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【典例1】(2026·青山月考)当$x$分别取$2020,2019,\dots,2,1,0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots,\frac{1}{2019},\frac{1}{2020}$时，计算分式$\frac{x^2 -1}{x^2 +1}$的值，再将所得结果相加，其和等于(
A.$\frac{2020}{2021}$
B.$1$
C.$0$
D.$-1$
D
)A.$\frac{2020}{2021}$
B.$1$
C.$0$
D.$-1$
答案
解:当 $x=a$ 时,$\frac{x^2 -1}{x^2 +1}=\frac{a^2 -1}{a^2 +1}$,
当 $x=\frac{1}{a}$ 时,$\frac{x^2 -1}{x^2 +1}=\frac{1 - a^2}{a^2 +1}$,
$\because\frac{a^2 -1}{a^2 +1}+\frac{1 - a^2}{a^2 +1}=0$,$\therefore$当 $x=a$ 时与当 $x=\frac{1}{a}$ 时所得的代数式的和为 0.
$\therefore$当 $x=2020$ 时与当 $x=\frac{1}{2020}$ 时所得的代数式的和为 0,
当 $x=2019$ 时与当 $x=\frac{1}{2019}$ 时所得的代数式的和为 0,
……
当 $x=2$ 时与当 $x=\frac{1}{2}$ 时所得的代数式的和为 0,
当 $x=1$ 时所得的代数式的值为 0,
当 $x=0$ 时所求的代数式的值为 $-1$,
再将所得结果相加,其和等于 $-1$.
当 $x=\frac{1}{a}$ 时,$\frac{x^2 -1}{x^2 +1}=\frac{1 - a^2}{a^2 +1}$,
$\because\frac{a^2 -1}{a^2 +1}+\frac{1 - a^2}{a^2 +1}=0$,$\therefore$当 $x=a$ 时与当 $x=\frac{1}{a}$ 时所得的代数式的和为 0.
$\therefore$当 $x=2020$ 时与当 $x=\frac{1}{2020}$ 时所得的代数式的和为 0,
当 $x=2019$ 时与当 $x=\frac{1}{2019}$ 时所得的代数式的和为 0,
……
当 $x=2$ 时与当 $x=\frac{1}{2}$ 时所得的代数式的和为 0,
当 $x=1$ 时所得的代数式的值为 0,
当 $x=0$ 时所求的代数式的值为 $-1$,
再将所得结果相加,其和等于 $-1$.
解析
【分析】
观察题目中x的取值，可发现除0和1外，其余数值均是互为倒数的成对数据（如2020与$\frac{1}{2020}$、2019与$\frac{1}{2019}$……2与$\frac{1}{2}$）。我们可以先验证互为倒数的两个数代入分式后的和的规律，再计算x=1、x=0时的分式值，最后将所有结果求和即可，无需逐一计算每个x对应的值，大幅简化运算。
【解析】
设$a$为非零常数，当$x=a$时，代入分式得：$\frac{a^2 -1}{a^2 +1}$；
当$x=\frac{1}{a}$时，代入分式得：$\frac{(\frac{1}{a})^2 -1}{(\frac{1}{a})^2 +1}$，分子分母同乘$a^2$化简可得$\frac{1 - a^2}{a^2 +1}$。
将两个结果相加：$\frac{a^2 -1}{a^2 +1}+\frac{1 - a^2}{a^2 +1}=0$，即互为倒数的两个数代入分式后的和为0。
再计算单独取值的分式值：
当$x=1$时，$\frac{1^2-1}{1^2+1}=0$；
当$x=0$时，$\frac{0^2-1}{0^2+1}=-1$。
其余成对的互为倒数的x代入后的和均为0，因此所有结果相加的总和为$0+(-1)=-1$。
【答案】
D
【知识点】
分式的运算，规律探究，倒数的性质
【点评】
本题是分式运算的规律类题目，解题核心是观察到x取值的倒数配对特征，通过推导互为倒数的两个数对应的分式值的和为0，避免大量重复计算，快速得到结果。
【难度系数】
0.6
观察题目中x的取值，可发现除0和1外，其余数值均是互为倒数的成对数据（如2020与$\frac{1}{2020}$、2019与$\frac{1}{2019}$……2与$\frac{1}{2}$）。我们可以先验证互为倒数的两个数代入分式后的和的规律，再计算x=1、x=0时的分式值，最后将所有结果求和即可，无需逐一计算每个x对应的值，大幅简化运算。
【解析】
设$a$为非零常数，当$x=a$时，代入分式得：$\frac{a^2 -1}{a^2 +1}$；
当$x=\frac{1}{a}$时，代入分式得：$\frac{(\frac{1}{a})^2 -1}{(\frac{1}{a})^2 +1}$，分子分母同乘$a^2$化简可得$\frac{1 - a^2}{a^2 +1}$。
将两个结果相加：$\frac{a^2 -1}{a^2 +1}+\frac{1 - a^2}{a^2 +1}=0$，即互为倒数的两个数代入分式后的和为0。
再计算单独取值的分式值：
当$x=1$时，$\frac{1^2-1}{1^2+1}=0$；
当$x=0$时，$\frac{0^2-1}{0^2+1}=-1$。
其余成对的互为倒数的x代入后的和均为0，因此所有结果相加的总和为$0+(-1)=-1$。
【答案】
D
【知识点】
分式的运算，规律探究，倒数的性质
【点评】
本题是分式运算的规律类题目，解题核心是观察到x取值的倒数配对特征，通过推导互为倒数的两个数对应的分式值的和为0，避免大量重复计算，快速得到结果。
【难度系数】
0.6
变式.规定 $y=\frac{x^2}{x^2+1}=f(x)$，例如：$f(1)$表示当 $x=1$ 时 $y$ 的值，即 $f(1)=\frac{1^2}{1^2+1}=\frac{1}{2}$；$f(\frac{1}{2})$表示当 $x=\frac{1}{2}$时 $y$ 的值，即 $f(\frac{1}{2})=\frac{(\frac{1}{2})^2}{(\frac{1}{2})^2+1}=\frac{1}{5}$；…那么 $f(2025)+f(2024)+f(2023)+\dots+f(3)+f(2)+f(1)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{3})+\dots+f(\frac{1}{2023})+f(\frac{1}{2024})+f(\frac{1}{2025})=$ 。
答案
2024.5
解析
【分析】
观察所求式子的特点，发现式子中包含成对的$f(n)$与$f(\frac{1}{n})$（$n$为大于1的正整数），因此可以先推导$f(x)$与$f(\frac{1}{x})$的和的规律，再利用规律分组计算总和，最后加上单独的$f(1)$的值即可得到结果。
【解析】
第一步：推导$f(x)+f(\frac{1}{x})$的定值
已知$f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$，则
$f(\frac{1}{x})=\frac{(\frac{1}{x})^2}{(\frac{1}{x})^2+1}=\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1+x^2}{x^2}}=\frac{1}{x^2+1}$
因此$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}=\frac{x^2+1}{x^2+1}=1$
第二步：分组计算总和
所求式子中，$f(2)$与$f(\frac{1}{2})$、$f(3)$与$f(\frac{1}{3})$、……、$f(2025)$与$f(\frac{1}{2025})$，共$2025-1=2024$组，每组的和为1，这部分总和为$2024×1=2024$
再计算单独的$f(1)$：$f(1)=\frac{1^2}{1^2+1}=\frac{1}{2}=0.5$
第三步：求最终总和
原式$=2024 + 0.5=2024.5$
【答案】
2024.5
【知识点】
新定义运算，分式化简，规律探究
【点评】
本题解题核心是通过观察式子结构，先探究出$f(x)$与$f(\frac{1}{x})$的和为定值的规律，再利用分组法快速求和，避免了逐个计算的繁琐，重点考查学生的观察归纳能力和分式运算能力。
【难度系数】
0.7
观察所求式子的特点，发现式子中包含成对的$f(n)$与$f(\frac{1}{n})$（$n$为大于1的正整数），因此可以先推导$f(x)$与$f(\frac{1}{x})$的和的规律，再利用规律分组计算总和，最后加上单独的$f(1)$的值即可得到结果。
【解析】
第一步：推导$f(x)+f(\frac{1}{x})$的定值
已知$f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$，则
$f(\frac{1}{x})=\frac{(\frac{1}{x})^2}{(\frac{1}{x})^2+1}=\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1+x^2}{x^2}}=\frac{1}{x^2+1}$
因此$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}=\frac{x^2+1}{x^2+1}=1$
第二步：分组计算总和
所求式子中，$f(2)$与$f(\frac{1}{2})$、$f(3)$与$f(\frac{1}{3})$、……、$f(2025)$与$f(\frac{1}{2025})$，共$2025-1=2024$组，每组的和为1，这部分总和为$2024×1=2024$
再计算单独的$f(1)$：$f(1)=\frac{1^2}{1^2+1}=\frac{1}{2}=0.5$
第三步：求最终总和
原式$=2024 + 0.5=2024.5$
【答案】
2024.5
【知识点】
新定义运算，分式化简，规律探究
【点评】
本题解题核心是通过观察式子结构，先探究出$f(x)$与$f(\frac{1}{x})$的和为定值的规律，再利用分组法快速求和，避免了逐个计算的繁琐，重点考查学生的观察归纳能力和分式运算能力。
【难度系数】
0.7
【典例2】(2026·四川)观察以下等式：
第1个等式：$\frac{4}{9}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}+\frac{1}{9}$；
第2个等式：$\frac{9}{16}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{16}$；
第3个等式：$\frac{16}{25}+\frac{1}{5}=\frac{4}{5}+\frac{1}{25}$；
第4个等式：$\frac{25}{36}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}+\frac{1}{36}$；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第$n$个等式(用含$n$的式子表示)，并证明。
第1个等式：$\frac{4}{9}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}+\frac{1}{9}$；
第2个等式：$\frac{9}{16}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{16}$；
第3个等式：$\frac{16}{25}+\frac{1}{5}=\frac{4}{5}+\frac{1}{25}$；
第4个等式：$\frac{25}{36}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}+\frac{1}{36}$；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第$n$个等式(用含$n$的式子表示)，并证明。
答案
(1)$\frac{36}{49}+\frac{1}{7}=\frac{6}{7}+\frac{1}{49}$
(2)$\frac{(n+1)^2}{(n+2)^2}+\frac{1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}$.
证明:$(\frac{n+1}{n+2})^2 -\frac{1}{(n+2)^2}=\frac{n^2 + 2n}{(n+2)^2}=\frac{n}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}-\frac{1}{n+2}$.
(2)$\frac{(n+1)^2}{(n+2)^2}+\frac{1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}$.
证明:$(\frac{n+1}{n+2})^2 -\frac{1}{(n+2)^2}=\frac{n^2 + 2n}{(n+2)^2}=\frac{n}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}-\frac{1}{n+2}$.
解析
【分析】
解决此类规律探究问题，首先观察已知等式各部分与序号的对应关系：对比前4个等式可发现，等式左边第一个分数的分子为(序号+1)的平方、分母为(序号+2)的平方，第二个分数的分母为(序号+2)、分子为1；等式右边第一个分数的分子为(序号+1)、分母为(序号+2)，第二个分数的分母为(序号+2)的平方、分子为1。第一问将序号5代入对应规律即可写出第5个等式；第二问先根据规律写出含n的一般等式，再通过分式通分、化简证明左右两边相等即可。
【解析】
(1) 根据前4个等式的规律，第n个等式的结构可初步表示为$\frac{(n+1)^2}{(n+2)^2}+\frac{1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}$，令n=5代入得：
$\frac{(5+1)^2}{(5+2)^2}+\frac{1}{5+2}=\frac{5+1}{5+2}+\frac{1}{(5+2)^2}$，即$\frac{36}{49}+\frac{1}{7}=\frac{6}{7}+\frac{1}{49}$。
(2) 猜想第n个等式为：$\frac{(n+1)^2}{(n+2)^2}+\frac{1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}$。
证明：将等式两边移项，分别化简等号两侧：
左边：$\frac{(n+1)^2}{(n+2)^2}-\frac{1}{(n+2)^2}=\frac{(n+1)^2-1}{(n+2)^2}=\frac{n^2+2n+1-1}{(n+2)^2}=\frac{n(n+2)}{(n+2)^2}=\frac{n}{n+2}$
右边：$\frac{n+1}{n+2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n+1-1}{n+2}=\frac{n}{n+2}$
左边=右边，因此猜想的等式成立。
【答案】
(1) $\frac{36}{49}+\frac{1}{7}=\frac{6}{7}+\frac{1}{49}$
(2) $\frac{(n+1)^2}{(n+2)^2}+\frac{1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}$，证明如上。
【知识点】
分式规律探究、分式的运算、完全平方公式
【点评】
本题考查从特殊到一般的归纳能力，需要先观察等式各部分和序号的对应关系得到一般规律，再通过分式运算验证规律，兼顾对观察能力和代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.65
解决此类规律探究问题，首先观察已知等式各部分与序号的对应关系：对比前4个等式可发现，等式左边第一个分数的分子为(序号+1)的平方、分母为(序号+2)的平方，第二个分数的分母为(序号+2)、分子为1；等式右边第一个分数的分子为(序号+1)、分母为(序号+2)，第二个分数的分母为(序号+2)的平方、分子为1。第一问将序号5代入对应规律即可写出第5个等式；第二问先根据规律写出含n的一般等式，再通过分式通分、化简证明左右两边相等即可。
【解析】
(1) 根据前4个等式的规律，第n个等式的结构可初步表示为$\frac{(n+1)^2}{(n+2)^2}+\frac{1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}$，令n=5代入得：
$\frac{(5+1)^2}{(5+2)^2}+\frac{1}{5+2}=\frac{5+1}{5+2}+\frac{1}{(5+2)^2}$，即$\frac{36}{49}+\frac{1}{7}=\frac{6}{7}+\frac{1}{49}$。
(2) 猜想第n个等式为：$\frac{(n+1)^2}{(n+2)^2}+\frac{1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}$。
证明：将等式两边移项，分别化简等号两侧：
左边：$\frac{(n+1)^2}{(n+2)^2}-\frac{1}{(n+2)^2}=\frac{(n+1)^2-1}{(n+2)^2}=\frac{n^2+2n+1-1}{(n+2)^2}=\frac{n(n+2)}{(n+2)^2}=\frac{n}{n+2}$
右边：$\frac{n+1}{n+2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n+1-1}{n+2}=\frac{n}{n+2}$
左边=右边，因此猜想的等式成立。
【答案】
(1) $\frac{36}{49}+\frac{1}{7}=\frac{6}{7}+\frac{1}{49}$
(2) $\frac{(n+1)^2}{(n+2)^2}+\frac{1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}$，证明如上。
【知识点】
分式规律探究、分式的运算、完全平方公式
【点评】
本题考查从特殊到一般的归纳能力，需要先观察等式各部分和序号的对应关系得到一般规律，再通过分式运算验证规律，兼顾对观察能力和代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.65
