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答案略

1. 下列计算正确的是()

A.$a^{3}· a^{2}=a^{5}$
B.$2a+4b=8ab$
C.$(3a)^{3}=9a^{3}$
D.$a^{8}÷ a^{2}=a^{4}$

A

【分析】本题是判断整式运算的正确性，需回忆同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法法则，逐一分析每个选项，找出运算正确的选项。
【解析】
A选项：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$，则$a^3 · a^2 = a^{3+2} = a^5$，该选项计算正确。
B选项：$2a$与$4b$所含字母不同，不是同类项，不能合并，该选项错误。
C选项：根据积的乘方法则：$(ab)^n = a^n b^n$，则$(3a)^3 = 3^3 · a^3 = 27a^3$，而非$9a^3$，该选项错误。
D选项：根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$），则$a^8 ÷ a^2 = a^{8-2} = a^6$，而非$a^4$，该选项错误。
综上，正确答案为A。
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法
【点评】本题考查整式运算的基础法则，是初中数学核心基础知识点，需熟练掌握各类幂运算及同类项判定规则，属于巩固基础的典型题目。
【难度系数】0.8

2.计算:$(3x^{3}+6x^{2}-2x)÷2x=(\quad)$

A.$3x^{2}+3x-1$
B.$\dfrac{3}{2}x^{2}+3x$
C.$\dfrac{3}{2}x^{2}+3x+1$
D.$\dfrac{3}{2}x^{2}+3x-1$

D

【分析】
这道题考查多项式除以单项式的运算，解题思路是利用多项式除以单项式的法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，计算时需注意系数的符号和同底数幂的除法规则，最后对比选项得出答案。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，将原式拆分为三项分别除以2x：
1. 计算$3x^3÷2x$：系数相除得$\frac{3}{2}$，同底数幂相除得$x^2$，结果为$\frac{3}{2}x^2$；
2. 计算$6x^2÷2x$：系数相除得3，同底数幂相除得$x$，结果为$3x$；
3. 计算$-2x÷2x$：系数相除得$-1$，同底数幂相除得1，结果为$-1$；
将三项结果相加：$\frac{3}{2}x^2 + 3x -1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多项式除以单项式、整式的除法
【点评】
本题是整式除法的基础题型，主要考查多项式除以单项式的运算法则，计算时需注意系数的符号和同底数幂的运算规则，难度不大，属于基础题。
【难度系数】
0.7

3.计算：$3a^2 · (-2ab^3) = \underline{\hspace{5cm}}$。

-6a³b³

【分析】
计算单项式乘单项式时，需遵循单项式乘法法则：系数与系数相乘，同底数幂分别相乘，单独的字母连同指数作为积的因式。本题先算系数乘积，再算同底数幂a的乘积，最后保留b的因式即可得到结果。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则：
1. 系数相乘：$3 × (-2) = -6$；
2. 同底数幂a相乘：$a^2 · a = a^{2+1} = a^3$；
3. 单独的因式$b^3$直接保留；
因此，$3a^2 · (-2ab^3) = -6a^3b^3$。
【答案】
-6a³b³
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题考查单项式乘单项式的基础运算，属于简单题型，只要掌握单项式乘法法则就能准确计算，是对基础运算能力的常规考查。
【难度系数】
0.9

4.若$m+n=-2,mn=-2$,则$(1-m)(1-n)$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。

1

【分析】
要计算(1-m)(1-n)的值，首先利用多项式乘多项式的运算法则展开式子，展开后会出现含m+n和mn的项，题目已给出m+n与mn的具体值，因此采用整体代入法，将已知值代入展开后的式子即可求出结果。
【解析】
解：先展开(1 - m)(1 - n)：
根据多项式乘多项式法则：
$(1 - m)(1 - n) = 1×1 - 1×n - m×1 + m×n = 1 - (m + n) + mn$
已知$m + n = -2$，$mn = -2$，将其代入上式：
原式$= 1 - (-2) + (-2) = 1 + 2 - 2 = 1$
【答案】
1
【知识点】
多项式乘多项式、代数式求值
【点评】
本题考查多项式乘多项式的展开及整体代入法求代数式的值，核心是正确展开式子并运用整体代入思想，属于基础代数运算题，计算过程简单。
【难度系数】
0.7

5.将一块边长为$5a^{3}\ \mathrm{cm}$的正方形纸板的四个角分别剪去一个边长为$a^{3}\ \mathrm{cm}$的小正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子，该盒子的容积为$\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^3$。

$9a^9$

【分析】要计算无盖盒子的容积，需先确定盒子的长、宽、高：折成盒子后，盒子的高等于剪去的小正方形边长；盒子的长和宽等于原正方形边长减去2倍小正方形边长（左右各剪去1个小正方形边长），再根据长方体容积公式（长×宽×高）计算，最后利用同底数幂的乘法法则化简结果。
【解析】解：折成的无盖盒子的高为$a^3\ \mathrm{cm}$，
盒子的长和宽均为：$5a^3 - 2× a^3 = 3a^3\ \mathrm{cm}$，
根据长方体容积公式，容积为：$3a^3 × 3a^3 × a^3 = 9a^{3+3+3} = 9a^9\ (\mathrm{cm}^3)$。
【答案】$9a^9$
【知识点】整式乘法、同底数幂的乘法
【点评】本题结合图形折叠考查整式乘法的应用，核心是确定折叠后盒子的长、宽、高，需牢记同底数幂相乘的运算法则（底数不变，指数相加），属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6

6.计算:
(1)$(a^{2})^{3}· (a^{2})^{4}÷ (-a^{2})^{5}$；
(2)$(p-q)^{4}· (q-p)^{3}· (q-p)^{5}$。

(1) $\boldsymbol{-a^4}$；(2) $\boldsymbol{(q-p)^{12}}$

【分析】本题为幂的运算题，解题思路：(1)先利用幂的乘方法则化简各幂，再依据同底数幂的乘除法法则计算，重点处理符号；(2)先将底数互为相反数的幂转化为同底数幂，再用同底数幂的乘法法则计算。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$化简：
$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$，$(a^2)^4=a^{2×4}=a^8$，$(-a^2)^5=(-1)^5·a^{2×5}=-a^{10}$；
再根据同底数幂的乘除法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$、$a^m÷a^n=a^{m-n}$计算：
原式$=a^6·a^8÷(-a^{10})=a^{14}÷(-a^{10})=-a^{14-10}=-a^4$；
(2) 利用偶次幂的符号性质，将底数统一：$(p-q)^4=(q-p)^4$，则原式转化为：
$(q-p)^4·(q-p)^3·(q-p)^5$；
根据同底数幂的乘法法则计算：
原式$=(q-p)^{4+3+5}=(q-p)^{12}$；
【答案】(1)$-a^4$；(2)$(q-p)^{12}$
【知识点】幂的乘方、同底数幂的乘除运算
【点评】本题考查幂的基础运算法则，是整式运算的核心基础题型，需熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘除法法则，以及底数互为相反数时的符号转化，计算时注意指数运算和符号细节即可。
【难度系数】0.6

7. 先化简，再求值：$2x^2y - 3x(2xy - y^2) + 2(-xy^2 + 3x^2y)$，其中 $x,y$ 满足 $\left|x - \dfrac{2}{3}\right| + (y + 2)^2 = 0$。

化简结果为$2x^2y + xy^2$，求值结果为$\frac{8}{9}$

【分析】
本题需先对整式进行化简，通过去括号、合并同类项得到最简式；再根据绝对值与平方的非负性求出x、y的值，最后代入最简式计算结果。思考时要注意去括号时符号的变化，合并同类项需准确识别同类项，利用非负性求字母值是解题关键。
【解析】
1. 化简整式：
原式 = $2x^2y - 3x·2xy + 3x· y^2 + 2·(-xy^2) + 2·3x^2y$
= $2x^2y - 6x^2y + 3xy^2 - 2xy^2 + 6x^2y$
合并同类项得：$(2x^2y - 6x^2y + 6x^2y) + (3xy^2 - 2xy^2) = 2x^2y + xy^2$
2. 求x、y的值：
因为绝对值和平方数均为非负数，即$\left|x - \dfrac{2}{3}\right| ≥ 0$，$(y + 2)^2 ≥ 0$，且两者和为0，所以：
$x - \dfrac{2}{3} = 0 \implies x = \dfrac{2}{3}$；$y + 2 = 0 \implies y = -2$
3. 代入求值：
将$x=\dfrac{2}{3}$，$y=-2$代入$2x^2y + xy^2$：
原式 = $2×(\dfrac{2}{3})^2×(-2) + \dfrac{2}{3}×(-2)^2$
= $2×\dfrac{4}{9}×(-2) + \dfrac{2}{3}×4$
= $-\dfrac{16}{9} + \dfrac{8}{3} = \dfrac{8}{9}$
【答案】
化简结果为$2x^2y + xy^2$，求值结果为$\dfrac{8}{9}$
【知识点】
整式的化简、绝对值与平方的非负性、代数式求值
【点评】
本题是初中代数基础题型，结合整式化简与非负性求字母值，需注意去括号符号和合并同类项的准确性，整体难度较低，是核心考点的常规考查。
【难度系数】
0.6

8. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。例如：
$4=2^2 - 0^2,12=4^2 - 2^2,20=6^2 - 4^2$，我们称 4,12,20 这三个数为“神秘数”。
(1)36 是“神秘数”吗？请说明理由。
(2)“神秘数”一定是 4 的倍数吗？若是，请说明理由；若不是，请举出一个反例。

(1) 36是“神秘数”，理由为$36=10^2-8^2$，满足神秘数的定义；
(2) “神秘数”一定是4的倍数，所有神秘数都可表示为4与奇数的乘积，必然能被4整除。

【分析】
首先明确“神秘数”的定义：若正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则该数为神秘数。解题思路：(1)判断36是否为神秘数，需验证是否存在两个连续偶数，其平方差等于36，可设两个连续偶数为2n和2n+2（n为非负整数），通过列方程求解验证；(2)判断神秘数是否为4的倍数，需将两个连续偶数的平方差用代数式表示，化简后分析是否含因数4。
【解析】
(1) 设两个连续偶数为$2n$和$2n+2$（$n$为非负整数），则它们的平方差为：
$(2n+2)^2 - (2n)^2 = (4n^2 + 8n + 4) - 4n^2 = 8n + 4 = 4(2n+1)$
令$4(2n+1)=36$，解得$2n+1=9$，即$n=4$。此时两个连续偶数为$2×4=8$和$2×4+2=10$，验证得$10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$，符合神秘数定义，故36是神秘数。
(2) 由(1)的推导可知，任意两个连续偶数的平方差可表示为$4(2n+1)$，其中$2n+1$为正奇数，因此该式是4与奇数的乘积，必然能被4整除，故神秘数一定是4的倍数。
【答案】
(1) 36是“神秘数”，理由为$36=10^2 - 8^2$，满足神秘数的定义；(2) “神秘数”一定是4的倍数，所有神秘数都可表示为4与奇数的乘积，必然能被4整除。
【知识点】
平方差公式，代数式化简
【点评】
本题为新定义代数题型，关键是准确理解“神秘数”的定义，通过设元、利用平方差公式进行代数变形推导，考察学生的逻辑推理与代数运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.6