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1. 下列各方程中,是二元一次方程的是（
A.$\frac{x}{3} - \frac{2}{y} = y + 5x$
B.$x + y = 1$
C.$\frac{1}{5}x = y^2 + 1$
D.$3x + 1 = 2xy$
B
）A.$\frac{x}{3} - \frac{2}{y} = y + 5x$
B.$x + y = 1$
C.$\frac{1}{5}x = y^2 + 1$
D.$3x + 1 = 2xy$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的三个判定标准：①是整式方程，也就是分母中不能含有未知数；②方程中一共含有2个不同的未知数；③含有未知数的项的次数都为1。接下来把每个选项对照这三个标准逐一排查，排除不符合要求的选项就能得到正确答案。
【解析】
解：根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。
选项A：分母中含有未知数y，属于分式方程，不满足整式方程的要求，不是二元一次方程；
选项B：含有x、y两个未知数，x、y的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义；
选项C：未知数y的次数是2，不满足“含未知数的项的次数为1”的要求，不是二元一次方程；
选项D：项2xy的次数是x的次数1与y的次数1的和，等于2，不满足次数要求，不是二元一次方程。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程的定义
2. 整式方程的识别
3. 单项式次数的判断
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确把握二元一次方程的三个判定要素，要特别注意避免将分母含未知数的分式方程、含高次项或未知数乘积项的方程误判为二元一次方程。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的三个判定标准：①是整式方程，也就是分母中不能含有未知数；②方程中一共含有2个不同的未知数；③含有未知数的项的次数都为1。接下来把每个选项对照这三个标准逐一排查，排除不符合要求的选项就能得到正确答案。
【解析】
解：根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。
选项A：分母中含有未知数y，属于分式方程，不满足整式方程的要求，不是二元一次方程；
选项B：含有x、y两个未知数，x、y的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义；
选项C：未知数y的次数是2，不满足“含未知数的项的次数为1”的要求，不是二元一次方程；
选项D：项2xy的次数是x的次数1与y的次数1的和，等于2，不满足次数要求，不是二元一次方程。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程的定义
2. 整式方程的识别
3. 单项式次数的判断
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确把握二元一次方程的三个判定要素，要特别注意避免将分母含未知数的分式方程、含高次项或未知数乘积项的方程误判为二元一次方程。
【难度系数】
0.8
2.如果方程$x-y=3$与下面方程中的一个组成的方程组的解为$\begin{cases}x=4,\\y=1,\end{cases}$那么这个方程是（ ）
A.$2(x-y)=6y$
B.$\frac{1}{4}x+2y=5$
C.$x+2y=9$
D.$3x-4y=16$
A.$2(x-y)=6y$
B.$\frac{1}{4}x+2y=5$
C.$x+2y=9$
D.$3x-4y=16$
答案
2.A
解析
【分析】
本题要求找出能和方程$x-y=3$组成方程组，且解为$\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}$的方程。解题核心思路是利用二元一次方程组的解的性质：方程组的解必须满足组内的每一个方程，因此我们只需把已知的$x$、$y$的值分别代入四个选项的方程中，验证哪个方程左右两边相等，即为正确答案。
【解析】
将$\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}$依次代入各选项的方程进行验证：
选项A：左边$=2(x-y)=2×(4-1)=6$，右边$=6y=6×1=6$，左边=右边，符合要求；
选项B：左边$=\frac{1}{4}x+2y=\frac{1}{4}×4 + 2×1=3$，右边$=5$，左边≠右边，不符合要求；
选项C：左边$=x+2y=4+2×1=6$，右边$=9$，左边≠右边，不符合要求；
选项D：左边$=3x-4y=3×4 -4×1=8$，右边$=16$，左边≠右边，不符合要求。
因此符合条件的方程是选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程组的解的定义
2. 代入法验证方程的解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程组解的概念的理解，只要掌握“方程组的解满足组内所有方程”这一性质，通过代入验证即可快速解题，计算量小，出错率较低。
【难度系数】
0.8
本题要求找出能和方程$x-y=3$组成方程组，且解为$\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}$的方程。解题核心思路是利用二元一次方程组的解的性质：方程组的解必须满足组内的每一个方程，因此我们只需把已知的$x$、$y$的值分别代入四个选项的方程中，验证哪个方程左右两边相等，即为正确答案。
【解析】
将$\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}$依次代入各选项的方程进行验证：
选项A：左边$=2(x-y)=2×(4-1)=6$，右边$=6y=6×1=6$，左边=右边，符合要求；
选项B：左边$=\frac{1}{4}x+2y=\frac{1}{4}×4 + 2×1=3$，右边$=5$，左边≠右边，不符合要求；
选项C：左边$=x+2y=4+2×1=6$，右边$=9$，左边≠右边，不符合要求；
选项D：左边$=3x-4y=3×4 -4×1=8$，右边$=16$，左边≠右边，不符合要求。
因此符合条件的方程是选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程组的解的定义
2. 代入法验证方程的解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程组解的概念的理解，只要掌握“方程组的解满足组内所有方程”这一性质，通过代入验证即可快速解题，计算量小，出错率较低。
【难度系数】
0.8
3.已知方程组$\begin{cases}x+y=4, \\ y+z=6, \\ z+x=8,\end{cases}$则$x+y+z$的值是（ ）
A.9
B.8
C.7
D.6
A.9
B.8
C.7
D.6
答案
3.A
解析
【分析】
观察给定的三个方程，可发现三个方程左边相加后刚好是2倍的(x+y+z)，右边是三个常数的和。我们可以利用等式的性质，将三个方程左右两侧分别相加，不需要单独计算x、y、z的具体值，就能直接求出x+y+z的结果，这种整体计算的思路更简便。
【解析】
解：将三个方程的左右两边分别相加，可得：
$(x+y)+(y+z)+(z+x)=4+6+8$
整理左边得：$2x+2y+2z=18$
提取公因式得：$2(x+y+z)=18$
等式两边同时除以2，得：$x+y+z=9$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质，方程组整体求值
【点评】
本题考查方程组的求值技巧，不需要逐个求解未知数，通过整体相加的方法即可快速得到结果，能很好地锻炼整体思维能力。
【难度系数】
0.8
观察给定的三个方程，可发现三个方程左边相加后刚好是2倍的(x+y+z)，右边是三个常数的和。我们可以利用等式的性质，将三个方程左右两侧分别相加，不需要单独计算x、y、z的具体值，就能直接求出x+y+z的结果，这种整体计算的思路更简便。
【解析】
解：将三个方程的左右两边分别相加，可得：
$(x+y)+(y+z)+(z+x)=4+6+8$
整理左边得：$2x+2y+2z=18$
提取公因式得：$2(x+y+z)=18$
等式两边同时除以2，得：$x+y+z=9$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质，方程组整体求值
【点评】
本题考查方程组的求值技巧，不需要逐个求解未知数，通过整体相加的方法即可快速得到结果，能很好地锻炼整体思维能力。
【难度系数】
0.8
4. 如果方程组$\begin{cases}ax - by =5, \\4x - y=9\end{cases}$与$\begin{cases}ax + by=3, \\2x +3y=1\end{cases}$有相同的解，则$a$，$b$的值是（ ）
A.$\begin{cases} a=4, \\b=-5 \end{cases}$
B.$\begin{cases} a=2, \\b=-3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} a=\frac{5}{2}, \\b=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} a=2, \\b=1 \end{cases}$
A.$\begin{cases} a=4, \\b=-5 \end{cases}$
B.$\begin{cases} a=2, \\b=-3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} a=\frac{5}{2}, \\b=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} a=2, \\b=1 \end{cases}$
答案
4.D
解析
【分析】
两个方程组有相同的解，说明这个公共解同时满足四个方程。解题思路为：第一步先把两个方程组中不含参数a、b的方程挑出来，组成新的二元一次方程组，求出x和y的公共解；第二步再把求出的x、y代入含有a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可得到a、b的值。
【解析】
因为两个方程组有相同的解，所以该解同时满足方程$4x - y=9$和$2x +3y=1$，先联立这两个方程求解：
联立得$\begin{cases}4x - y=9&① \\2x +3y=1&②\end{cases}$
由①移项得：$y=4x-9$ ③
把③代入②得：$2x + 3(4x-9)=1$
展开计算得：$2x +12x -27=1$，整理得$14x=28$，解得$x=2$
把$x=2$代入③得：$y=4×2 -9= -1$
因此两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$
将$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$代入$\begin{cases}ax - by =5 \\ax + by=3\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a + b=5&④ \\2a - b=3&⑤\end{cases}$
④+⑤消去b得：$4a=8$，解得$a=2$
把$a=2$代入④得：$2×2 +b=5$，解得$b=1$
即$\begin{cases}a=2 \\b=1\end{cases}$
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，同解方程组性质
【点评】
本题是二元一次方程组的典型题型，解题核心是抓住“相同解”的含义，先求出四个方程的公共解，再代入含参数的方程求解，熟练掌握代入消元法和加减消元法就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
两个方程组有相同的解，说明这个公共解同时满足四个方程。解题思路为：第一步先把两个方程组中不含参数a、b的方程挑出来，组成新的二元一次方程组，求出x和y的公共解；第二步再把求出的x、y代入含有a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可得到a、b的值。
【解析】
因为两个方程组有相同的解，所以该解同时满足方程$4x - y=9$和$2x +3y=1$，先联立这两个方程求解：
联立得$\begin{cases}4x - y=9&① \\2x +3y=1&②\end{cases}$
由①移项得：$y=4x-9$ ③
把③代入②得：$2x + 3(4x-9)=1$
展开计算得：$2x +12x -27=1$，整理得$14x=28$，解得$x=2$
把$x=2$代入③得：$y=4×2 -9= -1$
因此两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$
将$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$代入$\begin{cases}ax - by =5 \\ax + by=3\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a + b=5&④ \\2a - b=3&⑤\end{cases}$
④+⑤消去b得：$4a=8$，解得$a=2$
把$a=2$代入④得：$2×2 +b=5$，解得$b=1$
即$\begin{cases}a=2 \\b=1\end{cases}$
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，同解方程组性质
【点评】
本题是二元一次方程组的典型题型，解题核心是抓住“相同解”的含义，先求出四个方程的公共解，再代入含参数的方程求解，熟练掌握代入消元法和加减消元法就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
5.明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醥酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人。如今33位客人醉倒了，他们
总共饮19瓶酒。试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒$x$瓶，薄酒$y$瓶，根据题意，可列方程组为（
A.$\begin{cases} x+y=19, \\ 3x+\dfrac{1}{3}y=33 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=19, \\ x+3y=33 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=19, \\ \dfrac{1}{3}x+3y=33 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=19, \\ 3x+y=33 \end{cases}$
总共饮19瓶酒。试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒$x$瓶，薄酒$y$瓶，根据题意，可列方程组为（
A
）A.$\begin{cases} x+y=19, \\ 3x+\dfrac{1}{3}y=33 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=19, \\ x+3y=33 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=19, \\ \dfrac{1}{3}x+3y=33 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=19, \\ 3x+y=33 \end{cases}$
答案
5.A
解析
【分析】
列二元一次方程组的核心是找到两个独立的等量关系，本题可以从总瓶数、总醉客数两个角度分别梳理等量关系：首先，好酒和薄酒的总瓶数是19瓶，可得到第一个方程；其次，33位客人醉倒，即好酒喝倒的人数加薄酒喝倒的人数总和为33，据此推导第二个方程，再匹配选项即可。
【解析】
第一步，根据总瓶数列第一个方程：设有好酒$x$瓶，薄酒$y$瓶，两种酒共19瓶，可得$x+y=19$。
第二步，根据总醉客数列第二个方程：1瓶好酒醉3位客人，$x$瓶好酒可醉倒$3x$位客人；3瓶薄酒醉1位客人，即1瓶薄酒可醉倒$\frac{1}{3}$位客人，$y$瓶薄酒可醉倒$\frac{1}{3}y$位客人，总共醉倒33位客人，可得$3x+\frac{1}{3}y=33$。
综上，可列方程组为$\begin{cases} x+y=19 \\ 3x+\dfrac{1}{3}y=33 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
实际问题列二元一次方程组，等量关系提取
【点评】
本题以古代数学典籍中的问题为背景，考查学生从文字材料中提取有效信息、建立等量关系的能力，解题的关键是准确理解两种酒对应的醉客人数计算方式。
【难度系数】
0.8
列二元一次方程组的核心是找到两个独立的等量关系，本题可以从总瓶数、总醉客数两个角度分别梳理等量关系：首先，好酒和薄酒的总瓶数是19瓶，可得到第一个方程；其次，33位客人醉倒，即好酒喝倒的人数加薄酒喝倒的人数总和为33，据此推导第二个方程，再匹配选项即可。
【解析】
第一步，根据总瓶数列第一个方程：设有好酒$x$瓶，薄酒$y$瓶，两种酒共19瓶，可得$x+y=19$。
第二步，根据总醉客数列第二个方程：1瓶好酒醉3位客人，$x$瓶好酒可醉倒$3x$位客人；3瓶薄酒醉1位客人，即1瓶薄酒可醉倒$\frac{1}{3}$位客人，$y$瓶薄酒可醉倒$\frac{1}{3}y$位客人，总共醉倒33位客人，可得$3x+\frac{1}{3}y=33$。
综上，可列方程组为$\begin{cases} x+y=19 \\ 3x+\dfrac{1}{3}y=33 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
实际问题列二元一次方程组，等量关系提取
【点评】
本题以古代数学典籍中的问题为背景，考查学生从文字材料中提取有效信息、建立等量关系的能力，解题的关键是准确理解两种酒对应的醉客人数计算方式。
【难度系数】
0.8
6. 如果$\begin{cases}x=m, \\ y=n\end{cases}$是方程$2x - 3y = 2020$的一组解，那么代数式$2025 - 2m + 3n =$ ______ 。
答案
6.5
解析
【分析】
解题可分为两步思考：第一步，根据二元一次方程解的定义，将解代入原方程，得到关于m、n的关系式2m - 3n = 2020；第二步，观察所求代数式的结构，将其变形为含有2m - 3n的形式，采用整体代入法计算，无需单独求解m、n的值，简化计算过程。
【解析】
∵ $\begin{cases}x=m, \\ y=n\end{cases}$是方程$2x - 3y = 2020$的一组解，
∴ 将$x=m$、$y=n$代入方程，得：
$2m - 3n = 2020$，
对代数式$2025 - 2m + 3n$变形可得：
$2025 - 2m + 3n = 2025 - (2m - 3n)$，
将$2m - 3n = 2020$代入上式，得：
$2025 - 2020 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
1. 二元一次方程的解的定义
2. 整体代入求值
【点评】
本题核心考查整体代入的数学思想，解题时无需计算m、n的具体数值，通过变形所求代数式，直接代入已知的整体关系即可快速得出结果，是二元一次方程章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.85
解题可分为两步思考：第一步，根据二元一次方程解的定义，将解代入原方程，得到关于m、n的关系式2m - 3n = 2020；第二步，观察所求代数式的结构，将其变形为含有2m - 3n的形式，采用整体代入法计算，无需单独求解m、n的值，简化计算过程。
【解析】
∵ $\begin{cases}x=m, \\ y=n\end{cases}$是方程$2x - 3y = 2020$的一组解，
∴ 将$x=m$、$y=n$代入方程，得：
$2m - 3n = 2020$，
对代数式$2025 - 2m + 3n$变形可得：
$2025 - 2m + 3n = 2025 - (2m - 3n)$，
将$2m - 3n = 2020$代入上式，得：
$2025 - 2020 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
1. 二元一次方程的解的定义
2. 整体代入求值
【点评】
本题核心考查整体代入的数学思想，解题时无需计算m、n的具体数值，通过变形所求代数式，直接代入已知的整体关系即可快速得出结果，是二元一次方程章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.85
7.若$\begin{cases}3x^{a-1}+8y=2, \\4x + bz = y\end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程组，则$ab=$ ______ 。
答案
7.0
解析
【分析】要解决这道题，首先要明确关于x、y的二元一次方程组的核心要求：一是方程组中只能含有x、y两个未知数，不能存在其他未知数；二是所有含x、y的项的次数都为1，且方程为整式方程。接下来分别对应两个方程分析参数：首先看第一个方程，x的指数是a-1，要满足一次的要求，即可求出a的值；再看第二个方程，里面出现了字母z，要让z不算作未知数，就必须让z的系数b为0，消去z项，最后计算ab的乘积即可。
【解析】解：
∵ $\begin{cases}3x^{a-1}+8y=2, \\4x + bz = y\end{cases}$是关于x，y的二元一次方程组，
∴ 第一个方程中x的次数为1，即 $a-1=1$，解得 $a=2$；
同时第二个方程中不能含有未知数z，因此z的系数为0，即 $b=0$；
∴ $ab=2×0=0$。
【答案】0
【知识点】1. 二元一次方程组的定义 2. 代数式求值
【点评】本题重点考查对二元一次方程组概念的掌握，易错点是容易忽略第二个方程中的z项，忘记将z的系数设为0。解题时只要牢牢抓住“二元”即只有2个未知数、“一次”即未知数最高次数为1这两个核心特征，就能快速求出参数的值。
【难度系数】0.7
【解析】解：
∵ $\begin{cases}3x^{a-1}+8y=2, \\4x + bz = y\end{cases}$是关于x，y的二元一次方程组，
∴ 第一个方程中x的次数为1，即 $a-1=1$，解得 $a=2$；
同时第二个方程中不能含有未知数z，因此z的系数为0，即 $b=0$；
∴ $ab=2×0=0$。
【答案】0
【知识点】1. 二元一次方程组的定义 2. 代数式求值
【点评】本题重点考查对二元一次方程组概念的掌握，易错点是容易忽略第二个方程中的z项，忘记将z的系数设为0。解题时只要牢牢抓住“二元”即只有2个未知数、“一次”即未知数最高次数为1这两个核心特征，就能快速求出参数的值。
【难度系数】0.7
8.对于解二元一次方程组
① $\begin{cases} y=2x+1, \\ 6x+5y=-11; \end{cases}$ ② $\begin{cases} 2x+3y=10, \\ 2x-3y=-6. \end{cases}$ 下面
是四位同学的解法，甲：①②均用代入法；
乙：①②均用加减法；丙：①用代入法，②用加减法；
丁：①用加减法，②用代入法。其中
所用的解法比较简便的是。
① $\begin{cases} y=2x+1, \\ 6x+5y=-11; \end{cases}$ ② $\begin{cases} 2x+3y=10, \\ 2x-3y=-6. \end{cases}$ 下面
是四位同学的解法，甲：①②均用代入法；
乙：①②均用加减法；丙：①用代入法，②用加减法；
丁：①用加减法，②用代入法。其中
所用的解法比较简便的是。
答案
8.丙
解析
【分析】
解题时首先要明确代入消元法和加减消元法的适用场景：代入法更适合方程组中有一个方程已经直接给出“一个未知数用含另一个未知数的式子表示”的形式，代入后可直接消元；加减法更适合两个方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数的情况，直接加减即可快速消元。接下来分别分析两个方程组的特征：方程组①的第一个方程直接给出y关于x的表达式，符合代入法的适用条件；方程组②中x的系数相等、y的系数互为相反数，符合加减法的适用条件，据此即可选出最简便的解法。
【解析】
1. 分析方程组①：$\begin{cases} y=2x+1 \\ 6x+5y=-11 \end{cases}$，第一个方程已经把y用含x的式子表示，直接将其代入第二个方程即可消去y，得到只含x的一元一次方程，不需要额外变形，因此①用代入法更简便。
2. 分析方程组②：$\begin{cases} 2x+3y=10 \\ 2x-3y=-6 \end{cases}$，两个方程中x的系数相等，y的系数互为相反数，直接将两个方程相加可消去y，相减可消去x，不需要调整系数，因此②用加减法更简便。
综上，①用代入法、②用加减法的解法最简便，对应丙的选择。
【答案】
丙
【知识点】
二元一次方程组解法，代入消元法，加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组消元方法的选择，解题时需结合方程组中未知数的系数特征灵活选择合适的消元方法，能有效减少计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确代入消元法和加减消元法的适用场景：代入法更适合方程组中有一个方程已经直接给出“一个未知数用含另一个未知数的式子表示”的形式，代入后可直接消元；加减法更适合两个方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数的情况，直接加减即可快速消元。接下来分别分析两个方程组的特征：方程组①的第一个方程直接给出y关于x的表达式，符合代入法的适用条件；方程组②中x的系数相等、y的系数互为相反数，符合加减法的适用条件，据此即可选出最简便的解法。
【解析】
1. 分析方程组①：$\begin{cases} y=2x+1 \\ 6x+5y=-11 \end{cases}$，第一个方程已经把y用含x的式子表示，直接将其代入第二个方程即可消去y，得到只含x的一元一次方程，不需要额外变形，因此①用代入法更简便。
2. 分析方程组②：$\begin{cases} 2x+3y=10 \\ 2x-3y=-6 \end{cases}$，两个方程中x的系数相等，y的系数互为相反数，直接将两个方程相加可消去y，相减可消去x，不需要调整系数，因此②用加减法更简便。
综上，①用代入法、②用加减法的解法最简便，对应丙的选择。
【答案】
丙
【知识点】
二元一次方程组解法，代入消元法，加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组消元方法的选择，解题时需结合方程组中未知数的系数特征灵活选择合适的消元方法，能有效减少计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
9.小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息算一算，若小明把50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是
56
cm.答案
9.56
解析
【分析】
要计算50个纸杯叠放的高度，首先需要明确纸杯叠放的高度规律：叠放总高度=单个纸杯的高度+每多叠1个纸杯新增的高度×(纸杯总数-1)。我们可以设单个纸杯高度为x cm，每多叠1个纸杯高度增加y cm，根据图中两组纸杯的数量和对应高度，列出二元一次方程组求解x、y，再代入纸杯数量50就能算出总高度。
【解析】
设1个纸杯的自身高度为$ x \, \mathrm{cm} $，每多叠放1个纸杯高度增加$ y \, \mathrm{cm} $。
观察图形可得：3个纸杯叠放高度为9cm，8个纸杯叠放高度为14cm，根据高度规律列方程组：
$\begin{cases}x + (3-1)y = 9 \\x + (8-1)y = 14\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}x + 2y = 9 \quad \mathrm{(1)} \\x + 7y = 14 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
用(2)-(1)消去x，得：$ 5y=5 $，解得$ y=1 $。
将$ y=1 $代入(1)，得：$ x+2×1=9 $，解得$ x=7 $。
因此n个纸杯叠放的高度公式为：$ h=7+(n-1)×1 = n+6 $。
当$ n=50 $时，$ h=50+6=56 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
56
【知识点】
二元一次方程组的应用、代数式求值
【点评】
本题结合生活场景出题，解题核心是找到纸杯叠放高度随数量变化的固定规律，通过设未知数列方程组求出基础高度和新增高度两个常量，再代入计算即可，考查了用方程思想解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要计算50个纸杯叠放的高度，首先需要明确纸杯叠放的高度规律：叠放总高度=单个纸杯的高度+每多叠1个纸杯新增的高度×(纸杯总数-1)。我们可以设单个纸杯高度为x cm，每多叠1个纸杯高度增加y cm，根据图中两组纸杯的数量和对应高度，列出二元一次方程组求解x、y，再代入纸杯数量50就能算出总高度。
【解析】
设1个纸杯的自身高度为$ x \, \mathrm{cm} $，每多叠放1个纸杯高度增加$ y \, \mathrm{cm} $。
观察图形可得：3个纸杯叠放高度为9cm，8个纸杯叠放高度为14cm，根据高度规律列方程组：
$\begin{cases}x + (3-1)y = 9 \\x + (8-1)y = 14\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}x + 2y = 9 \quad \mathrm{(1)} \\x + 7y = 14 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
用(2)-(1)消去x，得：$ 5y=5 $，解得$ y=1 $。
将$ y=1 $代入(1)，得：$ x+2×1=9 $，解得$ x=7 $。
因此n个纸杯叠放的高度公式为：$ h=7+(n-1)×1 = n+6 $。
当$ n=50 $时，$ h=50+6=56 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
56
【知识点】
二元一次方程组的应用、代数式求值
【点评】
本题结合生活场景出题，解题核心是找到纸杯叠放高度随数量变化的固定规律，通过设未知数列方程组求出基础高度和新增高度两个常量，再代入计算即可，考查了用方程思想解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
10.已知方程组$\begin{cases}ax +5y=15, \\4x -by=-2,\end{cases}$由于甲看错了方程中的$a$得到方程组的解为$\begin{cases}x=-13, \\y=-1,\end{cases}$乙看错了方程中的$b$得到方程组的解为$\begin{cases}x=5, \\y=4.\end{cases}$若按正确的$a,b$计算，求出原方程组的正确解。
10.已知方程组$\begin{cases}ax +5y=15, \\4x -by=-2,\end{cases}$由于甲看错了方程中的$a$得到方程组的解为$\begin{cases}x=-13, \\y=-1,\end{cases}$乙看错了方程中的$b$得到方程组的解为$\begin{cases}x=5, \\y=4.\end{cases}$若按正确的$a,b$计算，求出原方程组的正确解。
答案
10.【解析】将$x=-13,y=-1$代入方程组中的第二个方程
得$-52+b=-2$，
解得$b=50$。
将$x=5,y=4$代入方程组中的第一个方程得$5a+20=15$，
解得$a=-1$。
则方程组为$\begin{cases}-x+5y=15①,\\4x-50y=-2②,\end{cases}$
$①×10+②,得-6x=148$，
解得$x=-\dfrac{74}{3}$。
将$x=-\dfrac{74}{3}$代入①得$y=-\dfrac{29}{15}$，
则方程组的正确解为$\begin{cases}x=-\dfrac{74}{3},\\y=-\dfrac{29}{15}.\end{cases}$
得$-52+b=-2$，
解得$b=50$。
将$x=5,y=4$代入方程组中的第一个方程得$5a+20=15$，
解得$a=-1$。
则方程组为$\begin{cases}-x+5y=15①,\\4x-50y=-2②,\end{cases}$
$①×10+②,得-6x=148$，
解得$x=-\dfrac{74}{3}$。
将$x=-\dfrac{74}{3}$代入①得$y=-\dfrac{29}{15}$，
则方程组的正确解为$\begin{cases}x=-\dfrac{74}{3},\\y=-\dfrac{29}{15}.\end{cases}$
解析
【分析】
解题的核心是明确“看错某一个未知数的系数时，得到的解仍然满足系数未看错的方程”。首先，甲看错了a，说明他得到的解符合不含a的第二个方程，代入第二个方程即可求出正确的b；乙看错了b，说明他得到的解符合不含b的第一个方程，代入第一个方程即可求出正确的a。得到正确的a、b后，代入原方程组，用加减消元法求解新的方程组，就能得到原方程组的正确解。
【解析】
∵甲看错了方程中的a，
∴$\begin{cases}x=-13, \\y=-1\end{cases}$是方程$4x-by=-2$的解，代入得：
$4×(-13)-b×(-1)=-2$，即$-52+b=-2$，解得$b=50$。
∵乙看错了方程中的b，
∴$\begin{cases}x=5, \\y=4\end{cases}$是方程$ax+5y=15$的解，代入得：
$5a+5×4=15$，即$5a+20=15$，解得$a=-1$。
将$a=-1$、$b=50$代入原方程组，得到正确的方程组：
$\begin{cases}-x+5y=15 \quad ① \\4x-50y=-2 \quad ② \end{cases}$
将①$×10$得：$-10x+50y=150 \quad ③$
③+②得：$-6x=148$，解得$x=-\dfrac{74}{3}$。
把$x=-\dfrac{74}{3}$代入①得：$\dfrac{74}{3}+5y=15$，解得$y=-\dfrac{29}{15}$。
【答案】
$\begin{cases}x=-\dfrac{74}{3}, \\y=-\dfrac{29}{15}\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解的定义，加减消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的经典错解题型，重点考察对“方程组的解满足方程组内每一个方程”这一概念的理解，需要先通过错解求出正确的未知系数，再求解方程组，同时对基础运算能力也有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题的核心是明确“看错某一个未知数的系数时，得到的解仍然满足系数未看错的方程”。首先，甲看错了a，说明他得到的解符合不含a的第二个方程，代入第二个方程即可求出正确的b；乙看错了b，说明他得到的解符合不含b的第一个方程，代入第一个方程即可求出正确的a。得到正确的a、b后，代入原方程组，用加减消元法求解新的方程组，就能得到原方程组的正确解。
【解析】
∵甲看错了方程中的a，
∴$\begin{cases}x=-13, \\y=-1\end{cases}$是方程$4x-by=-2$的解，代入得：
$4×(-13)-b×(-1)=-2$，即$-52+b=-2$，解得$b=50$。
∵乙看错了方程中的b，
∴$\begin{cases}x=5, \\y=4\end{cases}$是方程$ax+5y=15$的解，代入得：
$5a+5×4=15$，即$5a+20=15$，解得$a=-1$。
将$a=-1$、$b=50$代入原方程组，得到正确的方程组：
$\begin{cases}-x+5y=15 \quad ① \\4x-50y=-2 \quad ② \end{cases}$
将①$×10$得：$-10x+50y=150 \quad ③$
③+②得：$-6x=148$，解得$x=-\dfrac{74}{3}$。
把$x=-\dfrac{74}{3}$代入①得：$\dfrac{74}{3}+5y=15$，解得$y=-\dfrac{29}{15}$。
【答案】
$\begin{cases}x=-\dfrac{74}{3}, \\y=-\dfrac{29}{15}\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解的定义，加减消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的经典错解题型，重点考察对“方程组的解满足方程组内每一个方程”这一概念的理解，需要先通过错解求出正确的未知系数，再求解方程组，同时对基础运算能力也有一定要求。
【难度系数】
0.6
