1. 已知一粒米的质量约为 0.000 021 kg。0.000 021 用科学记数法表示为()

A.$2.1×10^{-4}$
B.$2.1×10^{-5}$
C.$2.1×10^{-6}$
D.$21×10^{-6}$

B

【分析】
本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，解题思路是：明确科学记数法的规则，对于绝对值小于1的数，形式为$a×10^{-n}$（$1≤|a|＜10$，$n$是原数中第一个非零数字前所有零的个数，包含小数点前的零），据此确定$0.000021$对应的$a$和$n$，再匹配选项得出答案。
【解析】
绝对值小于1的数用科学记数法表示时，需将原数的小数点向右移动，直到得到1到10之间的数，移动的位数的相反数即为10的指数。对于$0.000021$，把小数点向右移动5位得到$2.1$，因此$0.000021 = 2.1×10^{-5}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法（绝对值小于1的数）
【点评】
本题属于科学记数法的基础应用，核心是掌握绝对值小于1的数的科学记数法表示规则，难度较低，适合基础阶段学生巩固知识点。
【难度系数】
0.9

2. 下列计算正确的是()

A.$x^4 · x^3 = x^{12}$
B.$(a^6)^2 ÷ (a^4)^3 = a$
C.$(a^3)^2 · a^4 = a^{10}$
D.$(ab^2)^3 ÷ (-ab)^2 = -ab^4$

C

【分析】
本题考查整式幂运算的相关法则，需熟练运用同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方的运算法则，逐个计算每个选项的结果，判断是否正确。
【解析】
逐个分析选项：
A选项：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得$x^4 · x^3 = x^{4+3} = x^7 ≠ x^{12}$，故A错误；
B选项：先根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，得$(a^6)^2 = a^{6×2}=a^{12}$，$(a^4)^3 = a^{4×3}=a^{12}$；再根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，得$a^{12} ÷ a^{12} = a^{12-12}=a^0=1≠a$，故B错误；
C选项：先根据幂的乘方法则得$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6$，再根据同底数幂的乘法法则得$a^6 · a^4 = a^{6+4}=a^{10}$，故C正确；
D选项：先根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式分别乘方，得$(ab^2)^3 = a^3(b^2)^3 = a^3b^6$，$(-ab)^2 = (-1)^2a^2b^2 = a^2b^2$；再根据同底数幂的除法法则得$a^3b^6 ÷ a^2b^2 = a^{3-2}b^{6-2}=ab^4≠-ab^4$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法
【点评】
本题为整式幂运算的基础题，核心考查幂运算的基本法则，解题时需牢记各法则的指数变化规则，避免混淆指数的加、乘运算，细心计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8

3. 计算:$(-3x+1)(-2x)^{2}=(\quad)$

A.$-6x^3 - 2x^2$
B.$6x^3 - 2x^2$
C.$6x^3 + 2x^2$
D.$-12x^3 + 4x^2$

D

【分析】
本题考查整式的混合运算，解题思路为：先根据积的乘方法则计算$(-2x)^2$，再利用多项式乘单项式的运算法则展开计算，最后对比选项得出结果。计算时需注意符号和指数的运算规则，避免出错。
【解析】
解：先计算乘方项：$(-2x)^2 = (-2)^2 · x^2 = 4x^2$；
再计算多项式乘单项式：
$(-3x + 1) · 4x^2 = -3x · 4x^2 + 1 · 4x^2 = -12x^3 + 4x^2$；
对比选项可知，结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
整式的混合运算、积的乘方、单项式乘多项式
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查积的乘方和单项式乘多项式的运算法则，计算过程步骤清晰，只要掌握基本运算法则即可正确解答，是学生需熟练掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.7

4.若$2^a=2,2^b=4,2^c=0.4,2^d=5$，则$a+b+c+d$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。

4

【分析】首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$2^m · 2^n = 2^{m+n}$。题目要求$a+b+c+d$，而$a、b、c、d$分别是$2^a、2^b、2^c、2^d$的指数，因此可将$a+b+c+d$转化为$2^a · 2^b · 2^c · 2^d$的指数，通过计算该乘积的值，对应得到指数和。
【解析】根据同底数幂的乘法法则：
$2^a · 2^b · 2^c · 2^d = 2^{a+b+c+d}$
代入已知条件计算左边：
$2 × 4 × 0.4 × 5 = (2 × 4) × (0.4 × 5) = 8 × 2 = 16$
又因为$16 = 2^4$，所以$2^{a+b+c+d} = 2^4$，根据指数性质，底数相同时指数相等，因此$a+b+c+d = 4$。
【答案】4
【知识点】同底数幂的乘法，指数运算
【点评】本题考查同底数幂乘法法则的基础应用，核心是将所求指数和转化为同底数幂乘积的指数，计算过程简单直接，属于基础运算题。
【难度系数】0.3

5.若 $ x^a = 10, x^b = 4, x^c = 2 $，则 $ x^{a + 2b - 3c} = \underline{\hspace{5cm}} $。

20

【分析】要计算$x^{a + 2b - 3c}$，需利用同底数幂的运算性质，将所求式转化为已知$x^a$、$x^b$、$x^c$的形式，再代入数值计算。
【解析】根据幂的运算性质：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减；幂的乘方，指数相乘。
则$x^{a + 2b - 3c}=x^a · x^{2b} ÷ x^{3c}=x^a · (x^b)^2 ÷ (x^c)^3$。
将$x^a = 10$，$x^b = 4$，$x^c = 2$代入：
原式$=10 × 4^2 ÷ 2^3 =10 × 16 ÷ 8 =20$。
【答案】20
【知识点】同底数幂的运算、幂的乘方
【点评】本题考查幂的基本运算，核心是灵活运用幂的运算性质对代数式进行变形，属于基础题型，需熟练掌握指数的运算规则。
【难度系数】0.5

6.若$(a-5)^{a+4}=1$，则$a$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。

-4、4、6

【分析】要解决等式$(a-5)^{a+4}=1$，需考虑幂等于1的三种常见情况：①非零数的0次幂为1；②1的任何次幂为1；③-1的偶次幂为1，据此分情况讨论求解。
【解析】分三种情况计算：
1. 当指数为0且底数不为0时：$a+4=0$且$a-5≠0$，解得$a=-4$，此时$(-9)^0=1$，符合条件；
2. 当底数为1时：$a-5=1$，解得$a=6$，此时$1^{10}=1$，符合条件；
3. 当底数为-1且指数为偶数时：$a-5=-1$，解得$a=4$，此时指数$4+4=8$（偶数），$(-1)^8=1$，符合条件；
综上，$a$的值为-4、4、6。
【答案】-4、4、6
【知识点】零指数幂、有理数的乘方
【点评】本题需全面考虑幂等于1的三种情况，避免漏解，考查分类讨论思想的应用，难度适中。
【难度系数】0.4

7. 先化简,再求值:$[(x+3y)(x-3y)-(x-y)^2]+(-2y)$,其中$x=-1,y=2$。

-48

【分析】本题是整式的化简求值题，解题思路为：先利用平方差公式和完全平方公式展开式子中的括号，再合并同类项化简式子，最后将给定的x、y的值代入化简后的式子计算结果。
【解析】解：原式$=[(x^2 - 9y^2) - (x^2 - 2xy + y^2)] - 2y$
$=(x^2 - 9y^2 - x^2 + 2xy - y^2) - 2y$
$=2xy - 10y^2 - 2y$
当$x=-1$，$y=2$时，
原式$=2×(-1)×2 - 10×2^2 - 2×2$
$=-4 - 40 - 4$
$=-48$
【答案】-48
【知识点】整式的化简求值、平方差公式、完全平方公式
【点评】本题考查整式的化简求值，需熟练掌握平方差公式和完全平方公式，合并同类项时要注意符号变化，代入数值计算时需仔细，避免计算错误。
【难度系数】0.6

8.已知地球的体积约为$1.1×10^{21}\ \mathrm{m}^3$，一个乒乓球的体积约为$33.5\ \mathrm{cm}^3$，则地球的体积约等于多少个乒乓球的体积(结果用科学记数法表示，精确到0.1)？

$3.3×10^{25}$个

【分析】要计算地球体积相当于多少个乒乓球的体积，需先统一两者的体积单位，再用地球体积除以乒乓球体积，最后将结果用科学记数法表示并按要求精确。
【解析】首先进行单位换算：因为$1\ \mathrm{m}^3 = (100\ \mathrm{cm})^3 = 10^6\ \mathrm{cm}^3$，所以地球体积换算为立方厘米是$1.1×10^{21}×10^6 = 1.1×10^{27}\ \mathrm{cm}^3$。再计算数量：$\frac{1.1×10^{27}}{33.5}≈0.0328×10^{27}=3.28×10^{25}$，精确到0.1后为$3.3×10^{25}$个。
【答案】$3.3×10^{25}$个
【知识点】单位换算、科学记数法、有理数除法
【点评】本题是结合实际的数学应用题，核心是单位统一和科学记数法的运算，难度较低，主要考查学生的基础运算能力和单位转换意识。
【难度系数】0.6

9.定义:一个多项式A乘另一个多项式B,化简得到新的多项式C。若C的项数比A多的项数不超过1,则称B是A的“友好多项式”。特别地,当C的项数与A的项数相等时,则称B是A的“特别友好多项式”。
(1)若$A=x-2,B=x+3$,则B是不是A的“友好多项式”?请说明理由。
(2)若$A=x-2$,B是A的“特别友好多项式”,请写出一个符合条件的二项式:$B=$。
(3)若A是三项式,是否存在同样是三项式的B,使得B是A的“友好多项式”?若存在,请举例说明;若不存在,请说明理由。

(1) 是，理由见解析；(2) $x+2$（答案不唯一）；(3) 存在，举例见解析。

【分析】
首先明确“友好多项式”和“特别友好多项式”的定义：计算多项式A与B的乘积C，若C的项数比A多的项数不超过1，则B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相等，则B是A的“特别友好多项式”。解题时需先计算A与B的乘积，再对比项数判断是否符合定义。
【解析】
(1) 计算A·B：
$(x-2)(x+3)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6$，
A是二项式，C是三项式，C的项数比A多$3-2=1$，不超过1，因此B是A的“友好多项式”。
(2) 要找二项式B，使A·B的项数与A（二项式）相等，例如取$B=x+2$，则：
$(x-2)(x+2)=x^2-4$，结果为二项式，符合“特别友好多项式”的条件，故B可以是$x+2$（答案不唯一）。
(3) 存在，举例如下：
设A为三项式$x^2+x+1$，取B为三项式$x+1$，计算乘积：
$(x^2+x+1)(x+1)=x^3+x^2+x^2+x+x+1=x^3+2x^2+2x+1$，
C是四项式，A是三项式，C的项数比A多$4-3=1$，不超过1，因此B是A的“友好多项式”，符合条件。
【答案】
(1) 是，理由见解析；(2) $x+2$（答案不唯一）；(3) 存在，举例见解析。
【知识点】
多项式乘多项式，新定义问题
【点评】
本题为新定义题型，核心是准确理解“友好多项式”的定义，关键在于正确计算多项式乘积并判断项数，难度中等，需掌握多项式乘法的展开规则。
【难度系数】
0.5