1. 计算:$3ab^{2}· 5a^{2}b=(\quad)$

A.$8a^{2}b^{2}$
B.$8a^{3}b^{3}$
C.$15a^{3}b^{3}$
D.$15a^{2}b^{2}$

C

【分析】本题考查单项式与单项式的乘法运算，解题思路是依据单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。先计算系数的乘积，再分别计算同底数幂的乘积，最后对比选项得出结果。
【解析】根据单项式乘法法则，计算如下：
$3ab^{2}·5a^{2}b = (3×5)·(a·a^{2})·(b^{2}·b) = 15·a^{1+2}·b^{2+1} = 15a^{3}b^{3}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】本题属于整式运算中的基础题型，核心考查单项式乘单项式的运算法则，只要掌握同底数幂的乘法规则（底数不变，指数相加）即可快速解答，难度较低。
【难度系数】0.9

2. 对于任意有理数 $a,b,c,d$，定义一种新运算：$\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}=a^2 + b^2 - cd$。按照这种新运算，$\begin{pmatrix} 2x-y & 3x-y \\ y & x-y \end{pmatrix}$的计算结果是（ ）

A.$x^2 + y^2 - xy$
B.$x^2 + y^2$
C.$x^2 - y^2$
D.$x^2 + 2y^2$

B

【分析】首先明确新运算的规则：对于矩阵$\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$，运算结果为$a^2 + b^2 - cd$。解题时需先确定待求矩阵中对应$a、b、c、d$的元素，再代入公式展开计算，最后合并同类项得到结果，与选项对比即可。
【解析】根据新运算规则，待求矩阵中$a=2x-y$，$b=y$，$c=3x-y$，$d=x-y$，代入公式得：
$\begin{aligned}&(2x-y)^2 + y^2 - (3x-y)(x-y)\\=&(4x^2 -4xy + y^2) + y^2 - (3x^2 -3xy -xy + y^2)\\=&4x^2 -4xy + y^2 + y^2 -3x^2 +4xy - y^2\\=&(4x^2 -3x^2) + (-4xy +4xy) + (y^2 + y^2 - y^2)\\=&x^2 + y^2\end{aligned}$
【答案】B
【知识点】整式的混合运算、新定义运算
【点评】本题属于新定义运算的基础题型，核心是准确理解新运算的对应关系，熟练掌握整式的乘法公式及合并同类项法则，计算时需注意符号处理，避免同类项合并错误。
【难度系数】0.6

3.若$(x-2)(x+3)=x^2+ax+b$,则$a,b$的值分别为()

A.$a=5,b=-6$
B.$a=5,b=6$
C.$a=1,b=6$
D.$a=1,b=-6$

D

【分析】
本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路是先利用多项式乘多项式的法则将等式左边展开，再根据等式两边同类项的系数相等，求出$a$、$b$的值，进而选出正确选项。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$，将等式左边展开：
$\begin{aligned}(x-2)(x+3)&=x· x + x·3 -2· x -2·3\\&=x^2 +3x -2x -6\\&=x^2 +x -6\end{aligned}$
因为等式左边展开后等于右边的$x^2+ax+b$，对应同类项系数相等：$x$的一次项系数为$a$，即$a=1$；常数项为$b$，即$b=-6$，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式；同类项
【点评】
本题是初中整式运算的基础题型，考查多项式乘多项式的展开及同类项系数的对应关系，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】
0.8

4.计算：$(-3)^{-2} × (π - 6)^0 + (\dfrac{1}{2})^{-1} = \_\_\_\_\_\_$。

$\frac{19}{9}$

【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂的运算，解题思路是先分别计算每一项的结果：根据负整数指数幂法则计算$(-3)^{-2}$和$(\frac{1}{2})^{-1}$，根据零指数幂法则计算$(π - 6)^0$，再将前两项的乘积与第三项相加，即可得出最终结果。
【解析】解：
1. 计算各指数项：
由负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，得$(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{9}$，$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$；
由零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，因$π≈3.14$，故$π - 6≠0$，得$(π - 6)^0=1$；
2. 代入原式计算：
原式$=\frac{1}{9}×1 + 2=\frac{1}{9}+\frac{18}{9}=\frac{19}{9}$。
【答案】$\frac{19}{9}$
【知识点】负整数指数幂、零指数幂
【点评】本题为基础运算题，核心是掌握负整数指数幂和零指数幂的运算法则，计算时需注意零指数幂的底数不为0，负指数幂转化为正指数幂的倒数，避免计算错误。
【难度系数】0.6

5.计算：$2x^{3} · (-2xy)(-2xy)^{3}=$$\underline{\hspace{5cm}}$。

$32x^7y^4$

【分析】本题是整式的乘法运算，解题思路为：先根据积的乘方法则计算$(-2xy)^3$，再按照单项式乘法法则，将系数相乘、同底数幂分别相乘，注意符号的处理，逐步计算得出结果。
【解析】解：先计算乘方项：$(-2xy)^3 = (-2)^3x^3y^3 = -8x^3y^3$；
再计算单项式乘法：
原式$=2x^3·(-2xy)·(-8x^3y^3)$
系数相乘：$2×(-2)×(-8)=32$；
同底数幂相乘：$x^3·x·x^3 = x^{3+1+3}=x^7$，$y·y^3 = y^{1+3}=y^4$；
所以结果为$32x^7y^4$。
【答案】$32x^7y^4$
【知识点】整式的乘法、积的乘方运算
【点评】本题属于基础的整式运算题，主要考查积的乘方法则和单项式乘法法则，解题时需注意符号的确定以及同底数幂相乘时指数相加的规则，是学生需掌握的核心运算技能。
【难度系数】0.6

6.现有若干张卡片,分别是正方形卡片 A,C 和长方形卡片 B,卡片大小如图所示。若要拼一个长为 $2a+b$、宽为 $a+3b$ 的大长方形,则需要张卡片 B。

7

【分析】要解决这个问题，我们可以通过计算目标大长方形的面积，结合各卡片的面积，将大长方形的面积展开为含$a^2$、$ab$、$b^2$的形式，其中$ab$项的系数就是卡片B的数量。首先计算大长方形的面积，再利用多项式乘法展开，对应各项即可得到结果。
【解析】首先计算长为$2a+b$、宽为$a+3b$的大长方形的面积：
$\begin{aligned}(2a+b)(a+3b)&=2a· a + 2a·3b + b· a + b·3b\\&=2a^2 +6ab +ab +3b^2\\&=2a^2 +7ab +3b^2\end{aligned}$
已知卡片A的面积为$a^2$，卡片B的面积为$ab$，卡片C的面积为$b^2$，因此大长方形面积中$ab$项的系数7，就是需要卡片B的数量。
【答案】7
【知识点】多项式乘多项式、整式的面积表示
【点评】本题利用面积法结合多项式乘法，考查整式运算的实际应用，思路清晰，关键是正确展开多项式并对应各项系数，属于基础应用题型。
【难度系数】0.5

7.如图,某市有一块长为$(3a+b)\ \mathrm{m}$、宽为$(2a+b)\ \mathrm{m}$的长方形地块,规划部门计划将图中阴影部分进行绿化,在中间(空白部分)修建一座雕像。
(单位:m)
(1)长方形地块的面积是多少(用代数式表示)?
(2)绿化的面积是多少(用代数式表示)?
(3)求出当$a=5,b=3$时的绿化面积。

(1) 长方形地块的面积为$\boldsymbol{(6a^2+5ab+b^2)\ \mathrm{m}^2}$；
(2) 绿化的面积为$\boldsymbol{(5a^2+3ab)\ \mathrm{m}^2}$；
(3) 当$a=5,b=3$时，绿化面积为$\boldsymbol{170\ \mathrm{m}^2}$。

【分析】
本题是整式运算在几何面积计算中的应用，分为三个小问：第一问利用长方形面积公式直接计算；第二问通过“总面积减空白面积”求绿化面积，需运用多项式乘多项式和整式加减；第三问将给定的a、b值代入绿化面积的代数式求值。解题时要注意多项式展开的同类项合并，以及代数式代入的计算准确性。
【解析】
(1) 根据长方形面积公式：面积=长×宽，已知长为$(3a+b)\ \mathrm{m}$，宽为$(2a+b)\ \mathrm{m}$，则长方形地块的面积为：
$(3a+b)(2a+b) = 3a·2a + 3a· b + b·2a + b· b = 6a^2 + 5ab + b^2\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 中间空白部分为正方形，边长为$(a+b)\ \mathrm{m}$，其面积为$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\ (\mathrm{m}^2)$。绿化面积为长方形总面积减去空白正方形面积，因此：
$(6a^2 +5ab +b^2) - (a^2 +2ab +b^2) = 6a^2 -a^2 +5ab -2ab +b^2 -b^2 =5a^2 +3ab\ (\mathrm{m}^2)$
(3) 当$a=5$，$b=3$时，将其代入绿化面积的代数式$5a^2 +3ab$中计算：
$5×5^2 +3×5×3 =5×25 +45=125+45=170\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $(6a^2+5ab+b^2)\ \mathrm{m}^2$；(2) $(5a^2+3ab)\ \mathrm{m}^2$；(3) $170\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
多项式乘多项式、整式的加减、代数式求值
【点评】
本题结合几何图形考查整式的运算，是基础的代数应用题型，重点考查多项式乘法法则、整式加减运算以及代数式代入求值，解题时需注意同类项的合并，难度适中，适合巩固整式运算的基础。
【难度系数】
0.6