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24.某班50名同学进行科普知识竞赛,根据竞赛成绩绘制的统计图如下:
(1)这50名同学竞赛成绩的众数为多少?
(2)求这50名同学的平均成绩.
(3)甲同学在竞赛前练习的5次成绩分别为70,100,80,70,80(单位:分).求这5个数据的方差.
(1)这50名同学竞赛成绩的众数为多少?
(2)求这50名同学的平均成绩.
(3)甲同学在竞赛前练习的5次成绩分别为70,100,80,70,80(单位:分).求这5个数据的方差.
答案
解:(1)80
(2)$\frac{1}{50}×[60×5+70×10+80×20+90×10+100×5]=80$(分).
∴这50名同学的平均成绩为80分.
(3)$(70+100+80+70+80)÷5=80$(分),
$\frac{1}{5}×[(70-80)^2+(100-80)^2+(80-80)^2+(70-80)^2+(80-80)^2]=120.$
∴这5个数据的方差为120.
(2)$\frac{1}{50}×[60×5+70×10+80×20+90×10+100×5]=80$(分).
∴这50名同学的平均成绩为80分.
(3)$(70+100+80+70+80)÷5=80$(分),
$\frac{1}{5}×[(70-80)^2+(100-80)^2+(80-80)^2+(70-80)^2+(80-80)^2]=120.$
∴这5个数据的方差为120.
解析
【分析】
(1) 众数是一组数据中出现次数最多的数，解题时先观察条形统计图，找到对应人数最多的成绩就是所求众数；
(2) 平均成绩用加权平均数计算，将各成绩段的分数乘对应人数求和，再除以总人数50即可得到结果；
(3) 计算方差要先求这5个数据的平均数，再代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算即可。
【解析】
(1) 由统计图可知，成绩为80分的人数有20人，是所有成绩段中人数最多的，因此这50名同学竞赛成绩的众数为80。
(2) 根据加权平均数公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{平均成绩}&=\frac{1}{50}×(60×5+70×10+80×20+90×10+100×5)\\&=\frac{1}{50}×4000\\&=80(\mathrm{分})\end{aligned}$
(3) 先计算甲同学5次成绩的平均数：
$\overline{x}=\frac{70+100+80+70+80}{5}=80(\mathrm{分})$
再代入方差公式计算：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}×[(70-80)^2+(100-80)^2+(80-80)^2+(70-80)^2+(80-80)^2]\\&=\frac{1}{5}×(100+400+0+100+0)\\&=\frac{1}{5}×600\\&=120\end{aligned}$
【答案】
(1) 80；(2) 80分；(3) 120
【知识点】
众数；加权平均数；方差
【点评】
本题是统计类基础题，要求能从条形统计图中准确提取数据，熟练掌握常见统计量的计算规则，计算时注意数值准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 众数是一组数据中出现次数最多的数，解题时先观察条形统计图，找到对应人数最多的成绩就是所求众数；
(2) 平均成绩用加权平均数计算，将各成绩段的分数乘对应人数求和，再除以总人数50即可得到结果；
(3) 计算方差要先求这5个数据的平均数，再代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算即可。
【解析】
(1) 由统计图可知，成绩为80分的人数有20人，是所有成绩段中人数最多的，因此这50名同学竞赛成绩的众数为80。
(2) 根据加权平均数公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{平均成绩}&=\frac{1}{50}×(60×5+70×10+80×20+90×10+100×5)\\&=\frac{1}{50}×4000\\&=80(\mathrm{分})\end{aligned}$
(3) 先计算甲同学5次成绩的平均数：
$\overline{x}=\frac{70+100+80+70+80}{5}=80(\mathrm{分})$
再代入方差公式计算：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{5}×[(70-80)^2+(100-80)^2+(80-80)^2+(70-80)^2+(80-80)^2]\\&=\frac{1}{5}×(100+400+0+100+0)\\&=\frac{1}{5}×600\\&=120\end{aligned}$
【答案】
(1) 80；(2) 80分；(3) 120
【知识点】
众数；加权平均数；方差
【点评】
本题是统计类基础题，要求能从条形统计图中准确提取数据，熟练掌握常见统计量的计算规则，计算时注意数值准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
25.把一组数据按从小到大排序，用m表示中位数，则m把这组数据分为两部分，依次记为S和T.用a和b分别表示S和T的中位数，则所有数据中小于或等于a的占25％，小于或等于b的占75％.这样a，m，b把所有数据分成个数相等的四部分，称为四分位数.
甲、乙两组的测试成绩如下：
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98.
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1)求甲组数据的四分位数a，m，b；
(2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图.
甲、乙两组的测试成绩如下：
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98.
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1)求甲组数据的四分位数a，m，b；
(2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图.
答案
解:(1)把甲组的成绩从小到大排列为:60,70,70,80,89,91,92,96,98,100.
∴m=90,a=70,b=96.
(2)
解析
【分析】
要解决第一问的四分位数求解问题，需严格按照四分位数的定义逐步推导：首先要将数据从小到大排序，先求整组数据的中位数m，再将数据拆分为小于等于m的S部分和大于等于m的T部分，分别求S的中位数a、T的中位数b即可。解题步骤依次为：①对甲组数据从小到大排序；②计算整组数据的中位数m；③拆分得到S、T两组数据，分别计算两者的中位数得到a、b。第二问绘制箱线图，需先确定甲组数据的最小值、a、m、b、最大值，参考乙组箱线图的结构，对应位置标注各数值即可完成绘制。
【解析】
(1) 首先将甲组10个成绩从小到大排序：
60，70，70，80，89，91，92，96，98，100
整组数据共10个（偶数个），中位数m是第5个和第6个数据的平均数：
$m=\frac{89+91}{2}=90$
根据定义，S为小于等于m的数据，即前5个数据：60，70，70，80，89，共5个数据，中位数a是第3个数据，即$a=70$；
T为大于等于m的数据，即后5个数据：91，92，96，98，100，共5个数据，中位数b是第3个数据，即$b=96$。
(2) 甲组数据的最小值为60，最大值为100，结合求得的a=70，m=90，b=96，参考乙组箱线图的格式，绘制得到甲组箱线图：
【答案】
(1) $a=70$，$m=90$，$b=96$；
(2)
【知识点】
中位数计算，四分位数，箱线图绘制
【点评】
本题以新定义“四分位数”为载体，考查统计中中位数的计算及统计图表的绘制，解题核心是准确理解四分位数的定义，严格按照“先排序、再计算中位数”的步骤求解，排序时注意不要遗漏或写错数据即可正确解题。
【难度系数】
0.7
要解决第一问的四分位数求解问题，需严格按照四分位数的定义逐步推导：首先要将数据从小到大排序，先求整组数据的中位数m，再将数据拆分为小于等于m的S部分和大于等于m的T部分，分别求S的中位数a、T的中位数b即可。解题步骤依次为：①对甲组数据从小到大排序；②计算整组数据的中位数m；③拆分得到S、T两组数据，分别计算两者的中位数得到a、b。第二问绘制箱线图，需先确定甲组数据的最小值、a、m、b、最大值，参考乙组箱线图的结构，对应位置标注各数值即可完成绘制。
【解析】
(1) 首先将甲组10个成绩从小到大排序：
60，70，70，80，89，91，92，96，98，100
整组数据共10个（偶数个），中位数m是第5个和第6个数据的平均数：
$m=\frac{89+91}{2}=90$
根据定义，S为小于等于m的数据，即前5个数据：60，70，70，80，89，共5个数据，中位数a是第3个数据，即$a=70$；
T为大于等于m的数据，即后5个数据：91，92，96，98，100，共5个数据，中位数b是第3个数据，即$b=96$。
(2) 甲组数据的最小值为60，最大值为100，结合求得的a=70，m=90，b=96，参考乙组箱线图的格式，绘制得到甲组箱线图：
【答案】
(1) $a=70$，$m=90$，$b=96$；
(2)
【知识点】
中位数计算，四分位数，箱线图绘制
【点评】
本题以新定义“四分位数”为载体，考查统计中中位数的计算及统计图表的绘制，解题核心是准确理解四分位数的定义，严格按照“先排序、再计算中位数”的步骤求解，排序时注意不要遗漏或写错数据即可正确解题。
【难度系数】
0.7
