【典例1】如图，点E在CA延长线上，DE，AB交于F，AC//BD，AB//CD. ∠EAF，∠BDF的平分线交于G，∠EDC＝40°，求∠G的度数.

解:设∠EAG=∠FAG=α,∠EDG=∠BDG=β.
∵AB//CD,∠EDC=40°,
∴∠DFB=40°,∠B=∠C=∠EAF=2α,
∴2α+2β=140°,α+β=70°.
∴∠G=180°-40°-β-α=140°-70°=70°.

【分析】
本题为角平分线与平行线结合的角度计算类题目，解题思路如下：1. 遇到角平分线时，可通过设参数表示被平分的两个相等的角，简化角度推导过程；2. 利用平行线的内错角相等性质，将已知的∠EDC转化为交点F处的内错角∠DFB；3. 结合平行线的同位角相等性质，得到设的参数与△BFD内角的关系，利用三角形内角和求出参数的和；4. 最后根据角度和差关系求出∠G的度数。
【解析】
设∠EAG=∠FAG=α，∠EDG=∠BDG=β。
∵AB//CD，∠EDC＝40°，
∴∠DFB=∠EDC=40°（两直线平行，内错角相等）。
∵AC//BD，AB//CD，
∴∠EAF=∠B=2α，∠BDF=2β。
在△BFD中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠DFB + ∠B + ∠BDF = 180°
代入已知角度得：40°+2α+2β=180°
整理得2α+2β=140°，即α+β=70°。
∴∠G=180°-∠DFB -α -β=180°-40°-70°=70°
【答案】
70°
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度转化的典型题型，通过设参数表示等角的方法，能快速理清已知角和未知角的数量关系，降低多角组合推导的难度，要求熟练掌握平行线的角度转化规律。
【难度系数】
0.6

变式.在△ABC中,D为AC上一点,DE//AB交BC于点E.
(1)如图1,BG平分∠ABC交AC于点G,DF平分∠CDE交BG于点F.探究∠BFD与∠C的数量关系,证明你的结论;
(2)如图2,∠ABG=2∠CBG,∠EDF=2∠GDF,若∠C=α,直接写出∠BFD的度数为(用含α的式子表示).

(1)∠BFD=90°+$\frac{1}{2}$∠C.
设∠ABC=2α,∠A=2β,
∵2α+2β=180°-∠C,α+β=90°-$\frac{1}{2}$∠C,
∴∠BFD=90°+$\frac{1}{2}$∠C;
(2)设∠CBG=x,∠FDG=y,
∴∠A=3y,
∴3x+3y=180°-α,x+y=60°-$\frac{1}{3}$α,
∴∠BFD=x+y+α=60°+$\frac{2}{3}$α.

【分析】
(1) 第一问解题思路：首先利用平行线性质得到∠CDE与∠A相等，再结合角平分线的定义，设参数表示拆分后的等角，通过三角形内角和定理求出参数和与∠C的关系，最后利用三角形外角的性质将∠BFD转化为参数和与∠C的组合，代入即可得到二者的数量关系。
(2) 第二问是第一问的变式，仅将角的等分比例从1:1改为2:1，解题思路与第一问一致：先按比例设参数表示各角，结合平行线性质、三角形内角和得到参数和与∠C的关系，再用外角性质推导∠BFD的表达式即可。
【解析】
(1) 证明：设$∠ ABG=∠ CBG=α$，$∠ EDF=∠ CDF=β$，
∵ BG平分$∠ ABC$，DF平分$∠ CDE$，
∴ $∠ ABC=2α$，$∠ CDE=2β$，
∵ $DE// AB$，由平行线同位角相等可得$∠ CDE=∠ A$，即$∠ A=2β$，
在$△ ABC$中，由三角形内角和定理得：$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$，
代入得$2α+2β+∠ C=180°$，整理得$α+β=90°-\frac{1}{2}∠ C$，
∵ $∠ BFD$是$△ DFG$的外角，由三角形外角性质得$∠ BFD=∠ FDG+∠ DGF$，
又
∵ $∠ DGF$是$△ BCG$的外角，得$∠ DGF=∠ C+∠ CBG=∠ C+α$，且$∠ FDG=β$，
∴ $∠ BFD=α+β+∠ C$，
将$α+β=90°-\frac{1}{2}∠ C$代入得：
$∠ BFD=90°-\frac{1}{2}∠ C+∠ C=90°+\frac{1}{2}∠ C$。
(2) 解：设$∠ CBG=x$，$∠ GDF=y$，
由题意得$∠ ABG=2x$，$∠ EDF=2y$，
∴ $∠ ABC=3x$，$∠ CDE=3y$，
∵ $DE// AB$，
∴ $∠ CDE=∠ A=3y$，
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$，$∠ C=α$，
代入得$3x+3y+α=180°$，整理得$x+y=60°-\frac{1}{3}α$，
同(1)的外角性质可得：$∠ BFD=∠ C+x+y$，
代入$x+y=60°-\frac{1}{3}α$得：
$∠ BFD=α+60°-\frac{1}{3}α=60°+\frac{2}{3}α$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ BFD=90°+\frac{1}{2}∠ C}$
(2) $\boldsymbol{60°+\frac{2}{3}α}$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是角度转化类的典型题型，核心是通过设参数简化多角之间的和差关系，结合平行线、角平分线的性质及三角形角度相关定理推导未知角与已知角的数量关系，对角度转化的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

【典例2】如图1，AD//BC，DE平分∠ADB交AB于E，∠BDC=∠BCD.
(1)求证:∠1+∠2=90°；
(2)如图2，BF平分∠ABD交CD的延长线于F点，若∠ABC=70°,求∠F的度数.

解:(1)设∠ADE=α,∠BDC=β,
∵AD//BC,
∴∠ADC+∠BCD=180°,
∴2α+2β=180°,
∴α+β=90°,
∴∠EDC=α+β=90°,
∴∠1+∠2=90°;
(2)设∠ABF=∠FBD=α,
∴∠DBC=70°-2α,
∠BDC+∠BCD=180°-(70°-2α)=110°+2α,
∴∠BDC=∠BCD=55°+α,
∴∠F=∠BDC-∠FBD=55°+α-α=55°,
∴∠F=55°.

【分析】
(1) 要证明∠1+∠2=90°，首先利用平行线的性质得到同旁内角互补，再结合角平分线的定义、∠BDC=∠BCD的条件，将角的数量关系代入化简，即可推导出两个角的和为90°。
(2) 求∠F的度数时，先通过角平分线的定义设参数表示相等的角，结合已知的∠ABC的度数表示出相关角，再利用三角形内角和、外角的性质梳理角的关系，消去参数即可得到定值。
【解析】
(1) 设∠ADE=α，∠BDC=β，
∵AD//BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADB=2α，
又
∵∠BDC=∠BCD=β，
∴∠ADC+∠BCD=∠ADB+∠BDC+∠BCD=2α+2β=180°，
∴α+β=90°，即∠EDC=α+β=90°，
∴∠1+∠2=90°。
(2) 设∠ABF=∠FBD=α，
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABD=2α，
∵∠ABC=70°，
∴∠DBC=70°-2α，
在△BDC中，∠BDC+∠BCD+∠DBC=180°，
又
∵∠BDC=∠BCD，
∴2∠BDC=180°-(70°-2α)=110°+2α，
∴∠BDC=55°+α，
∵∠BDC是△BFD的外角，
∴∠BDC=∠F+∠FBD，
∴∠F=∠BDC-∠FBD=55°+α-α=55°。
【答案】
(1) ∠1+∠2=90°，得证；
(2) ∠F=55°
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是角平分线与平行线结合的典型角度推导题，用参数表示等角的方法能简化角度关系的梳理，消参求定值的思路在这类无具体角度求固定值的题型中非常常用，需熟练掌握角与角之间的转化规则。
【难度系数】
0.65