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一、解决问题。
1. 王阿姨开车去某地开会，她用导航查看路况，示意图如下。其中行驶缓慢路段占全程的$\frac{1}{4}$，拥堵路段占全程的$\frac{1}{10}$。
（1）本次行程，行驶畅通路段占全程的几分之几？
（2）王阿姨行驶到全程的$\frac{9}{20}$时，恰好驶出拥堵路段。她又继续行驶了全程的$\frac{2}{5}$，此时王阿姨（$\quad$）行驶缓慢路段（填“在”或“不在”）。
请将思考过程写在下方的空白处。
1. 王阿姨开车去某地开会，她用导航查看路况，示意图如下。其中行驶缓慢路段占全程的$\frac{1}{4}$，拥堵路段占全程的$\frac{1}{10}$。
（1）本次行程，行驶畅通路段占全程的几分之几？
（2）王阿姨行驶到全程的$\frac{9}{20}$时，恰好驶出拥堵路段。她又继续行驶了全程的$\frac{2}{5}$，此时王阿姨（$\quad$）行驶缓慢路段（填“在”或“不在”）。
请将思考过程写在下方的空白处。
答案
（1）行驶畅通路段占全程的$\frac{13}{20}$；（2）在
解析
（1）把全程看作单位“1”，用单位1依次减去行驶缓慢路段、拥堵路段占全程的分率，计算行驶畅通路段的占比：
$1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{20}{20} - \frac{5}{20} - \frac{2}{20} = \frac{13}{20}$
（2）思考过程：
① 先计算王阿姨此时总共行驶的路程占全程的分率：
$ \frac{9}{20} + \frac{2}{5} = \frac{9}{20} + \frac{8}{20} = \frac{17}{20} $
② 计算行驶缓慢路段的区间：已知行驶缓慢路段占全程的$\frac{1}{4}$，终点为全程1，因此行驶缓慢路段从全程的$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{15}{20}$处开始，到全程1处结束。
③ 对比位置：$\frac{15}{20} ＜ \frac{17}{20} ＜ 1$，说明王阿姨当前位置处于行驶缓慢路段的区间内。
$1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{20}{20} - \frac{5}{20} - \frac{2}{20} = \frac{13}{20}$
（2）思考过程：
① 先计算王阿姨此时总共行驶的路程占全程的分率：
$ \frac{9}{20} + \frac{2}{5} = \frac{9}{20} + \frac{8}{20} = \frac{17}{20} $
② 计算行驶缓慢路段的区间：已知行驶缓慢路段占全程的$\frac{1}{4}$，终点为全程1，因此行驶缓慢路段从全程的$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{15}{20}$处开始，到全程1处结束。
③ 对比位置：$\frac{15}{20} ＜ \frac{17}{20} ＜ 1$，说明王阿姨当前位置处于行驶缓慢路段的区间内。
2. 有两根同样长的彩带,第一根用去2米,第二根用去3.8米。第一根剩下的长度是第二根剩下长度的3倍,原来每根彩带长多少米?
答案
原来每根彩带长4.7米
解析
我们可以用两种符合五年级知识点的方法解题：
方法一（算术法）：
① 先求两根彩带剩下的长度差：因为两根彩带原来长度相等，所以剩下的长度差等于用去的长度差，即 $ 3.8 - 2 = 1.8 $ 米。
② 已知第一根剩下的长度是第二根剩下的3倍，说明第一根剩下的比第二根剩下的多 $ 3-1=2 $ 倍，对应长度差1.8米，因此第二根剩下的长度为 $ 1.8÷2 = 0.9 $ 米。
③ 原来彩带的长度 = 第二根剩下的长度 + 第二根用去的长度，即 $ 0.9 + 3.8 = 4.7 $ 米。
方法二（简易方程法）：
设原来每根彩带长$ x $米，第一根剩下$ (x-2) $米，第二根剩下$ (x-3.8) $米，根据题意列方程：
$ x - 2 = 3×(x - 3.8) $
展开计算：$ x - 2 = 3x - 11.4 $
等式两边同时调整计算得：$ 2x = 9.4 $，解得$ x=4.7 $
方法一（算术法）：
① 先求两根彩带剩下的长度差：因为两根彩带原来长度相等，所以剩下的长度差等于用去的长度差，即 $ 3.8 - 2 = 1.8 $ 米。
② 已知第一根剩下的长度是第二根剩下的3倍，说明第一根剩下的比第二根剩下的多 $ 3-1=2 $ 倍，对应长度差1.8米，因此第二根剩下的长度为 $ 1.8÷2 = 0.9 $ 米。
③ 原来彩带的长度 = 第二根剩下的长度 + 第二根用去的长度，即 $ 0.9 + 3.8 = 4.7 $ 米。
方法二（简易方程法）：
设原来每根彩带长$ x $米，第一根剩下$ (x-2) $米，第二根剩下$ (x-3.8) $米，根据题意列方程：
$ x - 2 = 3×(x - 3.8) $
展开计算：$ x - 2 = 3x - 11.4 $
等式两边同时调整计算得：$ 2x = 9.4 $，解得$ x=4.7 $
二、探索与实践。
小明在计算下面几道题时，发现了这样的规律：
$3^2 - 2^2 = (3 + 2)×(3 - 2)$
$5^2 - 3^2 = (5 + 3)×(5 - 3)$
$8^2 - 7^2 = (8 + 7)×(8 - 7)$
…
1. 尝试写出几个有同样规律的式子。
2. 用含有字母的式子表示这样的规律。
小明在计算下面几道题时，发现了这样的规律：
$3^2 - 2^2 = (3 + 2)×(3 - 2)$
$5^2 - 3^2 = (5 + 3)×(5 - 3)$
$8^2 - 7^2 = (8 + 7)×(8 - 7)$
…
1. 尝试写出几个有同样规律的式子。
2. 用含有字母的式子表示这样的规律。
答案
1. 示例：$4^2 - 1^2=(4+1)×(4-1)$、$6^2 - 2^2=(6+2)×(6-2)$、$9^2 - 6^2=(9+6)×(9-6)$（答案不唯一）
2. 假设a、b是两个不为0的数，且a＞b，规律可表示为：$\boldsymbol{a^2 - b^2=(a + b)×(a - b)}$
2. 假设a、b是两个不为0的数，且a＞b，规律可表示为：$\boldsymbol{a^2 - b^2=(a + b)×(a - b)}$
解析
1. 先观察给出的算式的共同特点：两个数的平方的差，等于这两个数的和乘这两个数的差，按照这个特征写出符合要求的式子即可，答案不唯一。2. 用两个不同的字母分别代表算式里的两个数，结合发现的规律，就可以写出对应的含字母的式子来表示这个规律。
3. 如果用下面的方格图表示 $5^2$，那么在方格图中继续画出 $3^2$，并看图说一说为什么 $5^2 - 3^2$ 可以用 $(5+3)×(5-3)$ 来计算。
答案
在5×5大正方形的任意角落画出边长为3的小正方形表示3²；剩余部分拆分拼接后等价于长为5+3、宽为5-3的长方形，面积相等，因此5²-3²可以用(5+3)×(5-3)计算。
解析
1. 画图方法：该方格图是5行5列的大正方形，对应表示5²，我们在大正方形的任意一个角落（例如左上角），画出占3行3列的边长为3的小正方形，这个小正方形就表示3²。
2. 原理解释：边长为5的大正方形总面积是5²，减去边长为3的小正方形的面积3²后，剩余的图形可以分割成两个长方形：一个长为5、宽为(5-3)，另一个长为3、宽为(5-3)。根据乘法分配律，两部分面积相加为5×(5-3)+3×(5-3)=(5+3)×(5-3)，说明剩余部分的面积等价于长为(5+3)、宽为(5-3)的长方形的面积，因此5²-3²可以用(5+3)×(5-3)来计算。
2. 原理解释：边长为5的大正方形总面积是5²，减去边长为3的小正方形的面积3²后，剩余的图形可以分割成两个长方形：一个长为5、宽为(5-3)，另一个长为3、宽为(5-3)。根据乘法分配律，两部分面积相加为5×(5-3)+3×(5-3)=(5+3)×(5-3)，说明剩余部分的面积等价于长为(5+3)、宽为(5-3)的长方形的面积，因此5²-3²可以用(5+3)×(5-3)来计算。
