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【典例1】(教材P154例4变式)从火车上下来的两个旅客，他们沿着同一方向到同一地点去，第一个旅客一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走；第二个旅客一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，哪个旅客先到达目的地？（速度单位都相同）
答案
解:设路程为s,第一个旅客所用时间$t_甲$,第二个为$t_乙$,
$t_甲=\frac{0.5s}{a}+\frac{0.5s}{b}=\frac{s(a+b)}{2ab}$,
$t_乙=\frac{2s}{a+b},t_甲-t_乙=\frac{s(a-b)^2}{2ab(a+b)}$,
故当$a=b$时,$t_甲=t_乙$,即同时到达;
当$a≠b$时,$t_甲＞t_乙$,即第二个旅客先到.
$t_甲=\frac{0.5s}{a}+\frac{0.5s}{b}=\frac{s(a+b)}{2ab}$,
$t_乙=\frac{2s}{a+b},t_甲-t_乙=\frac{s(a-b)^2}{2ab(a+b)}$,
故当$a=b$时,$t_甲=t_乙$,即同时到达;
当$a≠b$时,$t_甲＞t_乙$,即第二个旅客先到.
解析
【分析】
要判断哪个旅客先到达目的地，本质是比较两位旅客走完全程的用时长短，用时短的先到达。解题思路如下：1. 先设定总路程s，分别表示出两位旅客走完全程的时间$t_甲$、$t_乙$；2. 利用行程问题“时间=路程÷速度”的关系，结合题目给出的行走规则，分别用含s、a、b的分式表示两个时间；3. 用作差法比较两个时间的大小，根据差的正负判断用时长短，注意分a=b和a≠b两种情况讨论。
【解析】
设总路程为s，第一个旅客所用时间为$t_甲$，第二个旅客所用时间为$t_乙$。
1. 计算第一个旅客的用时：
第一个旅客一半路程以速度a行走，一半路程以速度b行走，因此：
$t_甲=\frac{\frac{1}{2}s}{a}+\frac{\frac{1}{2}s}{b}=\frac{s}{2a}+\frac{s}{2b}=\frac{sb+sa}{2ab}=\frac{s(a+b)}{2ab}$
2. 计算第二个旅客的用时：
第二个旅客一半时间以速度a行走，一半时间以速度b行走，根据总路程=两段路程之和可得：
$s=a· \frac{t_乙}{2} + b· \frac{t_乙}{2}$
整理得：$s=\frac{t_乙(a+b)}{2}$，解得$t_乙=\frac{2s}{a+b}$
3. 比较两个时间的大小，用作差法：
$t_甲-t_乙=\frac{s(a+b)}{2ab}-\frac{2s}{a+b}=\frac{s(a+b)^2 - 4sab}{2ab(a+b)}=\frac{s(a^2+2ab+b^2-4ab)}{2ab(a+b)}=\frac{s(a-b)^2}{2ab(a+b)}$
由题意可知s＞0，a＞0，b＞0，因此分母$2ab(a+b)＞0$，分子$s(a-b)^2≥0$：
当$a=b$时，$t_甲-t_乙=0$，即$t_甲=t_乙$；
当$a≠b$时，$t_甲-t_乙＞0$，即$t_甲＞t_乙$。
【答案】
当$a=b$时，两个旅客同时到达目的地；当$a≠b$时，第二个旅客先到达目的地。
【知识点】
行程问题公式；分式加减运算；作差法比较大小
【点评】
本题将行程问题与分式大小比较相结合，解题的关键是正确根据两人的行走规则表示出各自的总用时，作差后利用平方的非负性判断差的正负，要注意不要遗漏a=b的特殊情况，解题时可利用路程、速度均为正数的隐含条件判断分式的符号。
【难度系数】
0.6
要判断哪个旅客先到达目的地，本质是比较两位旅客走完全程的用时长短，用时短的先到达。解题思路如下：1. 先设定总路程s，分别表示出两位旅客走完全程的时间$t_甲$、$t_乙$；2. 利用行程问题“时间=路程÷速度”的关系，结合题目给出的行走规则，分别用含s、a、b的分式表示两个时间；3. 用作差法比较两个时间的大小，根据差的正负判断用时长短，注意分a=b和a≠b两种情况讨论。
【解析】
设总路程为s，第一个旅客所用时间为$t_甲$，第二个旅客所用时间为$t_乙$。
1. 计算第一个旅客的用时：
第一个旅客一半路程以速度a行走，一半路程以速度b行走，因此：
$t_甲=\frac{\frac{1}{2}s}{a}+\frac{\frac{1}{2}s}{b}=\frac{s}{2a}+\frac{s}{2b}=\frac{sb+sa}{2ab}=\frac{s(a+b)}{2ab}$
2. 计算第二个旅客的用时：
第二个旅客一半时间以速度a行走，一半时间以速度b行走，根据总路程=两段路程之和可得：
$s=a· \frac{t_乙}{2} + b· \frac{t_乙}{2}$
整理得：$s=\frac{t_乙(a+b)}{2}$，解得$t_乙=\frac{2s}{a+b}$
3. 比较两个时间的大小，用作差法：
$t_甲-t_乙=\frac{s(a+b)}{2ab}-\frac{2s}{a+b}=\frac{s(a+b)^2 - 4sab}{2ab(a+b)}=\frac{s(a^2+2ab+b^2-4ab)}{2ab(a+b)}=\frac{s(a-b)^2}{2ab(a+b)}$
由题意可知s＞0，a＞0，b＞0，因此分母$2ab(a+b)＞0$，分子$s(a-b)^2≥0$：
当$a=b$时，$t_甲-t_乙=0$，即$t_甲=t_乙$；
当$a≠b$时，$t_甲-t_乙＞0$，即$t_甲＞t_乙$。
【答案】
当$a=b$时，两个旅客同时到达目的地；当$a≠b$时，第二个旅客先到达目的地。
【知识点】
行程问题公式；分式加减运算；作差法比较大小
【点评】
本题将行程问题与分式大小比较相结合，解题的关键是正确根据两人的行走规则表示出各自的总用时，作差后利用平方的非负性判断差的正负，要注意不要遗漏a=b的特殊情况，解题时可利用路程、速度均为正数的隐含条件判断分式的符号。
【难度系数】
0.6
【典例2】小美和小聪家住水果湖，周末相约到东湖绿道游玩，小美乘坐地铁，小聪乘坐公交车，同时出发到梨园公交车站汇合.游玩途径东湖绿道有一家酥饼店，酥饼标价$a$元/斤，小美买了两斤，小聪买了20元钱的酥饼；两人游玩结束返回时，发现酥饼标价变成了$b$元/斤($a≠b$)，小美又买了两斤，小聪又买了20元钱的酥饼.
(1)用$a$，$b$表示小美购买酥饼的平均价格$P_{小美}=$，小聪购买酥饼的平均价格$P_{小聪}=$；
(2)小美和小聪谁的平均价格低？说明理由.
(1)用$a$，$b$表示小美购买酥饼的平均价格$P_{小美}=$，小聪购买酥饼的平均价格$P_{小聪}=$；
(2)小美和小聪谁的平均价格低？说明理由.
答案
解:(1)根据题意得:小美购买酥饼的平均价格$P_{小美}=$$\frac{2a+2b}{2+2}=\frac{a+b}{2}$(元/斤);
小聪购买酥饼的平均价格
$P_{小聪}=\frac{20+20}{\frac{20}{a}+\frac{20}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$(元/斤).
故答案为:$\frac{a+b}{2}$元/斤,$\frac{2ab}{a+b}$元/斤;
(2)小聪购买酥饼的平均价格低,理由如下:
$P_{小美}-P_{小聪}=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2}{2(a+b)}-\frac{4ab}{2(a+b)}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$,
$\because a≠b$,且$a,b＞0$,$\therefore a+b＞0$,$(a-b)^2＞0$,
$\therefore \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$,即$P_{小美}-P_{小聪}＞0$,
$\therefore$小聪购买酥饼的平均价格低.
小聪购买酥饼的平均价格
$P_{小聪}=\frac{20+20}{\frac{20}{a}+\frac{20}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$(元/斤).
故答案为:$\frac{a+b}{2}$元/斤,$\frac{2ab}{a+b}$元/斤;
(2)小聪购买酥饼的平均价格低,理由如下:
$P_{小美}-P_{小聪}=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2}{2(a+b)}-\frac{4ab}{2(a+b)}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$,
$\because a≠b$,且$a,b＞0$,$\therefore a+b＞0$,$(a-b)^2＞0$,
$\therefore \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$,即$P_{小美}-P_{小聪}＞0$,
$\therefore$小聪购买酥饼的平均价格低.
解析
【分析】
(1) 平均价格的计算核心为“平均价格=总花费÷总购买重量”。计算小美平均价格时，先求出两次购买的总花费和总重量，代入公式化简即可；计算小聪平均价格时，先求出两次购买的总重量，再结合两次总花费代入公式，化简得到结果。
(2) 比较两个价格的大小采用作差法：计算$P_{小美}-P_{小聪}$，通过通分、因式分解化简差的表达式，结合$a＞0、b＞0、a≠b$的条件判断差的正负，即可得出谁的平均价格更低。
【解析】
(1) 小美两次买酥饼的总花费为$(2a+2b)$元，总重量为$2+2=4$斤，
因此平均价格$P_{小美}=\frac{2a+2b}{2+2}=\frac{a+b}{2}$（元/斤）；
小聪两次买酥饼的总花费为$20+20=40$元，总购买重量为$(\frac{20}{a}+\frac{20}{b})$斤，
因此平均价格$P_{小聪}=\frac{20+20}{\frac{20}{a}+\frac{20}{b}}=\frac{40}{\frac{20(a+b)}{ab}}=\frac{2ab}{a+b}$（元/斤）。
(2) 小聪的平均价格更低，理由如下：
作差得$P_{小美}-P_{小聪}=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}$，
通分化简：原式$=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$，
∵酥饼价格为正数，即$a＞0,b＞0$，且$a≠b$，
∴$a+b＞0$，$(a-b)^2＞0$，
∴$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，即$P_{小美}-P_{小聪}＞0$，
∴$P_{小美}＞P_{小聪}$，小聪的平均价格更低。
【答案】
(1) $\frac{a+b}{2}$元/斤，$\frac{2ab}{a+b}$元/斤；
(2) 小聪的平均价格低，理由见解析。
【知识点】
分式化简，作差法比较大小，平均数计算
【点评】
本题结合生活场景考查分式的实际应用，解题关键是明确平均价格的计算逻辑，熟练掌握分式通分、因式分解等运算技能，作差法是比较代数式大小的常用方法，需灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1) 平均价格的计算核心为“平均价格=总花费÷总购买重量”。计算小美平均价格时，先求出两次购买的总花费和总重量，代入公式化简即可；计算小聪平均价格时，先求出两次购买的总重量，再结合两次总花费代入公式，化简得到结果。
(2) 比较两个价格的大小采用作差法：计算$P_{小美}-P_{小聪}$，通过通分、因式分解化简差的表达式，结合$a＞0、b＞0、a≠b$的条件判断差的正负，即可得出谁的平均价格更低。
【解析】
(1) 小美两次买酥饼的总花费为$(2a+2b)$元，总重量为$2+2=4$斤，
因此平均价格$P_{小美}=\frac{2a+2b}{2+2}=\frac{a+b}{2}$（元/斤）；
小聪两次买酥饼的总花费为$20+20=40$元，总购买重量为$(\frac{20}{a}+\frac{20}{b})$斤，
因此平均价格$P_{小聪}=\frac{20+20}{\frac{20}{a}+\frac{20}{b}}=\frac{40}{\frac{20(a+b)}{ab}}=\frac{2ab}{a+b}$（元/斤）。
(2) 小聪的平均价格更低，理由如下：
作差得$P_{小美}-P_{小聪}=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}$，
通分化简：原式$=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$，
∵酥饼价格为正数，即$a＞0,b＞0$，且$a≠b$，
∴$a+b＞0$，$(a-b)^2＞0$，
∴$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，即$P_{小美}-P_{小聪}＞0$，
∴$P_{小美}＞P_{小聪}$，小聪的平均价格更低。
【答案】
(1) $\frac{a+b}{2}$元/斤，$\frac{2ab}{a+b}$元/斤；
(2) 小聪的平均价格低，理由见解析。
【知识点】
分式化简，作差法比较大小，平均数计算
【点评】
本题结合生活场景考查分式的实际应用，解题关键是明确平均价格的计算逻辑，熟练掌握分式通分、因式分解等运算技能，作差法是比较代数式大小的常用方法，需灵活运用。
【难度系数】
0.7
【典例3】(2026·武汉)为提高使用效率,公司需要全部购买双枪充电桩,现有甲、乙、丙三个厂家,2025年这三家双枪充电桩销售价格相同,2026年以来,为抢占市场,他们均对双枪充电桩进行两次降价销售,具体活动如下:
甲:第一次降价 $ p\% $,第二次降价 $ q\% $; 乙:第一次降价 $ q\% $,第二次降价 $ p\% $;
丙:连续两次降价均为$ \frac{p+q}{2}\% $.
其中 $ p,q $ 是不相等的正数,现公司选择到哪个厂家购买双枪充电桩更划算?请说明理由.
甲:第一次降价 $ p\% $,第二次降价 $ q\% $; 乙:第一次降价 $ q\% $,第二次降价 $ p\% $;
丙:连续两次降价均为$ \frac{p+q}{2}\% $.
其中 $ p,q $ 是不相等的正数,现公司选择到哪个厂家购买双枪充电桩更划算?请说明理由.
答案
解:设三个厂家双枪充电桩为1,
令$p\%=a$,$q\%=b$,
甲厂家:$(1-a)(1-b)=1-(a+b)+ab$,
乙厂家:$(1-b)(1-a)=1-(a+b)+ab$,
丙厂家:$(1-\frac{a+b}{2})(1-\frac{a+b}{2})=1-(a+b)+(\frac{a+b}{2})^2$,
$\because a＞0,b＞0$,且$a≠b$,
$(\frac{a+b}{2})^2-ab$
$=\frac{1}{4}(a^2+b^2)-\frac{1}{2}ab$
$=\frac{1}{4}(a^2+b^2-2ab)$
$=\frac{1}{4}(a-b)^2＞0$,
$\therefore$甲、乙厂家降价相同,两厂家降价最多.
答:选择甲、乙购买更划算.
令$p\%=a$,$q\%=b$,
甲厂家:$(1-a)(1-b)=1-(a+b)+ab$,
乙厂家:$(1-b)(1-a)=1-(a+b)+ab$,
丙厂家:$(1-\frac{a+b}{2})(1-\frac{a+b}{2})=1-(a+b)+(\frac{a+b}{2})^2$,
$\because a＞0,b＞0$,且$a≠b$,
$(\frac{a+b}{2})^2-ab$
$=\frac{1}{4}(a^2+b^2)-\frac{1}{2}ab$
$=\frac{1}{4}(a^2+b^2-2ab)$
$=\frac{1}{4}(a-b)^2＞0$,
$\therefore$甲、乙厂家降价相同,两厂家降价最多.
答:选择甲、乙购买更划算.
解析
【分析】
要判断到哪个厂家购买更划算，本质是比较三家厂家两次降价后的最终售价，售价最低的最划算。解题思路如下：第一步，因三家原价相同，设原价为单位1简化计算，同时将$p\%$、$q\%$替换为字母$a$、$b$简化运算；第二步，根据各厂家的降价规则，分别列出三家降价后售价的代数式；第三步，用学过的作差法比较代数式大小，结合完全平方公式判断差值的正负，即可得到售价的高低关系。
【解析】
解：设2025年三家双枪充电桩的原价均为1，令$p\%=a$，$q\%=b$。
甲厂家两次降价后的售价：$(1-a)(1-b)=1-(a+b)+ab$
乙厂家两次降价后的售价：$(1-b)(1-a)=1-(a+b)+ab$，即甲、乙最终售价相等。
丙厂家两次降价后的售价：$(1-\frac{a+b}{2})(1-\frac{a+b}{2})=1-(a+b)+(\frac{a+b}{2})^2$
用作差法比较丙与甲的售价：
$\begin{aligned}(\frac{a+b}{2})^2 - ab&=\frac{1}{4}(a^2+2ab+b^2)-ab\\&=\frac{1}{4}(a^2+2ab+b^2-4ab)\\&=\frac{1}{4}(a^2-2ab+b^2)\\&=\frac{1}{4}(a-b)^2\end{aligned}$
已知$p、q$是不相等的正数，因此$a＞0,b＞0,a≠b$，可得$(a-b)^2＞0$，即$\frac{1}{4}(a-b)^2＞0$，因此$(\frac{a+b}{2})^2＞ab$。
由此可得丙的售价$1-(a+b)+(\frac{a+b}{2})^2$ ＞ 甲、乙的售价$1-(a+b)+ab$，甲、乙厂家售价更低。
【答案】
选择甲、乙厂家购买双枪充电桩更划算。
【知识点】
列代数式，作差法比较大小，完全平方公式
【点评】
本题结合生活中常见的降价促销场景，考查代数式的运算与大小比较能力，解题核心是准确表示各厂家降价后的售价，灵活运用完全平方公式判断差值的正负，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断到哪个厂家购买更划算，本质是比较三家厂家两次降价后的最终售价，售价最低的最划算。解题思路如下：第一步，因三家原价相同，设原价为单位1简化计算，同时将$p\%$、$q\%$替换为字母$a$、$b$简化运算；第二步，根据各厂家的降价规则，分别列出三家降价后售价的代数式；第三步，用学过的作差法比较代数式大小，结合完全平方公式判断差值的正负，即可得到售价的高低关系。
【解析】
解：设2025年三家双枪充电桩的原价均为1，令$p\%=a$，$q\%=b$。
甲厂家两次降价后的售价：$(1-a)(1-b)=1-(a+b)+ab$
乙厂家两次降价后的售价：$(1-b)(1-a)=1-(a+b)+ab$，即甲、乙最终售价相等。
丙厂家两次降价后的售价：$(1-\frac{a+b}{2})(1-\frac{a+b}{2})=1-(a+b)+(\frac{a+b}{2})^2$
用作差法比较丙与甲的售价：
$\begin{aligned}(\frac{a+b}{2})^2 - ab&=\frac{1}{4}(a^2+2ab+b^2)-ab\\&=\frac{1}{4}(a^2+2ab+b^2-4ab)\\&=\frac{1}{4}(a^2-2ab+b^2)\\&=\frac{1}{4}(a-b)^2\end{aligned}$
已知$p、q$是不相等的正数，因此$a＞0,b＞0,a≠b$，可得$(a-b)^2＞0$，即$\frac{1}{4}(a-b)^2＞0$，因此$(\frac{a+b}{2})^2＞ab$。
由此可得丙的售价$1-(a+b)+(\frac{a+b}{2})^2$ ＞ 甲、乙的售价$1-(a+b)+ab$，甲、乙厂家售价更低。
【答案】
选择甲、乙厂家购买双枪充电桩更划算。
【知识点】
列代数式，作差法比较大小，完全平方公式
【点评】
本题结合生活中常见的降价促销场景，考查代数式的运算与大小比较能力，解题核心是准确表示各厂家降价后的售价，灵活运用完全平方公式判断差值的正负，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
