7$
解得：$a=3.5$
【答案】
3.5
【知识点】
平方差公式，代数式求值，消元法解方程
【点评】
本题侧重考查因式分解中平方差公式的灵活运用，通过因式分解建立两个已知条件的关联，再用消元法快速求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，能快速识别可因式分解的代数式。
【难度系数】
0.7

4.已知n为正整数,求证:$(4n+3)^2-(2n+3)^2$能被24整除.

证明:原式$=(4n+3+2n+3)(4n+3-2n-3)$
$=(6n+6)×2n=12n(n+1)$
又$\because n(n+1)$为两个连续整数，
故$12n(n+1)$为24的倍数，
即$(4n+3)^2-(2n+3)^2$能被24整除.

【分析】
要证明给定的式子能被24整除，需先对式子进行因式分解，再分析分解结果的因数特征。首先观察原式为两个平方项作差的形式，符合平方差公式的结构，因此先利用平方差公式分解因式；接着对分解后的式子化简整理；最后结合n是正整数的条件，分析化简后式子的因数：n和n+1是连续正整数，必有一个为偶数，即含有因数2，结合化简后式子的系数即可判断整体是否含有因数24。
【解析】
证明：
$\begin{split}(4n+3)^2-(2n+3)^2&=(4n+3+2n+3)(4n+3-2n-3)\\&=(6n+6)×2n\\&=12n(n+1)\end{split}$
∵n为正整数，n和n+1是两个连续整数，其中必有一个是偶数，即n(n+1)能被2整除，
∴$12n(n+1)$能被$12×2=24$整除，
即$(4n+3)^2-(2n+3)^2$能被24整除。
【答案】
$(4n+3)^2-(2n+3)^2$能被24整除
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用，数的整除性
【点评】
本题是因式分解在整除证明中的典型应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，先对多项式因式分解，再结合连续整数的奇偶性判断式子的因数组成，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7

5.(教材 P132T4 变式)计算：
(1)$2027^2 - 4052 × 2027 + 2026^2 =$ ；
(2)$999 × 999 + 1999 =$ 。

(1)1 (2)$10^6$
解:(1)原式$=2027^2-2×2026×2027+2026^2$
$=(2027-2026)^2=1$；
(2)原式$=999^2+2×999+1$
$=(999+1)^2=10^6$

【分析】
这两道题均为大数字运算题，直接硬算计算量大且易出错，可通过观察式子结构，结合完全平方公式的特征拆分项，将原式转化为完全平方形式，利用因式分解简化计算。
第(1)题先观察到4052=2×2026，原式刚好符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，其中$a=2027$，$b=2026$，代入公式即可快速求解；
第(2)题观察到1999=2×999+1，原式符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，其中$a=999$，$b=1$，代入公式即可得出结果。
【解析】
(1) 先拆分中间项，将原式变形：
$\begin{aligned}原式&=2027^2-2×2026×2027+2026^2\\&=(2027-2026)^2\\&=1^2\\&=1\end{aligned}$
(2) 先拆分常数项，将原式变形：
$\begin{aligned}原式&=999^2+2×999+1\\&=(999+1)^2\\&=1000^2\\&=10^6\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{10^6}$
【知识点】
完全平方公式；因式分解的应用；有理数简便运算
【点评】
本题核心考查利用因式分解简化运算的能力，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过合理拆分项将原式转化为公式形式，既降低计算量，也能避免直接计算大数平方出现的错误。
【难度系数】
0.7

6.(教材 P136T7 改编)观察下面等式,你能得到什么结论?并证明你的结论.
①$3^2 -1^2=8$
②$5^2 -3^2=16$
③$7^2 -5^2=24$
结论：.

$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$(两个连续奇数的平方差是8的倍数)
证明:$\because (2n+1)^2-(2n-1)^2=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=8n.$

【分析】
首先观察给出的3个等式的结构：等式左侧均为两个连续奇数的平方差，右侧均为8的正整数倍。第一步先用含n的代数式表示两个连续奇数：较小的奇数可写为2n-1，较大的相邻奇数可写为2n+1（n为正整数）；第二步猜想两个连续奇数的平方差等于8n，再利用平方差公式对左边的式子展开化简，验证是否等于右侧的8n即可。
【解析】
1. 规律总结：
观察已知等式：
当n=1时，$3^2-1^2=(2×1+1)^2-(2×1-1)^2=8=8×1$
当n=2时，$5^2-3^2=(2×2+1)^2-(2×2-1)^2=16=8×2$
当n=3时，$7^2-5^2=(2×3+1)^2-(2×3-1)^2=24=8×3$
可猜想结论：两个连续奇数的平方差是8的倍数，用代数式表示为$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$（n为正整数）。
2. 证明：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对等式左边展开：
$\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n-1)^2&=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]\\&=4n×2\\&=8n\end{aligned}$
左边化简结果等于右边，故猜想成立。
【答案】
$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$(两个连续奇数的平方差是8的倍数)
证明:$\because (2n+1)^2-(2n-1)^2=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=8n.$
【知识点】
平方差公式；规律探究；整式运算
【点评】
本题是规律探究类典型题型，既考查学生从特殊示例中归纳共性的观察能力，又考查对平方差公式的灵活运用能力，需要掌握从特殊到一般的探究思路。
【难度系数】
0.7

7.(教材 P132T9)观察下列式子,你得出了什么结论? 你能证明你的结论吗?
$1^2 + 1^2 × 2^2 + 2^2 = (1 + 1 + 1)^2$,
$2^2 + 2^2 × 3^2 + 3^2 = (4 + 2 + 1)^2$,
$3^2 + 3^2 × 4^2 + 4^2 = (9 + 3 + 1)^2$,
……

结论:$n^2+n^2×(n+1)^2+(n+1)^2=(n^2+n+1)^2.$
证明:$n^2+n^2(n+1)^2+(n+1)^2$
$=n^2(n^2+2n+1)+n^2+(n+1)^2$
$=n^4+2n^2(n+1)+(n+1)^2=(n^2+n+1)^2.$

【分析】
首先观察给出的3个式子，发现式子的变化规律和序号对应：第1个式子对应n=1，第2个对应n=2，第3个对应n=3。先分别梳理左右两边的结构：左边均为「序号n的平方+n平方乘(n+1)的平方+(n+1)的平方」，右边括号内的三个数分别为n²、n、1，先归纳出通用结论；再对结论进行证明，证明时将左边式子变形，凑完全平方公式的结构，通过整式运算验证左右两边相等即可。
【解析】
1. 归纳结论：设n为正整数，观察式子规律可得通用结论为$n^2 + n^2×(n+1)^2 + (n+1)^2 = (n^2 + n + 1)^2$。
2. 证明结论：
对等式左边进行整式运算变形：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=n^2 + n^2(n+1)^2 + (n+1)^2\\&=n^2(n^2+2n+1) + n^2 + (n+1)^2\\&=n^4 + 2n^3 +n^2 +n^2 +n^2 +2n +1\\&=n^4 + 2n^3 +3n^2 +2n +1\end{aligned}$
对等式右边展开：
$\begin{aligned}\mathrm{右边}&=(n^2 +n +1)^2\\&=(n^2 +n)^2 + 2(n^2 +n) +1\\&=n^4 +2n^3 +n^2 +2n^2 +2n +1\\&=n^4 + 2n^3 +3n^2 +2n +1\end{aligned}$
可得左边=右边，故结论成立。
【答案】
结论：$n^2+n^2×(n+1)^2+(n+1)^2=(n^2+n+1)^2$（n为正整数），证明如下：
$\begin{aligned}n^2+n^2(n+1)^2+(n+1)^2&=n^2(n^2+2n+1)+n^2+(n+1)^2\\&=n^4+2n^2(n+1)+(n+1)^2\\&=(n^2+n+1)^2\end{aligned}$
【知识点】
规律探究，完全平方公式，整式运算
【点评】
本题是规律探究与整式运算结合的典型题型，既考查从特殊到一般的归纳推理能力，又考查对完全平方公式的灵活运用能力，需要掌握“先归纳共性得到结论，再通过代数恒等变形验证结论”的解题思路。
【难度系数】
0.6