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【例1】请观察图中的5组图案，其中是全等形的是
(1)(4)(5)
（填序号）。答案
(1)(4)(5)
解析
【分析】
解题首先要明确全等形的判定标准：能够完全重合的两个图形是全等形，需同时满足形状相同、大小相等两个条件，图形的摆放方向、位置变化不影响全等的判定。接下来逐组判断：
1. 组(1)：两个图形均为六边形，形状相同、尺寸一致，仅摆放角度不同，可完全重合，符合全等形要求；
2. 组(2)：两个十字形图案，左侧图案明显大于右侧，大小不相等，无法完全重合，不是全等形；
3. 组(3)：两个五角星图案，左侧图案更小，右侧更大，大小不相等，无法完全重合，不是全等形；
4. 组(4)：两个带箭头的L形图案，形状、大小完全相同，仅旋转了90°，可通过旋转完全重合，符合全等形要求；
5. 组(5)：两个心形图案，形状、大小完全相同，仅旋转了180°，可通过旋转完全重合，符合全等形要求。
【解析】
根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形，全等形的形状和大小均完全相同，与摆放角度、位置无关。
逐一分析各组：
（1）组：两个六边形形状、大小均相同，仅摆放角度不同，可完全重合，属于全等形；
（2）组：两个十字形大小不同，无法完全重合，不属于全等形；
（3）组：两个五角星大小不同，无法完全重合，不属于全等形；
（4）组：两个箭头图案形状、大小均相同，仅旋转角度不同，可完全重合，属于全等形；
（5）组：两个心形图案形状、大小均相同，仅旋转角度不同，可完全重合，属于全等形。
【答案】
(1)(4)(5)
【知识点】
全等形的概念
【点评】
本题是全等形基础概念的应用题，解题核心是抓住全等形“形状、大小均相同，可完全重合”的特征，不要被图形的摆放角度干扰判断。
【难度系数】
0.85
解题首先要明确全等形的判定标准：能够完全重合的两个图形是全等形，需同时满足形状相同、大小相等两个条件，图形的摆放方向、位置变化不影响全等的判定。接下来逐组判断：
1. 组(1)：两个图形均为六边形，形状相同、尺寸一致，仅摆放角度不同，可完全重合，符合全等形要求；
2. 组(2)：两个十字形图案，左侧图案明显大于右侧，大小不相等，无法完全重合，不是全等形；
3. 组(3)：两个五角星图案，左侧图案更小，右侧更大，大小不相等，无法完全重合，不是全等形；
4. 组(4)：两个带箭头的L形图案，形状、大小完全相同，仅旋转了90°，可通过旋转完全重合，符合全等形要求；
5. 组(5)：两个心形图案，形状、大小完全相同，仅旋转了180°，可通过旋转完全重合，符合全等形要求。
【解析】
根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形，全等形的形状和大小均完全相同，与摆放角度、位置无关。
逐一分析各组：
（1）组：两个六边形形状、大小均相同，仅摆放角度不同，可完全重合，属于全等形；
（2）组：两个十字形大小不同，无法完全重合，不属于全等形；
（3）组：两个五角星大小不同，无法完全重合，不属于全等形；
（4）组：两个箭头图案形状、大小均相同，仅旋转角度不同，可完全重合，属于全等形；
（5）组：两个心形图案形状、大小均相同，仅旋转角度不同，可完全重合，属于全等形。
【答案】
(1)(4)(5)
【知识点】
全等形的概念
【点评】
本题是全等形基础概念的应用题，解题核心是抓住全等形“形状、大小均相同，可完全重合”的特征，不要被图形的摆放角度干扰判断。
【难度系数】
0.85
练习.(教材题变式)如图1,将$△ ABC$沿AC对折,点B与点E重合,则全等的三角形有(
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
C
)A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，对应边相等、对应角相等。第一步先找到折叠直接得到的全等三角形，再利用全等得到的边角相等的结论，结合公共边等隐含条件，用全等三角形的判定定理验证其余可能的全等三角形，最后统计全等三角形的总对数即可。
【解析】
设AC与BE的交点为点O。
1. 由折叠的性质可知，△ABC沿AC对折后点B与点E重合，因此△ABC≌△AEC，这是第1对全等三角形；
2. 由△ABC≌△AEC可得：AB=AE，∠BAC=∠EAC，
在△ABO和△AEO中：
$\{\begin{array}{l}AB=AE\\ ∠ BAO=∠ EAO\\ AO=AO(公共边)\end{array} $
根据SAS判定定理，可得△ABO≌△AEO，这是第2对全等三角形；
3. 由△ABC≌△AEC还可得：BC=EC，∠BCA=∠ECA，
在△BCO和△ECO中：
$\{\begin{array}{l}BC=EC\\ ∠ BCO=∠ ECO\\ CO=CO(公共边)\end{array} $
根据SAS判定定理，可得△BCO≌△ECO，这是第3对全等三角形。
综上，全等的三角形共有3对，故选C。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是折叠与全等三角形的基础综合题，解题关键是先从折叠操作得到第一组全等，再以此为条件推导其他全等关系，要注意不要遗漏折叠隐含的边角相等关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，对应边相等、对应角相等。第一步先找到折叠直接得到的全等三角形，再利用全等得到的边角相等的结论，结合公共边等隐含条件，用全等三角形的判定定理验证其余可能的全等三角形，最后统计全等三角形的总对数即可。
【解析】
设AC与BE的交点为点O。
1. 由折叠的性质可知，△ABC沿AC对折后点B与点E重合，因此△ABC≌△AEC，这是第1对全等三角形；
2. 由△ABC≌△AEC可得：AB=AE，∠BAC=∠EAC，
在△ABO和△AEO中：
$\{\begin{array}{l}AB=AE\\ ∠ BAO=∠ EAO\\ AO=AO(公共边)\end{array} $
根据SAS判定定理，可得△ABO≌△AEO，这是第2对全等三角形；
3. 由△ABC≌△AEC还可得：BC=EC，∠BCA=∠ECA，
在△BCO和△ECO中：
$\{\begin{array}{l}BC=EC\\ ∠ BCO=∠ ECO\\ CO=CO(公共边)\end{array} $
根据SAS判定定理，可得△BCO≌△ECO，这是第3对全等三角形。
综上，全等的三角形共有3对，故选C。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是折叠与全等三角形的基础综合题，解题关键是先从折叠操作得到第一组全等，再以此为条件推导其他全等关系，要注意不要遗漏折叠隐含的边角相等关系。
【难度系数】
0.7
【例2】如图2，△ABN≌△ACM，AB和AC是对应边，∠B和∠C是对应角，写出其他对应边和对应角。
答案
解:对应边:AN 和 AM,BN 和 CM。
对应角:∠BAN 和∠CAM,∠ANB 和∠AMC。
对应角:∠BAN 和∠CAM,∠ANB 和∠AMC。
解析
【分析】
要找全等三角形的对应边和对应角，可按以下思路推导：一是全等三角形的符号表示严格对应顶点顺序，△ABN≌△ACM中，顶点A对应A、B对应C，因此剩余顶点N对应M；二是结合题目已给出的对应边AB与AC、对应角∠B与∠C，排除已确定元素即可找剩余对应元素。其中对应边由两组对应顶点连接而成，对应角是以对应顶点为顶点、由对应边围成的角，按该规则就能得到所求结果。
【解析】
1. 确定对应顶点：已知△ABN≌△ACM，AB和AC是对应边，∠B和∠C是对应角，可得对应顶点为A↔A，B↔C，N↔M。
2. 找对应边：除已给出的AB和AC外，由对应顶点组合可得，A、N的连线AN对应A、M的连线AM，B、N的连线BN对应C、M的连线CM。
3. 找对应角：除已给出的∠B和∠C外，由对应顶点可得，∠BAN对应∠CAM，∠ANB对应∠AMC。
【答案】
对应边:AN 和 AM,BN 和 CM。对应角:∠BAN 和∠CAM,∠ANB 和∠AMC。
【知识点】
1. 全等三角形对应边识别
2. 全等三角形对应角识别
【点评】
本题是全等三角形的基础题型，核心考查全等三角形对应元素的查找方法，利用全等表示中顶点的对应顺序找对应边、对应角是最简便的方法，掌握该方法能为后续全等三角形的证明及应用打下扎实基础。
【难度系数】
0.9
要找全等三角形的对应边和对应角，可按以下思路推导：一是全等三角形的符号表示严格对应顶点顺序，△ABN≌△ACM中，顶点A对应A、B对应C，因此剩余顶点N对应M；二是结合题目已给出的对应边AB与AC、对应角∠B与∠C，排除已确定元素即可找剩余对应元素。其中对应边由两组对应顶点连接而成，对应角是以对应顶点为顶点、由对应边围成的角，按该规则就能得到所求结果。
【解析】
1. 确定对应顶点：已知△ABN≌△ACM，AB和AC是对应边，∠B和∠C是对应角，可得对应顶点为A↔A，B↔C，N↔M。
2. 找对应边：除已给出的AB和AC外，由对应顶点组合可得，A、N的连线AN对应A、M的连线AM，B、N的连线BN对应C、M的连线CM。
3. 找对应角：除已给出的∠B和∠C外，由对应顶点可得，∠BAN对应∠CAM，∠ANB对应∠AMC。
【答案】
对应边:AN 和 AM,BN 和 CM。对应角:∠BAN 和∠CAM,∠ANB 和∠AMC。
【知识点】
1. 全等三角形对应边识别
2. 全等三角形对应角识别
【点评】
本题是全等三角形的基础题型，核心考查全等三角形对应元素的查找方法，利用全等表示中顶点的对应顺序找对应边、对应角是最简便的方法，掌握该方法能为后续全等三角形的证明及应用打下扎实基础。
【难度系数】
0.9
练习.如图 3，$△ ABC ≌ △ CDA$，AB 和 CD，BC 和 DA 是对应边，写出其他对应边和对应角.
答案
解:对应边:AC 和 CA。
对应角:∠BAC 和∠ACD,∠B 和∠D,∠BCA 和∠CAD。
对应角:∠BAC 和∠ACD,∠B 和∠D,∠BCA 和∠CAD。
解析
【分析】
解题时首先回忆全等三角形对应元素的确定规则：①全等三角形有3组对应边、3组对应角，已知两组对应边后，剩余的第三组边即为对应边，本题中AC是两个三角形的公共边，公共边必然是对应边；②找对应角可通过两种方法：一是对应边所对的角为对应角，二是全等表达式中对应位置的顶点所构成的角为对应角，结合已知的对应边即可快速确定所有对应角。
【解析】
解：1. 找对应边：
已知△ABC≌△CDA，且AB与CD、BC与DA为对应边，三角形共有3组边，因此剩余的一组边AC（△ABC的边）和CA（△CDA的边）为对应边。
2. 找对应角：
根据“全等三角形对应边所对的角为对应角”：
①AB对应CD，AB所对的角是∠BCA，CD所对的角是∠CAD，因此∠BCA和∠CAD是对应角；
②BC对应DA，BC所对的角是∠BAC，DA所对的角是∠ACD，因此∠BAC和∠ACD是对应角；
③剩余的一组角∠B和∠D为对应角。
【答案】
对应边:AC 和 CA。
对应角:∠BAC 和∠ACD,∠B 和∠D,∠BCA 和∠CAD。
【知识点】
1. 全等三角形的概念
2. 对应边与对应角的识别
【点评】
本题是全等三角形的基础题型，主要考查全等三角形对应元素的查找方法，解题的关键是熟练掌握根据已知对应边、公共边特征、全等书写顺序等确定对应元素的技巧，是后续运用全等三角形性质解决几何问题的基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆全等三角形对应元素的确定规则：①全等三角形有3组对应边、3组对应角，已知两组对应边后，剩余的第三组边即为对应边，本题中AC是两个三角形的公共边，公共边必然是对应边；②找对应角可通过两种方法：一是对应边所对的角为对应角，二是全等表达式中对应位置的顶点所构成的角为对应角，结合已知的对应边即可快速确定所有对应角。
【解析】
解：1. 找对应边：
已知△ABC≌△CDA，且AB与CD、BC与DA为对应边，三角形共有3组边，因此剩余的一组边AC（△ABC的边）和CA（△CDA的边）为对应边。
2. 找对应角：
根据“全等三角形对应边所对的角为对应角”：
①AB对应CD，AB所对的角是∠BCA，CD所对的角是∠CAD，因此∠BCA和∠CAD是对应角；
②BC对应DA，BC所对的角是∠BAC，DA所对的角是∠ACD，因此∠BAC和∠ACD是对应角；
③剩余的一组角∠B和∠D为对应角。
【答案】
对应边:AC 和 CA。
对应角:∠BAC 和∠ACD,∠B 和∠D,∠BCA 和∠CAD。
【知识点】
1. 全等三角形的概念
2. 对应边与对应角的识别
【点评】
本题是全等三角形的基础题型，主要考查全等三角形对应元素的查找方法，解题的关键是熟练掌握根据已知对应边、公共边特征、全等书写顺序等确定对应元素的技巧，是后续运用全等三角形性质解决几何问题的基础。
【难度系数】
0.9
【例3】如图4，$△ ABC ≌ △ BAD$，A，C的对应点分别是B，D.若$AB=9$，$BC=12$，$AC=7$，则BD的长为(
A.7
B.9
C.12
D.无法确定
A
)A.7
B.9
C.12
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
解决本题的核心是利用全等三角形对应边相等的性质，首先要根据题目给出的对应顶点信息，准确找到BD的对应边，再代入已知边长计算即可。第一步先明确全等三角形的对应顶点：已知△ABC≌△BAD，A的对应点是B，C的对应点是D，由此可确定边AC的对应边就是边BD，再根据对应边相等的性质就能直接求出BD的长度。
【解析】
∵ △ABC ≌ △BAD，且A、C的对应点分别是B、D，
∴ AC与BD是全等三角形的一组对应边，根据全等三角形对应边相等可得：$BD=AC$，
又
∵ 已知$AC=7$，
∴ $BD=7$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 对应边的判定
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用，解题的关键是根据对应顶点准确识别对应边，只要理清对应关系就能快速得出结果，属于易得分题型。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是利用全等三角形对应边相等的性质，首先要根据题目给出的对应顶点信息，准确找到BD的对应边，再代入已知边长计算即可。第一步先明确全等三角形的对应顶点：已知△ABC≌△BAD，A的对应点是B，C的对应点是D，由此可确定边AC的对应边就是边BD，再根据对应边相等的性质就能直接求出BD的长度。
【解析】
∵ △ABC ≌ △BAD，且A、C的对应点分别是B、D，
∴ AC与BD是全等三角形的一组对应边，根据全等三角形对应边相等可得：$BD=AC$，
又
∵ 已知$AC=7$，
∴ $BD=7$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 对应边的判定
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用，解题的关键是根据对应顶点准确识别对应边，只要理清对应关系就能快速得出结果，属于易得分题型。
【难度系数】
0.8
练习1.如图5，已知△ABE≌△ACD，点D，E分别在AB，AC上，AD=3，AC=7，∠ADC=110°，则BD=
4
，∠BEC=70°
。答案
4 70°
解析
【分析】
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。求解BD时，先根据全等性质得到AB的长度，再利用线段差的关系计算BD；求解∠BEC时，先根据全等性质得到∠AEB的度数，再结合邻补角之和为180°计算即可。
【解析】
∵△ABE≌△ACD，
∴AB=AC=7，∠AEB=∠ADC=110°（全等三角形对应边相等、对应角相等）。
1. 求BD的长度：
已知AD=3，BD=AB-AD，
∴BD=7-3=4。
2. 求∠BEC的度数：
∵点A、E、C共线，∠AEB与∠BEC互为邻补角，
∴∠AEB+∠BEC=180°，
∴∠BEC=180°-110°=70°。
【答案】
4；70°
【知识点】
全等三角形的性质；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查全等三角形性质的应用，解题的关键是准确识别全等三角形的对应边和对应角，结合线段和差、邻补角的性质就可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。求解BD时，先根据全等性质得到AB的长度，再利用线段差的关系计算BD；求解∠BEC时，先根据全等性质得到∠AEB的度数，再结合邻补角之和为180°计算即可。
【解析】
∵△ABE≌△ACD，
∴AB=AC=7，∠AEB=∠ADC=110°（全等三角形对应边相等、对应角相等）。
1. 求BD的长度：
已知AD=3，BD=AB-AD，
∴BD=7-3=4。
2. 求∠BEC的度数：
∵点A、E、C共线，∠AEB与∠BEC互为邻补角，
∴∠AEB+∠BEC=180°，
∴∠BEC=180°-110°=70°。
【答案】
4；70°
【知识点】
全等三角形的性质；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查全等三角形性质的应用，解题的关键是准确识别全等三角形的对应边和对应角，结合线段和差、邻补角的性质就可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
练习2.如图6，$△ ABC ≌ △ DEA$，点A，B，D在同一条直线上，$∠ D=65°$，求$∠ CFE$的度数。
答案
解:△ABC≌△DEA,
∴∠ABC=∠E，
∴∠CFE=∠D=65°。
∴∠ABC=∠E，
∴∠CFE=∠D=65°。
解析
【分析】
拿到本题首先关注已知条件$△ ABC ≌ △ DEA$，回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，因此可以先得到一组相等的对应角$∠ ABC=∠ E$。接下来观察待求角$∠ CFE$，它和$∠ AFB$是对顶角，二者相等；再看$△ ABF$和$△ ADE$，有公共角$∠ BAD$，结合已经得到的$∠ ABC=∠ E$，根据三角形内角和为$180°$，可推出$∠ AFB=∠ D$，进而就能得到$∠ CFE$的度数。
【解析】
$\because △ ABC ≌ △ DEA$，
$\therefore ∠ ABC=∠ E$（全等三角形对应角相等）。
在$△ ABF$中，$∠ BAF + ∠ ABC + ∠ AFB = 180°$，
在$△ ADE$中，$∠ EAD + ∠ E + ∠ D = 180°$，
又$\because ∠ BAF=∠ EAD$（公共角），$∠ ABC=∠ E$，
$\therefore ∠ AFB=∠ D=65°$。
$\because ∠ CFE$与$∠ AFB$是对顶角，
$\therefore ∠ CFE=∠ AFB=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
全等三角形的性质，对顶角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题核心是找准全等三角形的对应角，结合公共角、对顶角的等量关系推导待求角的度数，熟练掌握基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先关注已知条件$△ ABC ≌ △ DEA$，回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，因此可以先得到一组相等的对应角$∠ ABC=∠ E$。接下来观察待求角$∠ CFE$，它和$∠ AFB$是对顶角，二者相等；再看$△ ABF$和$△ ADE$，有公共角$∠ BAD$，结合已经得到的$∠ ABC=∠ E$，根据三角形内角和为$180°$，可推出$∠ AFB=∠ D$，进而就能得到$∠ CFE$的度数。
【解析】
$\because △ ABC ≌ △ DEA$，
$\therefore ∠ ABC=∠ E$（全等三角形对应角相等）。
在$△ ABF$中，$∠ BAF + ∠ ABC + ∠ AFB = 180°$，
在$△ ADE$中，$∠ EAD + ∠ E + ∠ D = 180°$，
又$\because ∠ BAF=∠ EAD$（公共角），$∠ ABC=∠ E$，
$\therefore ∠ AFB=∠ D=65°$。
$\because ∠ CFE$与$∠ AFB$是对顶角，
$\therefore ∠ CFE=∠ AFB=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
全等三角形的性质，对顶角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题核心是找准全等三角形的对应角，结合公共角、对顶角的等量关系推导待求角的度数，熟练掌握基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
