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26.甲、乙、丙、丁四名学生的竞赛成绩(单位:分)如下:15,18,15,24.按照组内离差平方和最小的原则,将竞赛成绩分成两组.
答案
解:将4个数据从小到大排序:15,15,18,24.把4个数据分成两组,共有五种情况:
第一种情况:
第一组1个数据{15},组内离差平方和为0;
第二组3个数据{15,18,24},平均数是$\frac{15+18+24}{3}=19$,
组内离差平方和为$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=42.$
∴第一种情况的组内离差平方和为0+42=42.
第二种情况:
第一组2个数据{15,15},平均数是$\frac{15+15}{2}=15$,组内离差平方和为0;
第二组2个数据{18,24},平均数是$\frac{18+24}{2}=21$,
组内离差平方和为$(18-21)^2+(24-21)^2=18.$
∴第二种情况的组内离差平方和为0+18=18.
第三种情况:
第一组3个数据{15,15,18},平均数是$\frac{15+15+18}{3}=16$,
组内离差平方和为$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=6;$
第二组1个数据{24},组内离差平方和为0,
∴第三种情况的组内离差平方和为0+6=6.
第四种情况:
第一组1个数据{18},组内离差平方和为0;
第二组3个数据{15,15,24},平均数是$\frac{15+15+24}{3}=18$,
组内离差平方和为$(15-18)^2+(15-18)^2+(24-18)^2=54,$
∴第四种情况的组内离差平方和为0+54=54.
第五种情况:
第一组2个数据{15,18},平均数是$\frac{15+18}{2}=16.5$,
组内离差平方和为$(15-16.5)^2+(18-16.5)^2=4.5;$
第二组2个数据{15,24},平均数是$\frac{15+24}{2}=19.5$,
组内离差平方和为$(15-19.5)^2+(24-19.5)^2=40.5,$
∴第五种情况的组内离差平方和为4.5+40.5=45.
∵6＜18＜42＜45＜54,
∴第三种情况的组内离差平方和最小.
∴将竞赛成绩分成的两组是{15,15,18},{24}.
第一种情况:
第一组1个数据{15},组内离差平方和为0;
第二组3个数据{15,18,24},平均数是$\frac{15+18+24}{3}=19$,
组内离差平方和为$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=42.$
∴第一种情况的组内离差平方和为0+42=42.
第二种情况:
第一组2个数据{15,15},平均数是$\frac{15+15}{2}=15$,组内离差平方和为0;
第二组2个数据{18,24},平均数是$\frac{18+24}{2}=21$,
组内离差平方和为$(18-21)^2+(24-21)^2=18.$
∴第二种情况的组内离差平方和为0+18=18.
第三种情况:
第一组3个数据{15,15,18},平均数是$\frac{15+15+18}{3}=16$,
组内离差平方和为$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=6;$
第二组1个数据{24},组内离差平方和为0,
∴第三种情况的组内离差平方和为0+6=6.
第四种情况:
第一组1个数据{18},组内离差平方和为0;
第二组3个数据{15,15,24},平均数是$\frac{15+15+24}{3}=18$,
组内离差平方和为$(15-18)^2+(15-18)^2+(24-18)^2=54,$
∴第四种情况的组内离差平方和为0+54=54.
第五种情况:
第一组2个数据{15,18},平均数是$\frac{15+18}{2}=16.5$,
组内离差平方和为$(15-16.5)^2+(18-16.5)^2=4.5;$
第二组2个数据{15,24},平均数是$\frac{15+24}{2}=19.5$,
组内离差平方和为$(15-19.5)^2+(24-19.5)^2=40.5,$
∴第五种情况的组内离差平方和为4.5+40.5=45.
∵6＜18＜42＜45＜54,
∴第三种情况的组内离差平方和最小.
∴将竞赛成绩分成的两组是{15,15,18},{24}.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确组内离差平方和的计算规则：先求每组数据的平均数，再计算组内每个数据与组平均数差值的平方和，两组的平方和相加就是该分组方式的总离差平方和。由于只有4个数据，我们可以先将数据从小到大排序避免分组重复，再枚举所有合理的分组方式，分别计算每种分组的总离差平方和，最后比较大小选择总离差平方和最小的分组即可。
【解析】
首先将4个竞赛成绩从小到大排序：15，15，18，24。将4个数据分成两组，共有以下5种不同的分组情况：
1. 分组为$\{15\}$和$\{15,18,24\}$：
第一组仅1个数据，组内离差平方和为0；
第二组平均数为$\frac{15+18+24}{3}=19$，组内离差平方和为$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=16+1+25=42$；
总离差平方和为$0+42=42$。
2. 分组为$\{15,15\}$和$\{18,24\}$：
第一组平均数为$\frac{15+15}{2}=15$，组内离差平方和为$(15-15)^2+(15-15)^2=0$；
第二组平均数为$\frac{18+24}{2}=21$，组内离差平方和为$(18-21)^2+(24-21)^2=9+9=18$；
总离差平方和为$0+18=18$。
3. 分组为$\{15,15,18\}$和$\{24\}$：
第一组平均数为$\frac{15+15+18}{3}=16$，组内离差平方和为$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=1+1+4=6$；
第二组仅1个数据，组内离差平方和为0；
总离差平方和为$6+0=6$。
4. 分组为$\{18\}$和$\{15,15,24\}$：
第一组仅1个数据，组内离差平方和为0；
第二组平均数为$\frac{15+15+24}{3}=18$，组内离差平方和为$(15-18)^2+(15-18)^2+(24-18)^2=9+9+36=54$；
总离差平方和为$0+54=54$。
5. 分组为$\{15,18\}$和$\{15,24\}$：
第一组平均数为$\frac{15+18}{2}=16.5$，组内离差平方和为$(15-16.5)^2+(18-16.5)^2=2.25+2.25=4.5$；
第二组平均数为$\frac{15+24}{2}=19.5$，组内离差平方和为$(15-19.5)^2+(24-19.5)^2=20.25+20.25=40.5$；
总离差平方和为$4.5+40.5=45$。
比较5种分组的总离差平方和：$6＜18＜42＜45＜54$，因此第三种分组的总离差平方和最小。
【答案】
两组分别为$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算，枚举法应用
【点评】
本题核心是理解组内离差平方和的含义，解题时需完整枚举所有可能的分组情况，避免遗漏，计算平均数和平方和时要细心，确保结果准确后再比较大小选出最优分组。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先要明确组内离差平方和的计算规则：先求每组数据的平均数，再计算组内每个数据与组平均数差值的平方和，两组的平方和相加就是该分组方式的总离差平方和。由于只有4个数据，我们可以先将数据从小到大排序避免分组重复，再枚举所有合理的分组方式，分别计算每种分组的总离差平方和，最后比较大小选择总离差平方和最小的分组即可。
【解析】
首先将4个竞赛成绩从小到大排序：15，15，18，24。将4个数据分成两组，共有以下5种不同的分组情况：
1. 分组为$\{15\}$和$\{15,18,24\}$：
第一组仅1个数据，组内离差平方和为0；
第二组平均数为$\frac{15+18+24}{3}=19$，组内离差平方和为$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=16+1+25=42$；
总离差平方和为$0+42=42$。
2. 分组为$\{15,15\}$和$\{18,24\}$：
第一组平均数为$\frac{15+15}{2}=15$，组内离差平方和为$(15-15)^2+(15-15)^2=0$；
第二组平均数为$\frac{18+24}{2}=21$，组内离差平方和为$(18-21)^2+(24-21)^2=9+9=18$；
总离差平方和为$0+18=18$。
3. 分组为$\{15,15,18\}$和$\{24\}$：
第一组平均数为$\frac{15+15+18}{3}=16$，组内离差平方和为$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=1+1+4=6$；
第二组仅1个数据，组内离差平方和为0；
总离差平方和为$6+0=6$。
4. 分组为$\{18\}$和$\{15,15,24\}$：
第一组仅1个数据，组内离差平方和为0；
第二组平均数为$\frac{15+15+24}{3}=18$，组内离差平方和为$(15-18)^2+(15-18)^2+(24-18)^2=9+9+36=54$；
总离差平方和为$0+54=54$。
5. 分组为$\{15,18\}$和$\{15,24\}$：
第一组平均数为$\frac{15+18}{2}=16.5$，组内离差平方和为$(15-16.5)^2+(18-16.5)^2=2.25+2.25=4.5$；
第二组平均数为$\frac{15+24}{2}=19.5$，组内离差平方和为$(15-19.5)^2+(24-19.5)^2=20.25+20.25=40.5$；
总离差平方和为$4.5+40.5=45$。
比较5种分组的总离差平方和：$6＜18＜42＜45＜54$，因此第三种分组的总离差平方和最小。
【答案】
两组分别为$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算，枚举法应用
【点评】
本题核心是理解组内离差平方和的含义，解题时需完整枚举所有可能的分组情况，避免遗漏，计算平均数和平方和时要细心，确保结果准确后再比较大小选出最优分组。
【难度系数】
0.6
