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【例1】将$a^3 - 9ab^2$分解因式.
答案
$a(a+3b)(a-3b)$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的思路：首先观察多项式各项是否有公因式，本题中两项都含有公因式$a$，第一步先提取公因式；提取公因式后得到$a(a^2-9b^2)$，再观察括号内的式子，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的结构，可套用平方差公式继续分解；最后检查所有因式是否还能再分解，确认分解彻底即可。
【解析】
解：$a^3 - 9ab^2$
$= a(a^2 - 9b^2)$
$= a[a^2 - (3b)^2]$
$= a(a+3b)(a-3b)$
【答案】
$a(a+3b)(a-3b)$
【知识点】
提取公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是掌握因式分解的常规步骤，注意不要漏提公因式，且要保证分解彻底，直到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提二套三查”的思路：首先观察多项式各项是否有公因式，本题中两项都含有公因式$a$，第一步先提取公因式；提取公因式后得到$a(a^2-9b^2)$，再观察括号内的式子，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的结构，可套用平方差公式继续分解；最后检查所有因式是否还能再分解，确认分解彻底即可。
【解析】
解：$a^3 - 9ab^2$
$= a(a^2 - 9b^2)$
$= a[a^2 - (3b)^2]$
$= a(a+3b)(a-3b)$
【答案】
$a(a+3b)(a-3b)$
【知识点】
提取公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是掌握因式分解的常规步骤，注意不要漏提公因式，且要保证分解彻底，直到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
练习1.把多项式$a^3 - 2a^2 + a$分解因式，结果正确的是（
A.$a(a-1)$
B.$a(a+1)^2$
C.$a(a-1)^2$
D.$-a(a+1)^2$
C
）A.$a(a-1)$
B.$a(a+1)^2$
C.$a(a-1)^2$
D.$-a(a+1)^2$
答案
C
解析
【分析】
拿到因式分解类题目，遵循“一提、二套、三查”的思路思考：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题中多项式每一项都含公因式$a$，先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的式子是否符合乘法公式的结构，剩余的$a^2-2a+1$符合完全平方差公式的特征，可继续分解；最后检查是否分解到不能再分解，即可得到最终结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
对多项式$a^3 - 2a^2 + a$因式分解步骤如下：
1. 提取公因式$a$：
$a^3 - 2a^2 + a = a(a^2 - 2a + 1)$
2. 利用完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$分解括号内的式子，此处$m=a$，$n=1$，可得：
$a^2 - 2a +1 = (a-1)^2$
因此原式因式分解的结果为$a(a-1)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题时需牢记“先提公因式、再套公式、最后检查分解是否彻底”的步骤，熟练掌握公因式提取方法和乘法公式的结构特征是解题的核心。
【难度系数】
0.8
拿到因式分解类题目，遵循“一提、二套、三查”的思路思考：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题中多项式每一项都含公因式$a$，先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的式子是否符合乘法公式的结构，剩余的$a^2-2a+1$符合完全平方差公式的特征，可继续分解；最后检查是否分解到不能再分解，即可得到最终结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
对多项式$a^3 - 2a^2 + a$因式分解步骤如下：
1. 提取公因式$a$：
$a^3 - 2a^2 + a = a(a^2 - 2a + 1)$
2. 利用完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$分解括号内的式子，此处$m=a$，$n=1$，可得：
$a^2 - 2a +1 = (a-1)^2$
因此原式因式分解的结果为$a(a-1)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题时需牢记“先提公因式、再套公式、最后检查分解是否彻底”的步骤，熟练掌握公因式提取方法和乘法公式的结构特征是解题的核心。
【难度系数】
0.8
练习2.分解因式：
(1)$6a^3 -54a$；
(2)$-a^3 -2a^2 -a$；
(3)$a^3 -4a$；
(4)$4xy -4x^2 -y^2$。
(1)$6a^3 -54a$；
(2)$-a^3 -2a^2 -a$；
(3)$a^3 -4a$；
(4)$4xy -4x^2 -y^2$。
答案
(1)原式$=6a(a+3)(a-3)$；
(2)原式$=-a(a+1)^2$；
(3)原式$=a(a+2)(a-2)$；
(4)原式$=-(2x-y)^2$。
(2)原式$=-a(a+1)^2$；
(3)原式$=a(a+2)(a-2)$；
(4)原式$=-(2x-y)^2$。
解析
【分析】
因式分解的核心思路是“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的形式，若符合则套用对应公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，每个因式都不能再分解为止，同时注意首项系数为负时优先提取负号简化运算。
(1) 先找公因式6a，提取后剩余的$a^2-9$符合平方差公式，继续分解即可；
(2) 首项为负，先提取公因式$-a$，剩余的$a^2+2a+1$符合完全平方公式，继续分解；
(3) 先提取公因式$a$，剩余的$a^2-4$符合平方差公式，继续分解；
(4) 先调整顺序提取负号，剩余的$4x^2-4xy+y^2$符合完全平方公式，分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式$6a$，再用平方差公式分解：
$\begin{aligned}原式&=6a(a^2-9)\\&=6a(a^2-3^2)\\&=6a(a+3)(a-3)\end{aligned}$
(2) 先提取负号和公因式$-a$，再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}原式&=-a(a^2+2a+1)\\&=-a(a+1)^2\end{aligned}$
(3) 先提取公因式$a$，再用平方差公式分解：
$\begin{aligned}原式&=a(a^2-4)\\&=a(a^2-2^2)\\&=a(a+2)(a-2)\end{aligned}$
(4) 先提取负号，再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}原式&=-(4x^2-4xy+y^2)\\&=-[(2x)^2-2·2x· y + y^2]\\&=-(2x-y)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$6a(a+3)(a-3)$；(2)$-a(a+1)^2$；(3)$a(a+2)(a-2)$；(4)$-(2x-y)^2$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
这几道题是因式分解的常规基础题型，重点考查因式分解的基本操作步骤，解题时要牢记先提公因式再套公式的顺序，注意符号处理，最终结果要保证每个因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
因式分解的核心思路是“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的形式，若符合则套用对应公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，每个因式都不能再分解为止，同时注意首项系数为负时优先提取负号简化运算。
(1) 先找公因式6a，提取后剩余的$a^2-9$符合平方差公式，继续分解即可；
(2) 首项为负，先提取公因式$-a$，剩余的$a^2+2a+1$符合完全平方公式，继续分解；
(3) 先提取公因式$a$，剩余的$a^2-4$符合平方差公式，继续分解；
(4) 先调整顺序提取负号，剩余的$4x^2-4xy+y^2$符合完全平方公式，分解即可。
【解析】
(1) 先提取公因式$6a$，再用平方差公式分解：
$\begin{aligned}原式&=6a(a^2-9)\\&=6a(a^2-3^2)\\&=6a(a+3)(a-3)\end{aligned}$
(2) 先提取负号和公因式$-a$，再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}原式&=-a(a^2+2a+1)\\&=-a(a+1)^2\end{aligned}$
(3) 先提取公因式$a$，再用平方差公式分解：
$\begin{aligned}原式&=a(a^2-4)\\&=a(a^2-2^2)\\&=a(a+2)(a-2)\end{aligned}$
(4) 先提取负号，再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}原式&=-(4x^2-4xy+y^2)\\&=-[(2x)^2-2·2x· y + y^2]\\&=-(2x-y)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$6a(a+3)(a-3)$；(2)$-a(a+1)^2$；(3)$a(a+2)(a-2)$；(4)$-(2x-y)^2$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
这几道题是因式分解的常规基础题型，重点考查因式分解的基本操作步骤，解题时要牢记先提公因式再套公式的顺序，注意符号处理，最终结果要保证每个因式都不能再分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
【例2】把多项式$x^4 - y^4$分解因式正确的是（
A.$(x^2 + y^2)(x - y)^2$
B.$(x + y)^2(x - y)^2$
C.$(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
D.$(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$
C
）A.$(x^2 + y^2)(x - y)^2$
B.$(x + y)^2(x - y)^2$
C.$(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
D.$(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$
答案
C
解析
【分析】
拿到这道因式分解题，首先观察多项式特征：$x^4 - y^4$是两个四次项的差，符合平方差公式的结构，因此优先考虑用平方差公式分解。同时要牢记因式分解的核心要求：必须分解到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。第一步先把$x^4$看作$(x^2)^2$、$y^4$看作$(y^2)^2$，用一次平方差公式分解，再检查得到的因式是否还能继续分解，若能则继续用公式分解，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
对$x^4 - y^4$进行因式分解：
1. 识别平方差结构，将原式变形为$(x^2)^2 - (y^2)^2$，根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，可得：
$x^4 - y^4 = (x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$
2. 检查分解后的因式：$x^2 + y^2$无公因式、也不符合乘法公式的分解条件，无法继续分解；$x^2 - y^2$仍符合平方差结构，继续分解得：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
3. 合并得最终分解结果：$x^4 - y^4 = (x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
核对选项：A、B错误使用完全平方公式，D未将$x^2 - y^2$分解完全，均排除。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解；因式分解的基本要求
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，重点考查平方差公式的应用，易错点是忽略因式分解的彻底性要求，误选未分解完全的D选项，解题时需在每一步分解后检查剩余因式是否可继续分解。
【难度系数】
0.7
拿到这道因式分解题，首先观察多项式特征：$x^4 - y^4$是两个四次项的差，符合平方差公式的结构，因此优先考虑用平方差公式分解。同时要牢记因式分解的核心要求：必须分解到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。第一步先把$x^4$看作$(x^2)^2$、$y^4$看作$(y^2)^2$，用一次平方差公式分解，再检查得到的因式是否还能继续分解，若能则继续用公式分解，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
对$x^4 - y^4$进行因式分解：
1. 识别平方差结构，将原式变形为$(x^2)^2 - (y^2)^2$，根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，可得：
$x^4 - y^4 = (x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$
2. 检查分解后的因式：$x^2 + y^2$无公因式、也不符合乘法公式的分解条件，无法继续分解；$x^2 - y^2$仍符合平方差结构，继续分解得：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
3. 合并得最终分解结果：$x^4 - y^4 = (x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
核对选项：A、B错误使用完全平方公式，D未将$x^2 - y^2$分解完全，均排除。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解；因式分解的基本要求
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，重点考查平方差公式的应用，易错点是忽略因式分解的彻底性要求，误选未分解完全的D选项，解题时需在每一步分解后检查剩余因式是否可继续分解。
【难度系数】
0.7
练习.分解因式:
(1)$x^4 -81$;
(2)$x^4 -2x^2 +1$;
(3)$m^4 -18m^2 +81$;
(4)$(a^2 +4b^2)^2 -16a^2b^2$;
(5)$3(x-2y)^2 -27(3x+y)^2$;
(6)$(x^3 -6x^2y)+9xy^2$.
(1)$x^4 -81$;
(2)$x^4 -2x^2 +1$;
(3)$m^4 -18m^2 +81$;
(4)$(a^2 +4b^2)^2 -16a^2b^2$;
(5)$3(x-2y)^2 -27(3x+y)^2$;
(6)$(x^3 -6x^2y)+9xy^2$.
答案
(1)原式$=(x^2-9)(x^2+9)=(x+3)(x-3)(x^2+9)$
(2)原式$=(x^2-1)^2=(x+1)^2(x-1)^2$
(3)原式$=(m^2-9)^2=(m+3)^2(m-3)^2$；
(4)原式$=(a+2b)^2(a-2b)^2$；
(5)原式$=-3(10x+y)(8x+5y)$；
(6)原式$=x(x-3y)^2$。
(2)原式$=(x^2-1)^2=(x+1)^2(x-1)^2$
(3)原式$=(m^2-9)^2=(m+3)^2(m-3)^2$；
(4)原式$=(a+2b)^2(a-2b)^2$；
(5)原式$=-3(10x+y)(8x+5y)$；
(6)原式$=x(x-3y)^2$。
解析
【分析】
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的通用思路：1.提：先观察多项式是否含有公因式，若有则先提取公因式；2.套：根据多项式的项数选择对应公式：两项式优先考虑平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，三项式优先考虑完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$；3.查：检查分解后得到的每一个因式是否还能继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。
对应各小题思考方向：(1)(4)(5)均为两项式，可先转化为平方差形式套用公式，再检查后续是否可分解；(2)(3)(6)均为可整理为三项式的结构，优先考虑完全平方公式，再检查后续分解情况。
【解析】
(1) 原式可看作$(x^2)^2 - 9^2$，套用平方差公式得：
$=(x^2 - 9)(x^2 + 9)$
其中$x^2 -9$仍为平方差形式，继续分解得：
$=(x+3)(x-3)(x^2 +9)$
(2) 原式可看作$(x^2)^2 - 2· x^2·1 +1^2$，套用完全平方差公式得：
$=(x^2 -1)^2$
其中$x^2 -1$仍为平方差形式，继续分解后整理得：
$=[(x+1)(x-1)]^2=(x+1)^2(x-1)^2$
(3) 原式可看作$(m^2)^2 - 2· m^2·9 +9^2$，套用完全平方差公式得：
$=(m^2 -9)^2$
其中$m^2 -9$仍为平方差形式，继续分解后整理得：
$=[(m+3)(m-3)]^2=(m+3)^2(m-3)^2$
(4) 原式可看作$(a^2+4b^2)^2 - (4ab)^2$，套用平方差公式得：
$=(a^2+4b^2 +4ab)(a^2+4b^2 -4ab)$
两个括号内分别符合完全平方和、完全平方差公式，整理得：
$=(a+2b)^2(a-2b)^2$
(5) 先提取公因式3得：
$=3[(x-2y)^2 - 9(3x+y)^2]$
中括号内可看作$(x-2y)^2 - [3(3x+y)]^2$，套用平方差公式得：
$=3[(x-2y)+3(3x+y)][(x-2y)-3(3x+y)]$
分别化简两个括号内的代数式：
第一个括号：$x-2y+9x+3y=10x+y$
第二个括号：$x-2y-9x-3y=-8x-5y=-(8x+5y)$
整理得：$=3×(10x+y)×(-(8x+5y))=-3(10x+y)(8x+5y)$
(6) 先提取公因式x得：
$=x(x^2 -6xy +9y^2)$
括号内可看作$x^2 -2· x·3y +(3y)^2$，套用完全平方差公式得：
$=x(x-3y)^2$
【答案】
(1)$(x+3)(x-3)(x^2+9)$
(2)$(x+1)^2(x-1)^2$
(3)$(m+3)^2(m-3)^2$
(4)$(a+2b)^2(a-2b)^2$
(5)$-3(10x+y)(8x+5y)$
(6)$x(x-3y)^2$
【知识点】
因式分解的步骤，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础综合训练题，核心考察对因式分解步骤的掌握和公式的灵活运用，做题时要注意必须分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的通用思路：1.提：先观察多项式是否含有公因式，若有则先提取公因式；2.套：根据多项式的项数选择对应公式：两项式优先考虑平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，三项式优先考虑完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$；3.查：检查分解后得到的每一个因式是否还能继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。
对应各小题思考方向：(1)(4)(5)均为两项式，可先转化为平方差形式套用公式，再检查后续是否可分解；(2)(3)(6)均为可整理为三项式的结构，优先考虑完全平方公式，再检查后续分解情况。
【解析】
(1) 原式可看作$(x^2)^2 - 9^2$，套用平方差公式得：
$=(x^2 - 9)(x^2 + 9)$
其中$x^2 -9$仍为平方差形式，继续分解得：
$=(x+3)(x-3)(x^2 +9)$
(2) 原式可看作$(x^2)^2 - 2· x^2·1 +1^2$，套用完全平方差公式得：
$=(x^2 -1)^2$
其中$x^2 -1$仍为平方差形式，继续分解后整理得：
$=[(x+1)(x-1)]^2=(x+1)^2(x-1)^2$
(3) 原式可看作$(m^2)^2 - 2· m^2·9 +9^2$，套用完全平方差公式得：
$=(m^2 -9)^2$
其中$m^2 -9$仍为平方差形式，继续分解后整理得：
$=[(m+3)(m-3)]^2=(m+3)^2(m-3)^2$
(4) 原式可看作$(a^2+4b^2)^2 - (4ab)^2$，套用平方差公式得：
$=(a^2+4b^2 +4ab)(a^2+4b^2 -4ab)$
两个括号内分别符合完全平方和、完全平方差公式，整理得：
$=(a+2b)^2(a-2b)^2$
(5) 先提取公因式3得：
$=3[(x-2y)^2 - 9(3x+y)^2]$
中括号内可看作$(x-2y)^2 - [3(3x+y)]^2$，套用平方差公式得：
$=3[(x-2y)+3(3x+y)][(x-2y)-3(3x+y)]$
分别化简两个括号内的代数式：
第一个括号：$x-2y+9x+3y=10x+y$
第二个括号：$x-2y-9x-3y=-8x-5y=-(8x+5y)$
整理得：$=3×(10x+y)×(-(8x+5y))=-3(10x+y)(8x+5y)$
(6) 先提取公因式x得：
$=x(x^2 -6xy +9y^2)$
括号内可看作$x^2 -2· x·3y +(3y)^2$，套用完全平方差公式得：
$=x(x-3y)^2$
【答案】
(1)$(x+3)(x-3)(x^2+9)$
(2)$(x+1)^2(x-1)^2$
(3)$(m+3)^2(m-3)^2$
(4)$(a+2b)^2(a-2b)^2$
(5)$-3(10x+y)(8x+5y)$
(6)$x(x-3y)^2$
【知识点】
因式分解的步骤，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础综合训练题，核心考察对因式分解步骤的掌握和公式的灵活运用，做题时要注意必须分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
【例3】分解因式：
(1)$(a+b)^2 -4ab$；
(2)$(p-4)(p+1)+3p$。
(1)$(a+b)^2 -4ab$；
(2)$(p-4)(p+1)+3p$。
答案
(1)原式$=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$；
(2)原式$=p^2-3p-4+3p=(p-2)(p+2)$。
(2)原式$=p^2-3p-4+3p=(p-2)(p+2)$。
解析
【分析】
这两道因式分解题的核心解题思路是先化简原式，再根据化简后整式的特征匹配对应公式完成分解。
第(1)题：观察到原式包含完全平方式$(a+b)^2$和乘积项，第一步先将$(a+b)^2$按完全平方和公式展开，再合并同类项，合并后的式子符合完全平方差公式的形式，逆用公式即可完成分解。
第(2)题：原式含多项式乘积项，第一步先按多项式乘多项式法则展开乘积项，再合并同类项，合并后的式子符合平方差公式的形式，逆用公式即可完成分解，注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) 展开完全平方后合并同类项，再逆用完全平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^2+2ab+b^2-4ab \\&=a^2-2ab+b^2 \\&=(a-b)^2\end{aligned}$
(2) 展开多项式乘积后合并同类项，再逆用平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=p^2+p-4p-4+3p \\&=p^2-4 \\&=(p-2)(p+2)\end{aligned}$
【答案】
(1)$(a-b)^2$；(2)$(p-2)(p+2)$
【知识点】
因式分解、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，解题关键是先通过整式运算化简原式，再根据式子结构特征选择对应公式分解，需注意因式分解的结果要满足分解彻底的要求。
【难度系数】
0.8
这两道因式分解题的核心解题思路是先化简原式，再根据化简后整式的特征匹配对应公式完成分解。
第(1)题：观察到原式包含完全平方式$(a+b)^2$和乘积项，第一步先将$(a+b)^2$按完全平方和公式展开，再合并同类项，合并后的式子符合完全平方差公式的形式，逆用公式即可完成分解。
第(2)题：原式含多项式乘积项，第一步先按多项式乘多项式法则展开乘积项，再合并同类项，合并后的式子符合平方差公式的形式，逆用公式即可完成分解，注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) 展开完全平方后合并同类项，再逆用完全平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^2+2ab+b^2-4ab \\&=a^2-2ab+b^2 \\&=(a-b)^2\end{aligned}$
(2) 展开多项式乘积后合并同类项，再逆用平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=p^2+p-4p-4+3p \\&=p^2-4 \\&=(p-2)(p+2)\end{aligned}$
【答案】
(1)$(a-b)^2$；(2)$(p-2)(p+2)$
【知识点】
因式分解、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，解题关键是先通过整式运算化简原式，再根据式子结构特征选择对应公式分解，需注意因式分解的结果要满足分解彻底的要求。
【难度系数】
0.8
练习.分解因式：
(1)$(4m - 3)(m + 3) - 9m$；
(2)$(x - 2y)^2 + 8xy$.
(1)$(4m - 3)(m + 3) - 9m$；
(2)$(x - 2y)^2 + 8xy$.
答案
(1)原式$=4m^2+9m-9-9m=4m^2-9=(2m+3)(2m-3)$。
(2)原式$=x^2-4xy+4y^2+8xy=x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2$。
(2)原式$=x^2-4xy+4y^2+8xy=x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2$。
解析
【分析】
做因式分解类题目时，若原式中含有整式乘积的形式，优先考虑先展开乘积项，再通过合并同类项将原式化简，最后根据化简后式子的结构选择合适的因式分解方法。本题中两道小题均遵循先展开再化简、最后用乘法公式分解的思路：第(1)题展开合并后得到二项式，符合平方差公式的特征，可利用平方差公式分解；第(2)题展开合并后得到三项式，符合完全平方公式的特征，可利用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 先按照多项式乘多项式法则展开乘积项，再合并同类项，最后用平方差公式分解：
原式$=4m^2 + 12m - 3m - 9 - 9m$
$=4m^2 - 9$
$=(2m+3)(2m-3)$
(2) 先按照完全平方差公式展开乘积项，再合并同类项，最后用完全平方和公式分解：
原式$=x^2 - 4xy + 4y^2 + 8xy$
$=x^2 + 4xy + 4y^2$
$=(x+2y)^2$
【答案】
(1)$(2m+3)(2m-3)$；(2)$(x+2y)^2$
【知识点】
整式乘法运算、合并同类项、公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，核心考察整式乘法与因式分解的关联应用，要求熟练掌握多项式乘多项式法则、完全平方公式、平方差公式，牢记“先化简再分解”的解题逻辑，保证因式分解彻底即可。
【难度系数】
0.8
做因式分解类题目时，若原式中含有整式乘积的形式，优先考虑先展开乘积项，再通过合并同类项将原式化简，最后根据化简后式子的结构选择合适的因式分解方法。本题中两道小题均遵循先展开再化简、最后用乘法公式分解的思路：第(1)题展开合并后得到二项式，符合平方差公式的特征，可利用平方差公式分解；第(2)题展开合并后得到三项式，符合完全平方公式的特征，可利用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 先按照多项式乘多项式法则展开乘积项，再合并同类项，最后用平方差公式分解：
原式$=4m^2 + 12m - 3m - 9 - 9m$
$=4m^2 - 9$
$=(2m+3)(2m-3)$
(2) 先按照完全平方差公式展开乘积项，再合并同类项，最后用完全平方和公式分解：
原式$=x^2 - 4xy + 4y^2 + 8xy$
$=x^2 + 4xy + 4y^2$
$=(x+2y)^2$
【答案】
(1)$(2m+3)(2m-3)$；(2)$(x+2y)^2$
【知识点】
整式乘法运算、合并同类项、公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题型，核心考察整式乘法与因式分解的关联应用，要求熟练掌握多项式乘多项式法则、完全平方公式、平方差公式，牢记“先化简再分解”的解题逻辑，保证因式分解彻底即可。
【难度系数】
0.8
