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【典例1】求证：$∠ BDC=∠ B+∠ C+∠ A$. 
答案
方法1:延长BD交AC于E
二次运用外角定理
方法2:连接BC
二次运用内角和
方法3:连接AD并延长至E
二次运用外角定理
解析
【分析】
要证明∠BDC等于∠A、∠B、∠C的和，直接观察图形无法直接得到角的数量关系，因此需要添加辅助线将待证角与已知角转化到三角形中，利用已学的三角形角度性质推导：
1. 思路1：构造外角，延长BD交AC于一点，可将∠BDC转化为三角形的外角，两次运用外角定理即可完成推导；
2. 思路2：连接BC，将图形拆分为两个三角形，分别运用三角形内角和定理，消去公共的两个角即可得到结论；
3. 思路3：连接AD并延长，将∠BDC拆分为两个外角的和，分别运用外角定理后合并角即可证明。
【解析】
方法1：延长BD交AC于E
∵ ∠BDC是△CDE的外角，根据三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ ∠BDC = ∠C + ∠DEC，
又
∵ ∠DEC是△ABE的外角，同理可得∠DEC = ∠A + ∠B，
等量代换可得：∠BDC = ∠A + ∠B + ∠C。
方法2：连接BC
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，即∠A + ∠B + ∠C + ∠DBC + ∠DCB = 180°，
在△DBC中，同理可得∠BDC + ∠DBC + ∠DCB = 180°，
因此∠BDC = 180° - (∠DBC + ∠DCB) = ∠A + ∠B + ∠C。
方法3：连接AD并延长至E
∵ ∠BDE是△ABD的外角，根据外角性质得∠BDE = ∠B + ∠BAD，
∵ ∠CDE是△ACD的外角，同理得∠CDE = ∠C + ∠CAD，
又
∵ ∠BDC = ∠BDE + ∠CDE，
∴ ∠BDC = ∠B + ∠BAD + ∠C + ∠CAD = ∠B + ∠C + (∠BAD + ∠CAD) = ∠A + ∠B + ∠C。
【答案】
方法1:延长BD交AC于E
二次运用外角定理
方法2:连接BC
二次运用内角和
方法3:连接AD并延长至E
二次运用外角定理
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题是燕尾角模型的经典证明题，核心是通过构造辅助线将不规则图形的角度关系，转化为已学的三角形角度性质求解，掌握这几种辅助线的构造方法，可快速解决同类型的角度计算、证明问题。
【难度系数】
0.7
要证明∠BDC等于∠A、∠B、∠C的和，直接观察图形无法直接得到角的数量关系，因此需要添加辅助线将待证角与已知角转化到三角形中，利用已学的三角形角度性质推导：
1. 思路1：构造外角，延长BD交AC于一点，可将∠BDC转化为三角形的外角，两次运用外角定理即可完成推导；
2. 思路2：连接BC，将图形拆分为两个三角形，分别运用三角形内角和定理，消去公共的两个角即可得到结论；
3. 思路3：连接AD并延长，将∠BDC拆分为两个外角的和，分别运用外角定理后合并角即可证明。
【解析】
方法1：延长BD交AC于E
∵ ∠BDC是△CDE的外角，根据三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ ∠BDC = ∠C + ∠DEC，
又
∵ ∠DEC是△ABE的外角，同理可得∠DEC = ∠A + ∠B，
等量代换可得：∠BDC = ∠A + ∠B + ∠C。
方法2：连接BC
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，即∠A + ∠B + ∠C + ∠DBC + ∠DCB = 180°，
在△DBC中，同理可得∠BDC + ∠DBC + ∠DCB = 180°，
因此∠BDC = 180° - (∠DBC + ∠DCB) = ∠A + ∠B + ∠C。
方法3：连接AD并延长至E
∵ ∠BDE是△ABD的外角，根据外角性质得∠BDE = ∠B + ∠BAD，
∵ ∠CDE是△ACD的外角，同理得∠CDE = ∠C + ∠CAD，
又
∵ ∠BDC = ∠BDE + ∠CDE，
∴ ∠BDC = ∠B + ∠BAD + ∠C + ∠CAD = ∠B + ∠C + (∠BAD + ∠CAD) = ∠A + ∠B + ∠C。
【答案】
方法1:延长BD交AC于E
二次运用外角定理
方法2:连接BC
二次运用内角和
方法3:连接AD并延长至E
二次运用外角定理
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题是燕尾角模型的经典证明题，核心是通过构造辅助线将不规则图形的角度关系，转化为已学的三角形角度性质求解，掌握这几种辅助线的构造方法，可快速解决同类型的角度计算、证明问题。
【难度系数】
0.7
变式1.如图1，$∠ A=52°$，$∠ B=25°$，$∠ C=30°$，$∠ D=35°$，$∠ E=72°$，那么$∠ F$的度数是
70°
。答案
70°
解析
【分析】
本题考查燕尾模型的实际运用，解题思路如下：首先回忆燕尾模型的角度转化规律，燕尾模型的核心是可以将分散的角度建立和差联系，本题可直接运用燕尾模型推导的角度关系，将未知角∠F和已知的5个角建立等量关系，再代入数值计算即可求出∠F的度数，不需要复杂的辅助线构造。
【解析】
解：根据燕尾模型的角度和差规律可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = ∠ E + ∠ F$
移项得：
$∠ F = ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D - ∠ E$
代入已知角度数值计算：
$∠ F = 52° + 25° + 30° + 35° - 72° = 142° - 72° = 70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
燕尾模型、角度和差计算
【点评】
本题是角度转化的典型习题，重点考查对几何模型的掌握和运用能力，熟练掌握燕尾模型的角度关系可以快速建立未知角和已知角的联系，大幅简化解题步骤，是三角形角度计算类题目的常用技巧。
【难度系数】
0.6
本题考查燕尾模型的实际运用，解题思路如下：首先回忆燕尾模型的角度转化规律，燕尾模型的核心是可以将分散的角度建立和差联系，本题可直接运用燕尾模型推导的角度关系，将未知角∠F和已知的5个角建立等量关系，再代入数值计算即可求出∠F的度数，不需要复杂的辅助线构造。
【解析】
解：根据燕尾模型的角度和差规律可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = ∠ E + ∠ F$
移项得：
$∠ F = ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D - ∠ E$
代入已知角度数值计算：
$∠ F = 52° + 25° + 30° + 35° - 72° = 142° - 72° = 70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
燕尾模型、角度和差计算
【点评】
本题是角度转化的典型习题，重点考查对几何模型的掌握和运用能力，熟练掌握燕尾模型的角度关系可以快速建立未知角和已知角的联系，大幅简化解题步骤，是三角形角度计算类题目的常用技巧。
【难度系数】
0.6
变式2.如图，若$∠ AED=100°$，$∠ BFC=110°$，则$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=$
210°
。答案
210°
解析
【分析】
本题可结合邻补角性质、四边形内角和定理求解。首先思考如何将已知的两个角与所求的四个角建立关联：先求出已知角的邻补角，再观察可知所求的四个角的和与这两个邻补角恰好构成一个四边形的内角和，最后利用四边形内角和为360°即可算出结果。
【解析】
1. 计算已知角的邻补角：
根据邻补角的和为$180°$，可得：
与$∠ AED$相邻的内角为$180° - 100° = 80°$
与$∠ BFC$相邻的内角为$180° - 110° = 70°$
2. 结合四边形内角和计算所求角度和：
观察图形可知，$∠ A+∠ B$、$∠ C+∠ D$与上述两个邻补角是同一个四边形的四个内角，由于四边形内角和为$360°$，因此：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + 80° + 70° = 360°$
移项计算得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360° - 80° - 70° = 210°$
【答案】
$210°$
【知识点】
邻补角性质；四边形内角和；角度转化
【点评】
本题是角度转化的基础题型，解题核心是找到已知角与未知角的关联，熟练掌握邻补角、多边形内角和的相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
本题可结合邻补角性质、四边形内角和定理求解。首先思考如何将已知的两个角与所求的四个角建立关联：先求出已知角的邻补角，再观察可知所求的四个角的和与这两个邻补角恰好构成一个四边形的内角和，最后利用四边形内角和为360°即可算出结果。
【解析】
1. 计算已知角的邻补角：
根据邻补角的和为$180°$，可得：
与$∠ AED$相邻的内角为$180° - 100° = 80°$
与$∠ BFC$相邻的内角为$180° - 110° = 70°$
2. 结合四边形内角和计算所求角度和：
观察图形可知，$∠ A+∠ B$、$∠ C+∠ D$与上述两个邻补角是同一个四边形的四个内角，由于四边形内角和为$360°$，因此：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + 80° + 70° = 360°$
移项计算得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360° - 80° - 70° = 210°$
【答案】
$210°$
【知识点】
邻补角性质；四边形内角和；角度转化
【点评】
本题是角度转化的基础题型，解题核心是找到已知角与未知角的关联，熟练掌握邻补角、多边形内角和的相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
变式3.如图3是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB=50°，∠CBA=60°，∠CDF=20°，∠CEF=30°，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=135°，且∠CAB，∠CBA，∠E保持不变，则∠D应调整为(
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
C
)A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
答案
C
提示:$∠ DFE=∠ D+∠ E+∠ DCE,135°=∠ D+30°+70°,$
$∠ D=35°.$
提示:$∠ DFE=∠ D+∠ E+∠ DCE,135°=∠ D+30°+70°,$
$∠ D=35°.$
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，再根据对顶角相等得到∠DCE的度数；然后结合凹四边形（飞镖模型）的角度结论，明确∠EFD与∠D、∠CEF、∠DCE的数量关系，最后将已知角度代入关系式即可计算出调整后∠D的度数。
【解析】
第一步：计算∠DCE的度数
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠ACB = 180° - ∠CAB - ∠CBA = 180° - 50° - 60° = 70°
∵∠DCE与∠ACB是对顶角，
∴∠DCE = ∠ACB = 70°
第二步：利用飞镖模型的角度关系计算∠D
在凹四边形DCEF中，存在角度关系：∠EFD = ∠D + ∠CEF + ∠DCE
已知需调整至∠EFD=135°，且∠CEF=30°保持不变，代入得：
135° = ∠D + 30° + 70°
解得：∠D = 135° - 30° - 70° = 35°
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角相等；飞镖模型角度计算
【点评】
本题是三角形角度计算的常见题型，解题的核心是熟练掌握三角形相关的角度性质和常用模型结论，快速建立已知角和未知角的关联，简化计算过程。
【难度系数】
0.65
解题时首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，再根据对顶角相等得到∠DCE的度数；然后结合凹四边形（飞镖模型）的角度结论，明确∠EFD与∠D、∠CEF、∠DCE的数量关系，最后将已知角度代入关系式即可计算出调整后∠D的度数。
【解析】
第一步：计算∠DCE的度数
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠ACB = 180° - ∠CAB - ∠CBA = 180° - 50° - 60° = 70°
∵∠DCE与∠ACB是对顶角，
∴∠DCE = ∠ACB = 70°
第二步：利用飞镖模型的角度关系计算∠D
在凹四边形DCEF中，存在角度关系：∠EFD = ∠D + ∠CEF + ∠DCE
已知需调整至∠EFD=135°，且∠CEF=30°保持不变，代入得：
135° = ∠D + 30° + 70°
解得：∠D = 135° - 30° - 70° = 35°
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角相等；飞镖模型角度计算
【点评】
本题是三角形角度计算的常见题型，解题的核心是熟练掌握三角形相关的角度性质和常用模型结论，快速建立已知角和未知角的关联，简化计算过程。
【难度系数】
0.65
【典例2】如图，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，∠A＝80°，∠D＝160°.求∠P的度数. 
答案
解:延长BP交AC于E点，
设$∠ ABP=x,∠ ACP=y,$
则$∠ P=x+y+80°,$
$∠ D=x+y+∠ P=160°,$
$\therefore 2x+2y+80°=160°,\therefore x+y=40°,$
$\therefore ∠ P=40°+80°=120°.$
解析
【分析】
本题是燕尾型角度计算问题，可按以下思路求解：首先根据BP、CP是角平分线的条件，设被平分的小角为未知数，利用角平分线性质得到等角；再借助三角形外角的性质，分别建立∠P与∠A、∠D与∠P的角度关系式；最后联立两个式子，整体求出未知数的和，代入计算即可得到∠P的度数，避免单独求解每个未知数的繁琐。
【解析】
解：延长BP交AC于点E，
设$∠ ABP=x$，$∠ ACP=y$，
∵BP平分$∠ ABD$，CP平分$∠ ACD$，
∴$∠ PBD=∠ ABP=x$，$∠ PCD=∠ ACP=y$。
由三角形外角的性质可得：
$∠ BEC$是$△ ABE$的外角，$∠ BEC=∠ A+∠ ABP=80°+x$，
$∠ P$是$△ PEC$的外角，$∠ P=∠ BEC+∠ ACP=80°+x+y$ ①；
同理可得$∠ D=∠ P + x + y$，已知$∠ D=160°$ ②，
将①代入②得：$80°+x+y+x+y=160°$，
整理得$2(x+y)=80°$，解得$x+y=40°$，
将$x+y=40°$代入①得：$∠ P=80°+40°=120°$。
【答案】
$∠ P=120°$
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质；整体代入计算
【点评】
本题是典型的几何角度计算题型，通过设未知数结合角平分线性质梳理等角关系，利用三角形外角性质搭建已知角和未知角的联系，用整体代换的方法简化计算，能有效锻炼对几何图形角度关系的分析和转化能力。
【难度系数】
0.6
本题是燕尾型角度计算问题，可按以下思路求解：首先根据BP、CP是角平分线的条件，设被平分的小角为未知数，利用角平分线性质得到等角；再借助三角形外角的性质，分别建立∠P与∠A、∠D与∠P的角度关系式；最后联立两个式子，整体求出未知数的和，代入计算即可得到∠P的度数，避免单独求解每个未知数的繁琐。
【解析】
解：延长BP交AC于点E，
设$∠ ABP=x$，$∠ ACP=y$，
∵BP平分$∠ ABD$，CP平分$∠ ACD$，
∴$∠ PBD=∠ ABP=x$，$∠ PCD=∠ ACP=y$。
由三角形外角的性质可得：
$∠ BEC$是$△ ABE$的外角，$∠ BEC=∠ A+∠ ABP=80°+x$，
$∠ P$是$△ PEC$的外角，$∠ P=∠ BEC+∠ ACP=80°+x+y$ ①；
同理可得$∠ D=∠ P + x + y$，已知$∠ D=160°$ ②，
将①代入②得：$80°+x+y+x+y=160°$，
整理得$2(x+y)=80°$，解得$x+y=40°$，
将$x+y=40°$代入①得：$∠ P=80°+40°=120°$。
【答案】
$∠ P=120°$
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质；整体代入计算
【点评】
本题是典型的几何角度计算题型，通过设未知数结合角平分线性质梳理等角关系，利用三角形外角性质搭建已知角和未知角的联系，用整体代换的方法简化计算，能有效锻炼对几何图形角度关系的分析和转化能力。
【难度系数】
0.6
变式.如图，$∠ ABP=2∠ DBP$，$∠ ACP=2∠ PCD$.
(1)$∠ P=120°$，$∠ D=160°$，求$∠ A$的度数；
(2)直接写出$∠ A$，$∠ P$，$∠ D$间的数量关系
(1)$∠ P=120°$，$∠ D=160°$，求$∠ A$的度数；
(2)直接写出$∠ A$，$∠ P$，$∠ D$间的数量关系
2∠D=3∠P−∠A
.答案
解:(1)设$∠ PBD=α,∠ PCD=β,$
$\therefore α+β=40°,\therefore 2α+2β=80°,$
$120°=80°+∠ A,\therefore ∠ A=40°.$
(2)设$∠ PBD=x,∠ PCD=y,$
$\therefore \begin{cases}∠ D=∠ P+x+y,\\∠ D=∠ A+3x+3y,\end{cases}$
$\therefore 2∠ D=3∠ P-∠ A.$
$\therefore α+β=40°,\therefore 2α+2β=80°,$
$120°=80°+∠ A,\therefore ∠ A=40°.$
(2)设$∠ PBD=x,∠ PCD=y,$
$\therefore \begin{cases}∠ D=∠ P+x+y,\\∠ D=∠ A+3x+3y,\end{cases}$
$\therefore 2∠ D=3∠ P-∠ A.$
解析
【分析】
本题属于燕尾模型的角度计算问题，解题思路如下：1. 利用题目给出的角的倍数关系，设最小的角为参数，将相关角用参数表示；2. 运用燕尾模型的角度结论：燕尾形的顶角等于其余三个分散角的和，分别建立∠D与∠P、参数的关系，∠P与∠A、参数的关系；3. 第一问先求出参数之和，再代入计算∠A；第二问消去参数即可得到∠A、∠P、∠D的数量关系。
【解析】
(1) 设$∠ PBD=α$，$∠ PCD=β$，
由$∠ ABP=2∠ DBP$，$∠ ACP=2∠ PCD$可得：$∠ ABP=2α$，$∠ ACP=2β$。
根据燕尾模型角度结论，$∠ D = ∠ P + ∠ PBD + ∠ PCD$，
将$∠ P=120°$，$∠ D=160°$代入得：$160°=120°+α+β$，
解得$α+β=40°$，则$2α+2β=80°$。
再根据燕尾模型角度结论，$∠ P = ∠ A + ∠ ABP + ∠ ACP$，
代入得：$120°=∠ A + 80°$，
解得$∠ A=40°$。
(2) 设$∠ PBD=x$，$∠ PCD=y$，则$∠ ABP=2x$，$∠ ACP=2y$，
根据燕尾模型结论：
$\begin{cases}∠ D = ∠ P + x + y \quad①\\∠ P = ∠ A + 2x + 2y \quad②\end{cases}$
由①得$x+y=∠ D - ∠ P$，代入②得：
$∠ P = ∠ A + 2(∠ D - ∠ P)$，
整理得：$3∠ P - ∠ A = 2∠ D$，即$2∠ D=3∠ P-∠ A$。
【答案】
(1) $\boxed{40°}$；(2) $\boxed{2∠ D=3∠ P-∠ A}$
【知识点】
燕尾模型角度计算，角的和差关系，参数法解角度问题
【点评】
本题核心是运用燕尾模型实现角度的转化，通过设参数的方法将零散的角建立联系，消去参数即可得到所求角度或角度关系，熟练掌握常见几何模型的结论能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题属于燕尾模型的角度计算问题，解题思路如下：1. 利用题目给出的角的倍数关系，设最小的角为参数，将相关角用参数表示；2. 运用燕尾模型的角度结论：燕尾形的顶角等于其余三个分散角的和，分别建立∠D与∠P、参数的关系，∠P与∠A、参数的关系；3. 第一问先求出参数之和，再代入计算∠A；第二问消去参数即可得到∠A、∠P、∠D的数量关系。
【解析】
(1) 设$∠ PBD=α$，$∠ PCD=β$，
由$∠ ABP=2∠ DBP$，$∠ ACP=2∠ PCD$可得：$∠ ABP=2α$，$∠ ACP=2β$。
根据燕尾模型角度结论，$∠ D = ∠ P + ∠ PBD + ∠ PCD$，
将$∠ P=120°$，$∠ D=160°$代入得：$160°=120°+α+β$，
解得$α+β=40°$，则$2α+2β=80°$。
再根据燕尾模型角度结论，$∠ P = ∠ A + ∠ ABP + ∠ ACP$，
代入得：$120°=∠ A + 80°$，
解得$∠ A=40°$。
(2) 设$∠ PBD=x$，$∠ PCD=y$，则$∠ ABP=2x$，$∠ ACP=2y$，
根据燕尾模型结论：
$\begin{cases}∠ D = ∠ P + x + y \quad①\\∠ P = ∠ A + 2x + 2y \quad②\end{cases}$
由①得$x+y=∠ D - ∠ P$，代入②得：
$∠ P = ∠ A + 2(∠ D - ∠ P)$，
整理得：$3∠ P - ∠ A = 2∠ D$，即$2∠ D=3∠ P-∠ A$。
【答案】
(1) $\boxed{40°}$；(2) $\boxed{2∠ D=3∠ P-∠ A}$
【知识点】
燕尾模型角度计算，角的和差关系，参数法解角度问题
【点评】
本题核心是运用燕尾模型实现角度的转化，通过设参数的方法将零散的角建立联系，消去参数即可得到所求角度或角度关系，熟练掌握常见几何模型的结论能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
