2026年小题狂做八年级数学上册苏科版提优版第22页答案
8. (2024 南京市秦淮区期中) 如图, 在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$平分$∠ BAC$,$FE$是$AC$的垂直平分线, 交$AD$于点$F$, 连接$BF$.
求证:$AF=BF$.

答案

8. 证明:连接 CF. 因为 AD 平分$∠BAC$,所以 $∠BAD=∠CAD$. 又因为 $AB=AC,AD=AD$,所以 $△ADB ≌ △ADC$ (SAS). 所以 $BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°$. 所以 AD 垂直平分 BC. 所以 $BF=CF$. 因为 FE 垂直平分 AC,所以 $AF=CF$. 所以 $AF=BF$.
1. 如图, 已知 $A B=A C$,
$A E=A D, C E$ 与 $B D$ 交于点 $F$, 连接 $A F$. 下列结论: ① $∠ A E F=∠ A D F$;

② $S_{△ B E F}=S_{△ B C F}$; ③ 直线 $A F$ 垂直平分$B C$; ④图中有 5 对全等三角形. 其中正确的结论有（
B
）

A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个

答案

1. B
2. 在$△ ABC$中,$BC=10$,$AB$,$AC$的垂直平分线分别交$BC$于点$D,E$,且$DE=4$,则$AD+AE$的值为（
C
）

A.6
B.14
C.6或14
D.8或12

答案


2. C 提示:由条件可知 $AD=BD,AE=CE$. 分两种情况:如图1,当 BD 与 CE 无重合时,$AD+AE=BD+CE=BC-DE=6$;如图2,当 BD 与 CE 有重合时,$AD+AE=BD+CE=BC+DE=14$. 综上,$AD+AE$ 的值为 6 或 14.

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC＞90°$,$AB$的垂直平分线交$AB$于点$D$,交$BC$于点$E$,$AC$的垂直平分线交$AC$于点$F$,交$BC$于点$G$.若以$BE,EG,GC$为边的三角形的面积为8,则$△ ABC$的面积可能是 （
D
）

A.12
B.14
C.16
D.18

答案

3. D 提示:连接 AE,AG. 根据线段垂直平分线的性质可得 $EA=EB,GA=GC$. 根据三角形的三边关系可得 $AE+AG＞EG$, 所以 $BE+CG＞EG$. 所以 $S_{△AEB}+S_{△ACG}＞S_{△AEG}$. 所以 $S_{△ABC}＞2S_{△AEG}=16$.
4. (2025 河池市期末)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90^{ \circ },AB=5,AC=12,EF$垂直平分$BC$,$P$为直线$EF$上一动点,则$△ ABP$周长的最小值是
17
.

答案


4. 17 提示:如图,连接 PC. 因为 EF 垂直平分 BC,所以 $PB=PC$. 所以 $PA+PB=PA+PC$. 因为 $PA+PC≥AC$(当且仅当 A,P,C 三点共线时取等号),所以 $PA+PC$ 的最小值为 AC 的长. 所以 $△ABP$ 周长的最小值$=AB+AC=5+12=17$.
5.【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？
【自主研究】
（1）如图1，直线$l$是线段$AB$的垂直平分线，点$P$在直线$l$的左侧，经测量，$PA ＜ PB$.请证明这个结论.
【迁移研究】
（2）如图2，直线$l$是线段$AB$的垂直平分线，点$C$在直线$l$外，且与点$A$在直线$l$的同侧，$D$是直线$l$上的任意一点，连接$AD$，$BC$，$CD$，试判断$BC$和$AD+CD$之间的大小关系，并说明理由.

答案


5. (1) 证明:如图1,连接 PA,PB,设 PB 与直线 l 交于点 M,连接 AM. 因为直线 l 是线段 AB 的垂直平分线,所以 $AM=BM$. 所以 $PB=PM+BM=PM+AM$. 因为 $PM+AM＞PA$,所以 $PA＜PB$.

(2) 解:如图2,$AD+CD≥BC$. 理由如下:
当点 D 不在线段 BC 上时,连接 BD. 因为直线 l 是线段 AB 的垂直平分线,所以 $AD=BD$. 因为 $BD+CD＞BC$,所以 $AD+CD＞BC$. 当点 D 在线段 BC 上时,$AD+CD=BC$. 综上可知,$AD+CD≥BC$.