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1. 下列计算正确的是()
A.$a^{6}÷ a^{2}=a^{3}$
B.$(-1)^{0}=0$
C.$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=\dfrac{1}{4}$
D.$2a^{5}· a^{3}=2a^{8}$
A.$a^{6}÷ a^{2}=a^{3}$
B.$(-1)^{0}=0$
C.$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=\dfrac{1}{4}$
D.$2a^{5}· a^{3}=2a^{8}$
答案
D
解析
【分析】本题考查幂的相关运算性质，需逐一回忆同底数幂的除法、零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的乘法的运算法则，对每个选项进行计算判断，找出正确选项。
【解析】
选项A：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$a^{6}÷ a^{2}=a^{6-2}=a^{4}≠ a^{3}$，故A错误；
选项B：根据零指数幂的意义，任何非零数的0次幂都等于1，可得$(-1)^{0}=1≠0$，故B错误；
选项C：根据负整数指数幂的运算法则，$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}(a≠0,p为正整数)$，可得$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4≠\frac{1}{4}$，故C错误；
选项D：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，系数相乘，可得$2a^{5}· a^{3}=2·a^{5+3}=2a^{8}$，故D正确。
【答案】D
【知识点】幂的运算、整式的乘法
【点评】本题属于基础题，主要考查幂的基本运算法则，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除、零指数幂、负整数指数幂的运算规则，逐一分析选项即可得出正确答案，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】
选项A：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$a^{6}÷ a^{2}=a^{6-2}=a^{4}≠ a^{3}$，故A错误；
选项B：根据零指数幂的意义，任何非零数的0次幂都等于1，可得$(-1)^{0}=1≠0$，故B错误；
选项C：根据负整数指数幂的运算法则，$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}(a≠0,p为正整数)$，可得$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4≠\frac{1}{4}$，故C错误；
选项D：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，系数相乘，可得$2a^{5}· a^{3}=2·a^{5+3}=2a^{8}$，故D正确。
【答案】D
【知识点】幂的运算、整式的乘法
【点评】本题属于基础题，主要考查幂的基本运算法则，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除、零指数幂、负整数指数幂的运算规则，逐一分析选项即可得出正确答案，难度较低。
【难度系数】0.7
2. $(-\dfrac{2}{5})^{2026} × (-\dfrac{5}{2})^{2027} = \_\_\_\_\_\_$。
答案
$-\dfrac{5}{2}$
解析
【分析】本题考查幂的运算，需利用积的乘方的逆运算简化计算。解题思路：先将指数较大的幂拆分为与另一幂指数相同的部分和单独的项，再通过积的乘方逆运算合并同指数的幂，最后计算结果。
【解析】原式$=(-\dfrac{2}{5})^{2026} × (-\dfrac{5}{2})^{2026} × (-\dfrac{5}{2})$，根据积的乘方逆运算$a^n·b^n=(ab)^n$，可得：$=[(-\dfrac{2}{5})×(-\dfrac{5}{2})]^{2026} × (-\dfrac{5}{2}) = 1^{2026} × (-\dfrac{5}{2}) = -\dfrac{5}{2}$。
【答案】$-\dfrac{5}{2}$
【知识点】积的乘方逆运算，幂的运算
【点评】本题是幂运算的基础题型，核心是灵活运用积的乘方的逆运算，通过拆分指数构造相同指数的幂来简化计算，需熟练掌握幂的运算性质。
【难度系数】0.6
【解析】原式$=(-\dfrac{2}{5})^{2026} × (-\dfrac{5}{2})^{2026} × (-\dfrac{5}{2})$，根据积的乘方逆运算$a^n·b^n=(ab)^n$，可得：$=[(-\dfrac{2}{5})×(-\dfrac{5}{2})]^{2026} × (-\dfrac{5}{2}) = 1^{2026} × (-\dfrac{5}{2}) = -\dfrac{5}{2}$。
【答案】$-\dfrac{5}{2}$
【知识点】积的乘方逆运算，幂的运算
【点评】本题是幂运算的基础题型，核心是灵活运用积的乘方的逆运算，通过拆分指数构造相同指数的幂来简化计算，需熟练掌握幂的运算性质。
【难度系数】0.6
3.计算:($\underline{\hspace{5cm}}$)·$(-2xy)=4x^2y-2xy$。
答案
$-2x + 1$
解析
【分析】
本题需根据“因式=积÷另一个因式”，利用多项式除以单项式的法则求解：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，即可得到所求的因式。
【解析】
设所求式子为$A$，根据题意得：
$A=(4x^2y - 2xy)÷(-2xy)$
根据多项式除以单项式法则，分别计算每一项除以单项式：
$4x^2y÷(-2xy)= -2x$，$-2xy÷(-2xy)=1$
因此$A=-2x +1$
【答案】
$-2x +1$
【知识点】
整式的除法、多项式除以单项式
【点评】
本题考查多项式除以单项式的基础运算，核心是掌握“多项式每一项分别除以单项式，再合并商”的法则，属于常规基础题，难度较低。
【难度系数】
0.7
本题需根据“因式=积÷另一个因式”，利用多项式除以单项式的法则求解：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，即可得到所求的因式。
【解析】
设所求式子为$A$，根据题意得：
$A=(4x^2y - 2xy)÷(-2xy)$
根据多项式除以单项式法则，分别计算每一项除以单项式：
$4x^2y÷(-2xy)= -2x$，$-2xy÷(-2xy)=1$
因此$A=-2x +1$
【答案】
$-2x +1$
【知识点】
整式的除法、多项式除以单项式
【点评】
本题考查多项式除以单项式的基础运算，核心是掌握“多项式每一项分别除以单项式，再合并商”的法则，属于常规基础题，难度较低。
【难度系数】
0.7
4.若$x^2y^3=-2$，则$6xy^2 · (-\dfrac{1}{2}x^3y^4)$的值为________。
答案
$-12$
解析
【分析】
本题可先依据单项式乘单项式的运算法则化简所求式子，再将已知条件$x^2y^3=-2$作为整体代入化简后的式子计算，进而得出结果。
【解析】
1. 化简式子：根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂分别相乘，可得：
$6xy^2 · (-\dfrac{1}{2}x^3y^4) = [6×(-\dfrac{1}{2})]·(x·x^3)·(y^2·y^4) = -3x^4y^6$；
2. 变形式子：利用幂的乘方逆运算，将$x^4y^6$变形为$(x^2y^3)^2$；
3. 代入计算：把$x^2y^3=-2$代入，得：$-3×(-2)^2 = -3×4 = -12$。
【答案】
$-12$
【知识点】
单项式乘单项式、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题主要考查单项式乘法运算及整体代入思想的应用，通过化简式子并整体代入已知条件，简化了计算过程，降低了运算难度。
【难度系数】
0.6
本题可先依据单项式乘单项式的运算法则化简所求式子，再将已知条件$x^2y^3=-2$作为整体代入化简后的式子计算，进而得出结果。
【解析】
1. 化简式子：根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂分别相乘，可得：
$6xy^2 · (-\dfrac{1}{2}x^3y^4) = [6×(-\dfrac{1}{2})]·(x·x^3)·(y^2·y^4) = -3x^4y^6$；
2. 变形式子：利用幂的乘方逆运算，将$x^4y^6$变形为$(x^2y^3)^2$；
3. 代入计算：把$x^2y^3=-2$代入，得：$-3×(-2)^2 = -3×4 = -12$。
【答案】
$-12$
【知识点】
单项式乘单项式、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题主要考查单项式乘法运算及整体代入思想的应用，通过化简式子并整体代入已知条件，简化了计算过程，降低了运算难度。
【难度系数】
0.6
5. 计算：
(1)$(-a^{2}b)^{3}+a^{4}b· (-2ab)^{2}$；
(2)$(x-1)(2x+1)-(x-5)(x+2)$。
(1)$(-a^{2}b)^{3}+a^{4}b· (-2ab)^{2}$；
(2)$(x-1)(2x+1)-(x-5)(x+2)$。
答案
(1) $3a^6b^3$；(2) $x^2+2x+9$
解析
【分析】
本题考查整式的混合运算，解题思路为：(1)先根据积的乘方、幂的乘方法则计算乘方，再根据单项式乘单项式法则计算乘法，最后合并同类项；(2)先根据多项式乘多项式法则分别计算两个乘积项，再去括号合并同类项。
【解析】
(1) 计算$(-a^{2}b)^{3}+a^{4}b· (-2ab)^{2}$：
第一步，计算积的乘方：$(-a^{2}b)^{3}=(-1)^3·(a^2)^3·b^3=-a^6b^3$；
第二步，计算单项式乘单项式前先算乘方：$(-2ab)^2=(-2)^2·a^2·b^2=4a^2b^2$，再计算乘法：$a^4b·4a^2b^2=4a^{4+2}b^{1+2}=4a^6b^3$；
第三步，合并同类项：$-a^6b^3 + 4a^6b^3=3a^6b^3$。
(2) 计算$(x-1)(2x+1)-(x-5)(x+2)$：
第一步，计算第一个多项式乘积：$(x-1)(2x+1)=x·2x +x·1 -1·2x -1·1=2x^2 +x -2x -1=2x^2 -x -1$；
第二步，计算第二个多项式乘积：$(x-5)(x+2)=x·x +x·2 -5·x -5·2=x^2 +2x -5x -10=x^2 -3x -10$；
第三步，去括号合并同类项：$(2x^2 -x -1)-(x^2 -3x -10)=2x^2 -x -1 -x^2 +3x +10=x^2 +2x +9$。
【答案】
(1) $3a^6b^3$；(2) $x^2+2x+9$
【知识点】
整式的混合运算、积的乘方、多项式乘多项式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，需熟练掌握幂的运算法则和多项式乘法法则，计算时要注意符号变化和同类项合并，步骤清晰即可准确求解。
【难度系数】
0.6
本题考查整式的混合运算，解题思路为：(1)先根据积的乘方、幂的乘方法则计算乘方，再根据单项式乘单项式法则计算乘法，最后合并同类项；(2)先根据多项式乘多项式法则分别计算两个乘积项，再去括号合并同类项。
【解析】
(1) 计算$(-a^{2}b)^{3}+a^{4}b· (-2ab)^{2}$：
第一步，计算积的乘方：$(-a^{2}b)^{3}=(-1)^3·(a^2)^3·b^3=-a^6b^3$；
第二步，计算单项式乘单项式前先算乘方：$(-2ab)^2=(-2)^2·a^2·b^2=4a^2b^2$，再计算乘法：$a^4b·4a^2b^2=4a^{4+2}b^{1+2}=4a^6b^3$；
第三步，合并同类项：$-a^6b^3 + 4a^6b^3=3a^6b^3$。
(2) 计算$(x-1)(2x+1)-(x-5)(x+2)$：
第一步，计算第一个多项式乘积：$(x-1)(2x+1)=x·2x +x·1 -1·2x -1·1=2x^2 +x -2x -1=2x^2 -x -1$；
第二步，计算第二个多项式乘积：$(x-5)(x+2)=x·x +x·2 -5·x -5·2=x^2 +2x -5x -10=x^2 -3x -10$；
第三步，去括号合并同类项：$(2x^2 -x -1)-(x^2 -3x -10)=2x^2 -x -1 -x^2 +3x +10=x^2 +2x +9$。
【答案】
(1) $3a^6b^3$；(2) $x^2+2x+9$
【知识点】
整式的混合运算、积的乘方、多项式乘多项式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，需熟练掌握幂的运算法则和多项式乘法法则，计算时要注意符号变化和同类项合并，步骤清晰即可准确求解。
【难度系数】
0.6
6. 如图①,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,将图①中的阴影部分拼成一个长方形,如图②所示。
(1)上述操作能验证的等式是()
A. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B. $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
C. $a^2 + ab = a(a + b)$
(2)请应用(1)中的等式解答下列问题。
①若 $a^2 - b^2 = 28, a + b = 7$, 则 $a - b =$ 。
②计算: $50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + \dots + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2$。
③计算: $(1 - \frac{1}{2^2}) × (1 - \frac{1}{3^2}) × (1 - \frac{1}{4^2}) × \dots × (1 - \frac{1}{49^2}) × (1 - \frac{1}{50^2})$。
(1)上述操作能验证的等式是()
A. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B. $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
C. $a^2 + ab = a(a + b)$
(2)请应用(1)中的等式解答下列问题。
①若 $a^2 - b^2 = 28, a + b = 7$, 则 $a - b =$ 。
②计算: $50^2 - 49^2 + 48^2 - 47^2 + \dots + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2$。
③计算: $(1 - \frac{1}{2^2}) × (1 - \frac{1}{3^2}) × (1 - \frac{1}{4^2}) × \dots × (1 - \frac{1}{49^2}) × (1 - \frac{1}{50^2})$。
答案
(1) A；(2) ① 4；② 1275；③ $\frac{51}{100}$
解析
【分析】
本题通过几何图形面积的不同表示方法验证平方差公式，再利用平方差公式解决后续计算问题。首先，图①阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2 - b^2$；图②拼成长方形，长为$(a+b)$，宽为$(a-b)$，面积为$(a+b)(a-b)$，两者相等可验证平方差公式。后续问题需灵活运用平方差公式进行变形、分组或约分简化计算。
【解析】
(1) 图①阴影面积：$S_1 = a^2 - b^2$；图②长方形面积：长为$a+b$，宽为$a-b$，故$S_2=(a+b)(a-b)$。因$S_1=S_2$，验证的等式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，故选A。
(2) ① 由平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a^2 - b^2=28$，$a+b=7$，得$28=7(a-b)$，解得$a-b=4$。
② 原式分组为$(50^2 - 49^2)+(48^2 - 47^2)+\dots+(2^2 - 1^2)$，每组用平方差公式得：
$(50-49)(50+49)+(48-47)(48+47)+\dots+(2-1)(2+1)=50+49+48+\dots+2+1$，
等差数列求和：$\frac{50×(50+1)}{2}=1275$。
③ 对每个因式变形：$1-\frac{1}{n^2}=\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}$，则原式为：
$\frac{1×3}{2^2}×\frac{2×4}{3^2}×\frac{3×5}{4^2}×\dots×\frac{48×50}{49^2}×\frac{49×51}{50^2}$，
约分后得$\frac{1×51}{2×50}=\frac{51}{100}$。
【答案】
(1) A；(2) ①4；②1275；③$\frac{51}{100}$
【知识点】
平方差公式、整式运算、代数式求值
【点评】
本题结合几何图形验证平方差公式，重点考查公式的灵活应用，分组计算和约分是简化运算的关键，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.5
本题通过几何图形面积的不同表示方法验证平方差公式，再利用平方差公式解决后续计算问题。首先，图①阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2 - b^2$；图②拼成长方形，长为$(a+b)$，宽为$(a-b)$，面积为$(a+b)(a-b)$，两者相等可验证平方差公式。后续问题需灵活运用平方差公式进行变形、分组或约分简化计算。
【解析】
(1) 图①阴影面积：$S_1 = a^2 - b^2$；图②长方形面积：长为$a+b$，宽为$a-b$，故$S_2=(a+b)(a-b)$。因$S_1=S_2$，验证的等式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，故选A。
(2) ① 由平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a^2 - b^2=28$，$a+b=7$，得$28=7(a-b)$，解得$a-b=4$。
② 原式分组为$(50^2 - 49^2)+(48^2 - 47^2)+\dots+(2^2 - 1^2)$，每组用平方差公式得：
$(50-49)(50+49)+(48-47)(48+47)+\dots+(2-1)(2+1)=50+49+48+\dots+2+1$，
等差数列求和：$\frac{50×(50+1)}{2}=1275$。
③ 对每个因式变形：$1-\frac{1}{n^2}=\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}$，则原式为：
$\frac{1×3}{2^2}×\frac{2×4}{3^2}×\frac{3×5}{4^2}×\dots×\frac{48×50}{49^2}×\frac{49×51}{50^2}$，
约分后得$\frac{1×51}{2×50}=\frac{51}{100}$。
【答案】
(1) A；(2) ①4；②1275；③$\frac{51}{100}$
【知识点】
平方差公式、整式运算、代数式求值
【点评】
本题结合几何图形验证平方差公式，重点考查公式的灵活应用，分组计算和约分是简化运算的关键，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.5
