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【典例1】在$△ ABC$中，$BD$平分$∠ ABC$，$CE$平分$∠ ACB$，$BD$与$CE$交于点$M$。
(1)如图，若$MN⊥ BC$于$N$，$∠ A=60°$，求$∠1-∠2$的值；
(2)若$∠ BEC=x$，$∠ BDC=y$，那么$∠ BMC=$
(1)如图，若$MN⊥ BC$于$N$，$∠ A=60°$，求$∠1-∠2$的值；
(2)若$∠ BEC=x$，$∠ BDC=y$，那么$∠ BMC=$
$60°+\dfrac{x+y}{3}$
。答案
(1) 解:设$∠ ABD=α,∠ ACE=β$,则$∠ 2=α,∠ 1=90°-β$,
$\because ∠ A+2α+2β=180°,\therefore α+β=60°$,
$\therefore ∠ 1-∠ 2=30°$;
(2) $\because x+2α+β=180°,y+α+2β=180°$,
$\therefore x+y+3(α+β)=360°$,
而$∠ BMC=180°-(α+β)$,
$\therefore ∠ BMC=60°+\dfrac{x+y}{3}$.
$\because ∠ A+2α+2β=180°,\therefore α+β=60°$,
$\therefore ∠ 1-∠ 2=30°$;
(2) $\because x+2α+β=180°,y+α+2β=180°$,
$\therefore x+y+3(α+β)=360°$,
而$∠ BMC=180°-(α+β)$,
$\therefore ∠ BMC=60°+\dfrac{x+y}{3}$.
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先利用角平分线的定义，把∠ABC和∠ACB的一半设为参数α、β，再结合MN⊥BC的垂直关系，用α、β分别表示出∠2和∠1；接着利用三角形内角和定理求出α+β的数值，最后代入∠1-∠2的表达式即可求出结果。
(2) 解题思路：同样沿用α、β的参数设定，先分别在△BEC和△BDC中利用内角和定理，得到x、y与α、β的两个关系式；将两个式子相加得到x+y与α+β的关系，再结合△BMC的内角和，把∠BMC用α+β表示，代入化简即可得到∠BMC与x、y的关系。
【解析】
(1) 设$∠ ABD=α$，$∠ ACE=β$。
∵ BD平分$∠ ABC$，CE平分$∠ ACB$，
∴ $∠ 2=∠ ABD=α$，$∠ ABC=2α$，$∠ ECB=∠ ACE=β$，$∠ ACB=2β$。
∵ $MN⊥ BC$，
∴ $∠ MNC=90°$，
∴ $∠ 1=90°-∠ ECB=90°-β$。
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ ABC+∠ ACB=180°$，$∠ A=60°$，
∴ $60°+2α+2β=180°$，解得$α+β=60°$。
∴ $∠1-∠2=(90°-β)-α=90°-(α+β)=90°-60°=30°$。
(2) 在$△ BEC$中，内角和为$180°$，
∴ $∠ BEC+∠ ABC+∠ ECB=180°$，即$x+2α+β=180°$ ①。
在$△ BDC$中，内角和为$180°$，
∴ $∠ BDC+∠ ACB+∠ DBC=180°$，即$y+α+2β=180°$ ②。
①+②得：$x+y+3(α+β)=360°$，整理得$α+β=\frac{360°-x-y}{3}$。
在$△ BMC$中，$∠ BMC=180°-(∠ MBC+∠ MCB)=180°-(α+β)$，
将$α+β$代入得：
$∠ BMC=180°-\frac{360°-x-y}{3}=\frac{540°-360°+x+y}{3}=\frac{180°+x+y}{3}=60°+\frac{x+y}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$；(2) $\boxed{60°+\dfrac{x+y}{3}}$
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；角度和差计算
【点评】
本题是三角形内角平分线相关的角度计算问题，通过设参数表示分角的方法，将零散的角度关系串联起来，结合三角形内角和定理建立等量关系求解，能有效降低复杂角度推导的难度，是几何角度计算的常用技巧。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：首先利用角平分线的定义，把∠ABC和∠ACB的一半设为参数α、β，再结合MN⊥BC的垂直关系，用α、β分别表示出∠2和∠1；接着利用三角形内角和定理求出α+β的数值，最后代入∠1-∠2的表达式即可求出结果。
(2) 解题思路：同样沿用α、β的参数设定，先分别在△BEC和△BDC中利用内角和定理，得到x、y与α、β的两个关系式；将两个式子相加得到x+y与α+β的关系，再结合△BMC的内角和，把∠BMC用α+β表示，代入化简即可得到∠BMC与x、y的关系。
【解析】
(1) 设$∠ ABD=α$，$∠ ACE=β$。
∵ BD平分$∠ ABC$，CE平分$∠ ACB$，
∴ $∠ 2=∠ ABD=α$，$∠ ABC=2α$，$∠ ECB=∠ ACE=β$，$∠ ACB=2β$。
∵ $MN⊥ BC$，
∴ $∠ MNC=90°$，
∴ $∠ 1=90°-∠ ECB=90°-β$。
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ ABC+∠ ACB=180°$，$∠ A=60°$，
∴ $60°+2α+2β=180°$，解得$α+β=60°$。
∴ $∠1-∠2=(90°-β)-α=90°-(α+β)=90°-60°=30°$。
(2) 在$△ BEC$中，内角和为$180°$，
∴ $∠ BEC+∠ ABC+∠ ECB=180°$，即$x+2α+β=180°$ ①。
在$△ BDC$中，内角和为$180°$，
∴ $∠ BDC+∠ ACB+∠ DBC=180°$，即$y+α+2β=180°$ ②。
①+②得：$x+y+3(α+β)=360°$，整理得$α+β=\frac{360°-x-y}{3}$。
在$△ BMC$中，$∠ BMC=180°-(∠ MBC+∠ MCB)=180°-(α+β)$，
将$α+β$代入得：
$∠ BMC=180°-\frac{360°-x-y}{3}=\frac{540°-360°+x+y}{3}=\frac{180°+x+y}{3}=60°+\frac{x+y}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$；(2) $\boxed{60°+\dfrac{x+y}{3}}$
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；角度和差计算
【点评】
本题是三角形内角平分线相关的角度计算问题，通过设参数表示分角的方法，将零散的角度关系串联起来，结合三角形内角和定理建立等量关系求解，能有效降低复杂角度推导的难度，是几何角度计算的常用技巧。
【难度系数】
0.6
变式.(2026·武昌)如图,已知点P为△ABC三条内角平分线AD,BE,CF的交点,作DG⊥PC于G,则∠PDG等于(
A.∠ABE
B.∠DAC
C.∠BCF
D.∠CPE
A
)A.∠ABE
B.∠DAC
C.∠BCF
D.∠CPE
答案
解:设$∠ ACF=α,∠ PAC=x,∠ ABE=β$,
$\because 2α+2x+2β=180°,\therefore α+x+β=90°$,
又$\because ∠ DPG=α+x=90°-β$,
$\therefore ∠ PDG=90°-∠ DPG=β=∠ ABP$.
$\because 2α+2x+2β=180°,\therefore α+x+β=90°$,
又$\because ∠ DPG=α+x=90°-β$,
$\therefore ∠ PDG=90°-∠ DPG=β=∠ ABP$.
解析
【分析】
解题时首先明确P是△ABC的内角平分线交点（内心），角平分线可将三个内角各自拆分为两个相等的半角，结合三角形内角和定理可得到三个半角的和为90°；其次观察∠DPG是△APC的外角，可转化为两个半角的和；最后结合DG⊥PC的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，通过角度代换即可推出∠PDG对应的角。
【解析】
设$∠ ACF=α$，$∠ PAC=x$，$∠ ABE=β$。
$\because$ P是$△ ABC$三条内角平分线的交点，
$\therefore ∠ BCF=∠ ACF=α$，$∠ BAP=∠ PAC=x$，$∠ CBE=∠ ABE=β$。
$\because △ ABC$的内角和为$180°$，
$\therefore 2α+2x+2β=180°$，化简得$α+x+β=90°$。
$\because ∠ DPG$是$△ APC$的外角，
$\therefore ∠ DPG=∠ PAC+∠ ACP=x+α=90°-β$。
又$\because DG⊥ PC$，即$∠ DGP=90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ PDG$中，$∠ PDG=90°-∠ DPG=90°-(90°-β)=β$，
即$∠ PDG=∠ ABE$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形角平分线相关的典型角度计算题型，核心考察角度转化的逻辑思维，解题关键是利用角平分线性质拆分角度，结合外角、直角三角形的角度关系完成代换，是角平分线模型的经典应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确P是△ABC的内角平分线交点（内心），角平分线可将三个内角各自拆分为两个相等的半角，结合三角形内角和定理可得到三个半角的和为90°；其次观察∠DPG是△APC的外角，可转化为两个半角的和；最后结合DG⊥PC的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，通过角度代换即可推出∠PDG对应的角。
【解析】
设$∠ ACF=α$，$∠ PAC=x$，$∠ ABE=β$。
$\because$ P是$△ ABC$三条内角平分线的交点，
$\therefore ∠ BCF=∠ ACF=α$，$∠ BAP=∠ PAC=x$，$∠ CBE=∠ ABE=β$。
$\because △ ABC$的内角和为$180°$，
$\therefore 2α+2x+2β=180°$，化简得$α+x+β=90°$。
$\because ∠ DPG$是$△ APC$的外角，
$\therefore ∠ DPG=∠ PAC+∠ ACP=x+α=90°-β$。
又$\because DG⊥ PC$，即$∠ DGP=90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ PDG$中，$∠ PDG=90°-∠ DPG=90°-(90°-β)=β$，
即$∠ PDG=∠ ABE$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形角平分线相关的典型角度计算题型，核心考察角度转化的逻辑思维，解题关键是利用角平分线性质拆分角度，结合外角、直角三角形的角度关系完成代换，是角平分线模型的经典应用。
【难度系数】
0.6
【典例2】如图，I为$△ ABC$角平分线的交点，过I点作$DE ⊥ AI$，分别交AB，AC于D，E，求证：$∠ BIC=∠ BDI=∠ CEI$.
答案
解:设$∠ IBC=β,∠ ICB=α,∠ IAD=x$,
$\therefore 2α+2β+2x=180°,\therefore α+β+x=90°$,
$\therefore ∠ BIC=180°-(α+β)=90°+x$,
又$\because$在$△ ADI$中,$∠ BDI=90°+x$,
$\therefore ∠ BIC=∠ BDI=∠ CEI$.
$\therefore 2α+2β+2x=180°,\therefore α+β+x=90°$,
$\therefore ∠ BIC=180°-(α+β)=90°+x$,
又$\because$在$△ ADI$中,$∠ BDI=90°+x$,
$\therefore ∠ BIC=∠ BDI=∠ CEI$.
解析
【分析】
要证明三个角相等，可通过参数法将三个角用相同的参数表示，进而推导等量关系。首先I是△ABC的角平分线交点，因此三条角平分线将三个内角分别平分，可设平分后得到的小角为参数，结合三角形内角和定理得到参数的数量关系；再分别计算∠BIC、∠BDI的度数，找到二者的等量关系，同理推导∠CEI的度数，即可证明三个角相等。
【解析】
证明：设$∠IBC=β$，$∠ICB=α$，$∠IAD=x$，
∵I是△ABC角平分线的交点，
∴$∠ABC=2β$，$∠ACB=2α$，$∠BAC=2x$，
由三角形内角和定理可得：$∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°$，
∴$2α+2β+2x=180°$，化简得$α+β+x=90°$。
在△IBC中，$∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(α+β)$，
将$α+β=90°-x$代入，得$∠BIC=180°-(90°-x)=90°+x$。
∵$DE⊥AI$，
∴$∠AID=90°$，
∠BDI是△ADI的外角，根据三角形外角性质，$∠BDI=∠AID+∠IAD=90°+x$，
同理可得$∠CEI=90°+x$，
∴$∠BIC=∠BDI=∠CEI$。
【答案】
$∠ BIC=∠ BDI=∠ CEI$，得证。
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角平分线与角度计算结合的典型题型，通过设参数表示拆分后的小角，利用内角和、外角性质建立角度间的关联，简化了角度推导的过程，解题时要学会运用参数法处理多角关联的证明问题。
【难度系数】
0.6
要证明三个角相等，可通过参数法将三个角用相同的参数表示，进而推导等量关系。首先I是△ABC的角平分线交点，因此三条角平分线将三个内角分别平分，可设平分后得到的小角为参数，结合三角形内角和定理得到参数的数量关系；再分别计算∠BIC、∠BDI的度数，找到二者的等量关系，同理推导∠CEI的度数，即可证明三个角相等。
【解析】
证明：设$∠IBC=β$，$∠ICB=α$，$∠IAD=x$，
∵I是△ABC角平分线的交点，
∴$∠ABC=2β$，$∠ACB=2α$，$∠BAC=2x$，
由三角形内角和定理可得：$∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°$，
∴$2α+2β+2x=180°$，化简得$α+β+x=90°$。
在△IBC中，$∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(α+β)$，
将$α+β=90°-x$代入，得$∠BIC=180°-(90°-x)=90°+x$。
∵$DE⊥AI$，
∴$∠AID=90°$，
∠BDI是△ADI的外角，根据三角形外角性质，$∠BDI=∠AID+∠IAD=90°+x$，
同理可得$∠CEI=90°+x$，
∴$∠BIC=∠BDI=∠CEI$。
【答案】
$∠ BIC=∠ BDI=∠ CEI$，得证。
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角平分线与角度计算结合的典型题型，通过设参数表示拆分后的小角，利用内角和、外角性质建立角度间的关联，简化了角度推导的过程，解题时要学会运用参数法处理多角关联的证明问题。
【难度系数】
0.6
变式.如图，AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA，OD⊥OB交AB于点D，求$\frac{∠ AOD}{∠ C}$的值.
答案
解:$∠ AOB=90°+\dfrac{1}{2}∠ C,\therefore \dfrac{∠ AOD}{∠ C}=\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：1. 先利用三角形内角和定理，得到△ABC中∠CAB与∠CBA的和与∠C的关系；2. 结合角平分线的定义，求出△AOB中两个底角的和，进而推导∠AOB和∠C的数量关系；3. 利用OD⊥OB得到∠DOB=90°，通过∠AOB=∠AOD+∠DOB的角度和差关系，求出∠AOD与∠C的关系，最终计算比值。
【解析】
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ CAB + ∠ CBA = 180° - ∠ C$
∵AO平分$∠ CAB$，BO平分$∠ CBA$
∴$∠ OAB = \frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ OBA = \frac{1}{2}∠ CBA$
在△AOB中：
$∠ AOB = 180° - (∠ OAB + ∠ OBA)$
$= 180° - \frac{1}{2}(∠ CAB + ∠ CBA)$
将$∠ CAB + ∠ CBA = 180° - ∠ C$代入上式：
$∠ AOB = 180° - \frac{1}{2}(180° - ∠ C) = 90° + \frac{1}{2}∠ C$
∵$OD⊥ OB$，
∴$∠ DOB = 90°$
又
∵$∠ AOB = ∠ AOD + ∠ DOB$
∴$∠ AOD = ∠ AOB - ∠ DOB = (90° + \frac{1}{2}∠ C) - 90° = \frac{1}{2}∠ C$
∴$\frac{∠ AOD}{∠ C} = \frac{\frac{1}{2}∠ C}{∠ C} = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；垂线的性质
【点评】
本题是双内角平分线角度推导的典型题型，核心是先推导得出两条内角平分线夹角与第三个内角的数量关系，再结合垂直的条件做角度转化即可求解，熟练掌握角度和差、角平分线相关的推导逻辑就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下步骤思考：1. 先利用三角形内角和定理，得到△ABC中∠CAB与∠CBA的和与∠C的关系；2. 结合角平分线的定义，求出△AOB中两个底角的和，进而推导∠AOB和∠C的数量关系；3. 利用OD⊥OB得到∠DOB=90°，通过∠AOB=∠AOD+∠DOB的角度和差关系，求出∠AOD与∠C的关系，最终计算比值。
【解析】
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ CAB + ∠ CBA = 180° - ∠ C$
∵AO平分$∠ CAB$，BO平分$∠ CBA$
∴$∠ OAB = \frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ OBA = \frac{1}{2}∠ CBA$
在△AOB中：
$∠ AOB = 180° - (∠ OAB + ∠ OBA)$
$= 180° - \frac{1}{2}(∠ CAB + ∠ CBA)$
将$∠ CAB + ∠ CBA = 180° - ∠ C$代入上式：
$∠ AOB = 180° - \frac{1}{2}(180° - ∠ C) = 90° + \frac{1}{2}∠ C$
∵$OD⊥ OB$，
∴$∠ DOB = 90°$
又
∵$∠ AOB = ∠ AOD + ∠ DOB$
∴$∠ AOD = ∠ AOB - ∠ DOB = (90° + \frac{1}{2}∠ C) - 90° = \frac{1}{2}∠ C$
∴$\frac{∠ AOD}{∠ C} = \frac{\frac{1}{2}∠ C}{∠ C} = \frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；垂线的性质
【点评】
本题是双内角平分线角度推导的典型题型，核心是先推导得出两条内角平分线夹角与第三个内角的数量关系，再结合垂直的条件做角度转化即可求解，熟练掌握角度和差、角平分线相关的推导逻辑就能快速解题。
【难度系数】
0.7
