9. (2025 宿迁市泗阳县期中)如图,已知 $AB=$$CD$,点 $E,F$ 在线段 $BD$ 上,且 $AF=CE$.
请从 ① $BF=DE$; ② $∠ BAF=∠ DCE$;③$AF=CF$ 中,选择一个合适的选项作为已知条件,使得 $△ ABF≌△ CDE$.
你添加的条件是(填序号).
添加条件后,请证明 $AE// CF$.

9. 解:选择①,证明如下:
在 $△ ABF$ 和 $△ CDE$ 中, $\begin{cases}AB=CD,\\AF=CE,\\BF=DE,\end{cases}$所以$△ ABF≌△ CDE(\mathrm{SSS})$. 所以 $∠ B=∠ D$.
因为 $BF=DE$,所以 $BF+EF=DE+EF$,即 $BE=DF$. 在 $△ ABE$ 和 $△ CDF$ 中,
$\begin{cases}AB=CD,\\∠ B=∠ D,\\BE=DF,\end{cases}$
所以 $△ ABE≌△ CDF(\mathrm{SAS})$.
所以 $∠ AEB=∠ CFD$. 所以 $AE// CF$.
选择②,证明如下: 在 $△ ABF$ 和 $△ CDE$中, $\begin{cases}AB=CD,\\∠ BAF=∠ DCE,\\AF=CE,\end{cases}$ 所以 $△ ABF≌$$△ CDE(\mathrm{SAS})$. 所以 $∠ B=∠ D,BF=DE$.同①可证 $AE// CF$.
选择③时,不能判定$△ ABF≌△ CDE$.

1.（2025 无锡市江阴市期中）根据已知条件，能画出唯一的$△ ABC$的是（）

A.$∠ A=45°,∠ B=60°,∠ C=75°$
B.$AB=5,BC=4,∠ A=40°$
C.$∠ A=90°,∠ B=40°,AB=6$
D.$AB=5,BC=4,AC=1$

1. C

2. 如图,$AC$与$DB$交于点$O$,下列条件不能判定$△ ABC ≌ △ DCB$的是（）

A.$AB=DC,AC=DB$
B.$∠ A=∠ D,∠ ABC=∠ DCB$
C.$BO=CO,∠ A=∠ D$
D.$AB=DC,∠ ACB=∠ DBC$

2. D

3. 如图,把长度确定的两根木棍$AB$,$AC$的一
端固定在点$A$处,点$B$,$C$在射线$BM$上,固定$AB$,使木棍$AC$绕点$A$转动,得到$△ ABD$(点$D$在射线$BM$上).这个实验说明了
.

3. 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等

4. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AD$平分$∠ BAC$,$E,F$分别为线段$AD,AB$上的动点,其中$AB=8,AC=10,BD=\dfrac{8}{3}$,则$BE+EF$的最小值为.

4. $\dfrac{24}{5}$ 提示: 因为 $AD$ 平分 $∠ BAC$, 所以 $∠ FAE=∠ CAD$. 如图, 在 $AC$ 上截取 $AH=AF$, 连接 $BH$,$EH$, 过点 $B$ 作 $BG⊥ AC$ 于点 $G$. 在 $△ FAE$ 和$△ HAE$ 中, $\begin{cases}AF=AH,\\∠ FAE=∠ HAE,\\AE=AE,\end{cases}$ 所以 $△ FAE≌$$△ HAE(\mathrm{SAS})$. 所以 $EF=EH$. 所以 $EF+BE=EH+BE≥ BH≥ BG$. 所以 $EF+BE$ 的最小值为$BG$ 的长. 过点 $D$ 作 $DM⊥ AC$ 于点 $M$, 则 $∠ AMD=∠ ABD = 90°$. 在 $△ AMD$ 和 $△ ABD$ 中,
$\begin{cases}∠ AMD=∠ ABD,\\∠ MAD=∠ BAD,\\AD=AD,\end{cases}$所以$△ AMD≌△ ABD(\mathrm{AAS})$.
所以 $MD=BD=\dfrac{8}{3}$. 因为 $S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$,所以 $\dfrac{1}{2}AC· BG=\dfrac{1}{2}AB· BD+\dfrac{1}{2}AC· MD$,即$10BG=8×\dfrac{8}{3}+10×\dfrac{8}{3}$,所以 $BG=\dfrac{24}{5}$. 所以 $BE+EF$ 的最小值为 $\dfrac{24}{5}$.

5. (2025 宿迁市宿城区期中)如图 1,在长方形
$ABCD$ 中,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=10\ \mathrm{cm}$, 点 $P$从点 $B$ 出发,以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度沿 $BC$ 向点$C$ 运动,设点 $P$ 的运动时间为 $t\ \mathrm{s}$.
(1) $PC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$(用含$t$的代数式表示).
(2) 如图 2,当点 $P$ 从点 $B$ 开始运动,同时,点 $Q$ 从点 $C$ 出发,以 $v\ \mathrm{cm/s}$ 的速度沿$CD$ 向点 $D$ 运动,是否存在这样的 $v$ 值,使得$△ ABP$ 与$△ PQC$ 全等? 若存在,请求出 $v$ 的值;若不存在,请说明理由.

5. 解:(1) $(10-2t)$ 提示: 由题意知 $BP=2t\ \mathrm{cm}$,则 $PC=(10-2t)\mathrm{cm}$.
(2) ① 当 $△ ABP≌△ QCP$ 时,$BA=CQ,PB=PC$. 因为 $PB=PC,BC=10\ \mathrm{cm}$, 所以 $PB=\dfrac{1}{2}BC=5\ \mathrm{cm}$, 即 $2t=5$,解得 $t=2.5$. 因为 $BA=CQ=6\ \mathrm{cm}$, 所以$2.5v=6$,解得 $v=2.4$.
② 当 $△ ABP≌△ PCQ$ 时, $BP=CQ,AB=PC$. 因为 $AB=6\ \mathrm{cm}$, 所以 $PC=6\ \mathrm{cm}$, 所以 $BP=10-6=4(\mathrm{cm})$, 即 $2t=4$,解得 $t=2$. 因为 $CQ=BP=4\ \mathrm{cm}$, 所以$2v=4$,解得 $v=2$.

综上所述,当 $v=2.4$ 或 $2$ 时, $△ ABP$ 与$△ PQC$ 全等.