【典例1】分解因式：$ax+by+bx+ay.$

解:原式=$(ax+bx)+(by+ay)$
$=x(a+b)+y(a+b)$
$=(a+b)(x+y).$

【分析】
观察待分解的多项式共有4项，直接提取公因式或运用公式法均无法分解，因此考虑使用分组分解法。分组的核心原则是：分组后每组内部可提取公因式，且分组后不同组之间还存在公共因式可提取。本题可以将含x的项分为一组，含y的项分为另一组，先分组提取公因式，再整体提取公因式即可完成分解。
【解析】
解：原式=$(ax+bx)+(by+ay)$
$=x(a+b)+y(a+b)$
$=(a+b)(x+y)$
【答案】
$(a+b)(x+y)$
【知识点】
分组分解法；提公因式法
【点评】
本题是分组分解法分解因式的基础题型，关键是掌握合理分组的规则，除了按含x、y的项分组外，也可将含a、含b的项分为一组，最终分解结果一致，解题时可根据式子特征灵活选择分组方式。
【难度系数】
0.8

变式.分解因式.(1)$2ax - by + 2bx - ay$；(2)$a^2xy + b^2xy + abx^2 + aby^2$；
(3)$a^2 + a - b^2 - b$；(4)$x^2 - y^2 + 2x + 2y$；
(5)$x^2 - 2x - 9y^2 - 6y$；(6)$x^2 - 4y^2 + 2x + 4y$。

(1)原式=$2x(a+b)-y(a+b)$
$=(a+b)(2x-y);$
(2)原式=$(a^2xy+abx^2)+(b^2xy+aby^2)$
$=ax(ay+bx)+by(bx+ay)$
$=(ay+bx)(ax+by);$
(3)原式=$(a^2-b^2)+(a-b)$
$=(a-b)(a+b+1);$
(4)原式=$(x+y)(x-y)+2(x+y)$
$=(x+y)(x-y+2);$
(5)原式=$(x^2-9y^2)-2(x+3y)$
$=(x+3y)(x-3y-2);$
(6)原式=$(x^2-4y^2)+2(x+2y)$
$=(x+2y)(x-2y+2).$

【分析】
这6道因式分解题均为四项式，适用分组分解法解题，思考步骤如下：①观察式子的项的特征，将能提取公因式、或能套用乘法公式（本题主要用平方差公式）的项分为一组，多采用“二二分组”的方式；②对分好的每组分别进行因式分解（提公因式或用公式）；③观察分解后的各组是否存在公共的因式，提取公因式得到最终结果，注意结果要分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 将含$x$、$y$的项分别分组：
原式$=2x(a+b)-y(a+b)$
$=(a+b)(2x-y)$
(2) 按相同字母组合特征分组：
原式$=(a^2xy+abx^2)+(b^2xy+aby^2)$
$=ax(ay+bx)+by(bx+ay)$
$=(ay+bx)(ax+by)$
(3) 将平方项、一次项分别分组：
原式$=(a^2-b^2)+(a-b)$
$=(a-b)(a+b)+(a-b)$
$=(a-b)(a+b+1)$
(4) 将平方差项、一次项分别分组：
原式$=(x+y)(x-y)+2(x+y)$
$=(x+y)(x-y+2)$
(5) 将平方项、一次项分别分组：
原式$=(x^2-9y^2)-2(x+3y)$
$=(x+3y)(x-3y)-2(x+3y)$
$=(x+3y)(x-3y-2)$
(6) 将平方差项、一次项分别分组：
原式$=(x^2-4y^2)+2(x+2y)$
$=(x+2y)(x-2y)+2(x+2y)$
$=(x+2y)(x-2y+2)$
【答案】
(1)$(a+b)(2x-y)$；(2)$(ay+bx)(ax+by)$；(3)$(a-b)(a+b+1)$；(4)$(x+y)(x-y+2)$；(5)$(x+3y)(x-3y-2)$；(6)$(x+2y)(x-2y+2)$
【知识点】
分组分解法因式分解，提公因式法因式分解，平方差公式
【点评】
本组题目核心考察分组分解法的应用，解题关键是根据式子的结构特征合理分组，分组后要确保能继续提取公因式或套用公式，直到每一个因式都不能再分解为止，熟练掌握分组规律后可快速解题。
【难度系数】
0.7

【典例2】分解因式.
(1)$x^2 - 1 - 4xy + 4y^2$；
(2)$x^2 - 2xy + y^2 - 9$.

(1)原式=$x^2-4xy+4y^2-1$
$=(x-2y)^2-1^2$
$=(x-2y+1)(x-2y-1);$
(2)原式=$(x-y)^2-3^2$
$=(x-y+3)(x-y-3).$

【分析】
这两道因式分解题均采用分组分解法求解：(1)观察多项式，发现$x^2$、$-4xy$、$4y^2$三项可凑成完全平方形式，因此先将这三项分为一组，整理后原式转化为平方差的形式，再利用平方差公式继续分解即可；(2)同理，前三项$x^2$、$-2xy$、$y^2$符合完全平方的结构特征，先将前三项分组得到完全平方式，再和常数项$-9$组成平方差结构，套用平方差公式分解即可，注意因式分解要分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 先调整多项式的项的顺序，将能构成完全平方的项放在一起：
原式=$x^2-4xy+4y^2-1$
对前三项套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=2y$，可得：
$=(x-2y)^2-1^2$
再套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x-2y$，$b=1$，分解得：
$=(x-2y+1)(x-2y-1)$
(2) 先对前三项进行分组，套用完全平方公式：
原式=$(x^2-2xy+y^2)-9$
$=(x-y)^2-3^2$
再套用平方差公式，其中$a=x-y$，$b=3$，分解得：
$=(x-y+3)(x-y-3)$
【答案】
(1)$(x-2y+1)(x-2y-1)$；(2)$(x-y+3)(x-y-3)$
【知识点】
分组分解法因式分解，完全平方公式因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的常规题型，解题核心是根据多项式的项的特征合理分组，优先将符合完全平方结构的项分为一组，将多项式转化为平方差的形式后再继续分解，需注意因式分解的结果要保证每个因式都无法再分解。
【难度系数】
0.7

变式.分解因式.
(1)$p^2 - 9 - 2pq + q^2$；
(2)$4x^2 - 4xy + y^2 - 4$；
(3)$x^3 - 4x^2y + 4xy^2 - 9x$；
(4)$m - m^3 + 2m^2n - mn^2$。

(1)原式=$(p^2-2pq+q^2)-9$
$=(p-q)^2-3^2$
$=(p-q+3)(p-q-3);$
(2)原式=$(2x-y)^2-2^2$
$=(2x-y+2)(2x-y-2);$
(3)原式=$x(x^2-4xy+4y^2-9)$
$=x[(x-2y)^2-3^2]$
$=x(x-2y+3)(x-2y-3);$
(4)原式=$m(1-m^2+2mn-n^2)$
$=m[1-(m-n)^2]$
$=m(1+m-n)(1-m+n).$

【分析】
这4道因式分解题遵循“一提二套三分组”的解题思路：①首先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；②对剩余项合理分组，将能构成完全平方式的3项归为一组，剩余1项（常数项）单独为一组，使整体转化为“两个数的平方差”的结构；③最后利用平方差公式继续分解，注意最终结果要保证每个因式都不能再分解。
【解析】
(1) 先将前三项分组凑完全平方：
原式=$(p^2-2pq+q^2)-9$
$=(p-q)^2-3^2$
利用平方差公式分解：
$=(p-q+3)(p-q-3)$
(2) 先将前三项分组凑完全平方：
原式=$(4x^2 - 4xy + y^2)-4$
$=(2x-y)^2-2^2$
利用平方差公式分解：
$=(2x-y+2)(2x-y-2)$
(3) 先提取公因式$x$，再分组凑完全平方：
原式=$x(x^2 - 4xy + 4y^2 - 9)$
$=x[(x-2y)^2-3^2]$
利用平方差公式分解：
$=x(x-2y+3)(x-2y-3)$
(4) 先提取公因式$m$，再分组凑完全平方：
原式=$m(1 - m^2 + 2mn - n^2)$
$=m[1-(m^2 - 2mn + n^2)]$
$=m[1-(m-n)^2]$
利用平方差公式分解：
$=m(1+m-n)(1-m+n)$
【答案】
(1) $(p-q+3)(p-q-3)$
(2) $(2x-y+2)(2x-y-2)$
(3) $x(x-2y+3)(x-2y-3)$
(4) $m(1+m-n)(1-m+n)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公式法分解因式，分组分解法分解因式
【点评】
本题的解题关键是合理选择分组方式，优先提取公因式后，通过分组构造乘法公式的形式即可完成分解，要注意因式分解必须彻底，直到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7