登录
11.某大型物流公司急需将170吨物资运送到甲、乙两地，现有A,B两种车型可供选择，每辆车的运载能力和运费表示如下：（假设每辆车均达到最大满载量）
(1)若要将全部物资用A,B两种车型来运送，运费恰好是18 000元，问需要A,B两种车型各几辆；
(2)因特殊情况安排，部分司机参与其他活动，该物流公司经理调拨一种载重量为10吨的C种车型加入运送，恰好一次性全部运送完成，已知车辆总数为22辆（三种车辆都有），试通过计算判断有几种运送方案。
(1)若要将全部物资用A,B两种车型来运送，运费恰好是18 000元，问需要A,B两种车型各几辆；
(2)因特殊情况安排，部分司机参与其他活动，该物流公司经理调拨一种载重量为10吨的C种车型加入运送，恰好一次性全部运送完成，已知车辆总数为22辆（三种车辆都有），试通过计算判断有几种运送方案。
答案
11.【解析】(1)设需要A车型$x$辆,B车型$y$辆，
由题意得$\begin{cases}5x+8y=170,\\600x+800y=18\ 000,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=10,\\y=15,\end{cases}$
∴需要A车型10辆,需要B车型15辆。
(2)设需要A车型$a$辆,B车型$b$辆,则需要C车型$(22-a-b)$辆，
由题意得$5a+8b+10(22-a-b)=170$，
整理得$a=10-\dfrac{2}{5}b$，
∵$a,b$均为正整数,且$a+b＜22$，
∴$\begin{cases}a=8,\\b=5\end{cases}$或$\begin{cases}a=6,\\b=10\end{cases}$或$\begin{cases}a=4,\\b=15.\end{cases}$
有3种运送方案：
①A车型8辆,B车型5辆,C车型9辆；
②A车型6辆,B车型10辆,C车型6辆；
③A车型4辆,B车型15辆,C车型3辆。
由题意得$\begin{cases}5x+8y=170,\\600x+800y=18\ 000,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=10,\\y=15,\end{cases}$
∴需要A车型10辆,需要B车型15辆。
(2)设需要A车型$a$辆,B车型$b$辆,则需要C车型$(22-a-b)$辆，
由题意得$5a+8b+10(22-a-b)=170$，
整理得$a=10-\dfrac{2}{5}b$，
∵$a,b$均为正整数,且$a+b＜22$，
∴$\begin{cases}a=8,\\b=5\end{cases}$或$\begin{cases}a=6,\\b=10\end{cases}$或$\begin{cases}a=4,\\b=15.\end{cases}$
有3种运送方案：
①A车型8辆,B车型5辆,C车型9辆；
②A车型6辆,B车型10辆,C车型6辆；
③A车型4辆,B车型15辆,C车型3辆。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，可设A、B两种车型的数量分别为x辆、y辆，从题干提取两个等量关系：①A车总运载量+B车总运载量=170吨；②A车总运费+B车总运费=18000元，根据等量关系列二元一次方程组，求解即可得到两种车型的数量。
(2) 求解第二问时，先设A车型a辆，B车型b辆，结合车辆总数可得C车型数量为$(22-a-b)$辆，再根据总运载量为170吨列方程，整理得到a和b的数量关系，结合a、b、C车型数量均为正整数的条件，筛选符合要求的正整数解，即可得到所有运送方案。
【解析】
(1) 设需要A车型x辆，B车型y辆，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x+8y=170\\600x+800y=18000\end{cases}$
化简第二个方程得$3x+4y=90$，联立第一个方程求解：
将$5x+8y=170$变形为$8y=170-5x$，代入$3x+4y=90$两边乘2得到的$6x+8y=180$中，得$6x+170-5x=180$，解得$x=10$。
把$x=10$代入$5x+8y=170$，得$50+8y=170$，解得$y=15$。
(2) 设需要A车型a辆，B车型b辆，则C车型数量为$(22-a-b)$辆，根据总运载量列方程：
$5a+8b+10(22-a-b)=170$
去括号整理得：$5a+2b=50$，即$a=10-\dfrac{2}{5}b$。
因为a、b均为正整数，且三种车辆都有，故$a＞0$，$b＞0$，$22-a-b＞0$：
b需为5的正整数倍，当$b=5$时，$a=8$，C车型数量为$22-8-5=9＞0$，符合要求；
当$b=10$时，$a=6$，C车型数量为$22-6-10=6＞0$，符合要求；
当$b=15$时，$a=4$，C车型数量为$22-4-15=3＞0$，符合要求；
当$b≥20$时，C车型数量≤0，不符合要求，故舍去。
综上共有3组符合条件的解，对应3种运送方案。
【答案】
(1) 需要A车型10辆，B车型15辆；
(2) 共有3种运送方案：
①A车型8辆，B车型5辆，C车型9辆；
②A车型6辆，B车型10辆，C车型6辆；
③A车型4辆，B车型15辆，C车型3辆。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程整数解，方案设计
【点评】
本题是实际生活中的运输方案设计问题，解题核心是找准题干等量关系建立方程（组）模型，第二问需要结合未知数的实际意义筛选有效解，既考查方程的基础计算能力，也考查逻辑分析的严谨性。
【难度系数】
0.6
(1) 求解第一问时，可设A、B两种车型的数量分别为x辆、y辆，从题干提取两个等量关系：①A车总运载量+B车总运载量=170吨；②A车总运费+B车总运费=18000元，根据等量关系列二元一次方程组，求解即可得到两种车型的数量。
(2) 求解第二问时，先设A车型a辆，B车型b辆，结合车辆总数可得C车型数量为$(22-a-b)$辆，再根据总运载量为170吨列方程，整理得到a和b的数量关系，结合a、b、C车型数量均为正整数的条件，筛选符合要求的正整数解，即可得到所有运送方案。
【解析】
(1) 设需要A车型x辆，B车型y辆，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x+8y=170\\600x+800y=18000\end{cases}$
化简第二个方程得$3x+4y=90$，联立第一个方程求解：
将$5x+8y=170$变形为$8y=170-5x$，代入$3x+4y=90$两边乘2得到的$6x+8y=180$中，得$6x+170-5x=180$，解得$x=10$。
把$x=10$代入$5x+8y=170$，得$50+8y=170$，解得$y=15$。
(2) 设需要A车型a辆，B车型b辆，则C车型数量为$(22-a-b)$辆，根据总运载量列方程：
$5a+8b+10(22-a-b)=170$
去括号整理得：$5a+2b=50$，即$a=10-\dfrac{2}{5}b$。
因为a、b均为正整数，且三种车辆都有，故$a＞0$，$b＞0$，$22-a-b＞0$：
b需为5的正整数倍，当$b=5$时，$a=8$，C车型数量为$22-8-5=9＞0$，符合要求；
当$b=10$时，$a=6$，C车型数量为$22-6-10=6＞0$，符合要求；
当$b=15$时，$a=4$，C车型数量为$22-4-15=3＞0$，符合要求；
当$b≥20$时，C车型数量≤0，不符合要求，故舍去。
综上共有3组符合条件的解，对应3种运送方案。
【答案】
(1) 需要A车型10辆，B车型15辆；
(2) 共有3种运送方案：
①A车型8辆，B车型5辆，C车型9辆；
②A车型6辆，B车型10辆，C车型6辆；
③A车型4辆，B车型15辆，C车型3辆。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程整数解，方案设计
【点评】
本题是实际生活中的运输方案设计问题，解题核心是找准题干等量关系建立方程（组）模型，第二问需要结合未知数的实际意义筛选有效解，既考查方程的基础计算能力，也考查逻辑分析的严谨性。
【难度系数】
0.6
12.阅读下列材料,解答下面的问题:
我们知道方程$2x+3y=12$有无数个解,但在实际问题中往往只需求出其正整数解.
例:由$2x+3y=12$,得$y=\frac{12-2x}{3}=4-\frac{2}{3}x$($x,y$为正整数).要使$y=4-\frac{2}{3}x$为正整数,则$\frac{2}{3}x$为正整数,可知:$x$为3的倍数,从而$x=3$,代入得$y=4-\frac{2}{3}x=2$.
所以$2x+3y=12$的正整数解为$\begin{cases} x=3, \\ y=2. \end{cases}$
问题:
(1)请你直接写出方程$3x+2y=8$的正整数解________;
(2)若$\frac{6}{x-3}$为自然数,则满足条件的正整数$x$的值有________;
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
(3)关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} x+2y=9, \\ 2x+ky=10 \end{cases}$的解是正整数,求整数$k$的值.
我们知道方程$2x+3y=12$有无数个解,但在实际问题中往往只需求出其正整数解.
例:由$2x+3y=12$,得$y=\frac{12-2x}{3}=4-\frac{2}{3}x$($x,y$为正整数).要使$y=4-\frac{2}{3}x$为正整数,则$\frac{2}{3}x$为正整数,可知:$x$为3的倍数,从而$x=3$,代入得$y=4-\frac{2}{3}x=2$.
所以$2x+3y=12$的正整数解为$\begin{cases} x=3, \\ y=2. \end{cases}$
问题:
(1)请你直接写出方程$3x+2y=8$的正整数解________;
(2)若$\frac{6}{x-3}$为自然数,则满足条件的正整数$x$的值有________;
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
(3)关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} x+2y=9, \\ 2x+ky=10 \end{cases}$的解是正整数,求整数$k$的值.
答案
12.【解析】(1)方程$3x+2y=8$的正整数解为$\begin{cases}x=2,\\y=1.\end{cases}$
(2)满足条件的正整数$x$有9,6,5,4,共4个,故选B。
(3)$\begin{cases}x+2y=9①,\\2x+ky=10②,\end{cases}$
$①×2-②,得(4-k)y=8$，
解得$y=\dfrac{8}{4-k}$。
∵$x,y$是正整数,$k$是整数，
∴$4-k=1,2,4,8$，
∴$k=3,2,0,-4$，
当$k=3$时,$x$不是正整数,故$k=2,0,-4$。
(2)满足条件的正整数$x$有9,6,5,4,共4个,故选B。
(3)$\begin{cases}x+2y=9①,\\2x+ky=10②,\end{cases}$
$①×2-②,得(4-k)y=8$，
解得$y=\dfrac{8}{4-k}$。
∵$x,y$是正整数,$k$是整数，
∴$4-k=1,2,4,8$，
∴$k=3,2,0,-4$，
当$k=3$时,$x$不是正整数,故$k=2,0,-4$。
解析
【分析】
(1)求解二元一次方程的正整数解，先将方程变形为用x表示y的形式，根据x、y均为正整数的限制确定x的取值范围，逐一验证即可得到解；
(2)要使分式的值为自然数，分母必须是分子的正约数（分母为正，避免结果为负），列出所有符合条件的分母取值，即可求出对应的x值；
(3)先利用加减消元法消去x，得到y关于k的表达式，根据y是正整数可知分母是8的正约数，求出对应的k值后，再代入验证x是否为正整数，排除不符合要求的k值即可。
【解析】
(1) 由$3x+2y=8$，得$y=\frac{8-3x}{2}$（x、y为正整数）。
要使y为正整数，则$8-3x$是正偶数，且$8-3x＞0$，即$x＜\frac{8}{3}$。
x为正整数，故x可取1、2：
当x=1时，$y=\frac{8-3}{2}=2.5$，不是正整数，舍去；
当x=2时，$y=\frac{8-6}{2}=1$，符合要求。
(2) $\frac{6}{x-3}$为自然数，且x为正整数，故$x-3$是6的正约数，且$x-3＞0$。
6的正约数有1、2、3、6，因此：
$x-3=1$时x=4；$x-3=2$时x=5；$x-3=3$时x=6；$x-3=6$时x=9，共4个符合条件的x值。
(3) 对二元一次方程组$\begin{cases} x+2y=9① \\ 2x+ky=10② \end{cases}$，
①×2 - ②，得$2(x+2y)-(2x+ky)=18-10$，
化简得$(4-k)y=8$，解得$y=\frac{8}{4-k}$。
∵x、y是正整数，k是整数，
∴$4-k$是8的正约数，即$4-k=1,2,4,8$，对应解得$k=3,2,0,-4$。
代入验证：当k=3时，$y=8$，代入①得$x=9-2×8=-7$，不是正整数，舍去；其余k=2、0、-4时x均为正整数，符合要求。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$；(2)B；(3)整数k的值为2,0,-4
【知识点】
二元一次方程整数解；因数的应用；加减消元法
【点评】
本题围绕二元一次方程（组）的正整数解展开考查，解题核心是结合正整数的限制，通过枚举约数、代入验证的方式筛选符合要求的解，需注意求解后要验证所有限制条件，避免出现多解漏解的错误。
【难度系数】
0.7
(1)求解二元一次方程的正整数解，先将方程变形为用x表示y的形式，根据x、y均为正整数的限制确定x的取值范围，逐一验证即可得到解；
(2)要使分式的值为自然数，分母必须是分子的正约数（分母为正，避免结果为负），列出所有符合条件的分母取值，即可求出对应的x值；
(3)先利用加减消元法消去x，得到y关于k的表达式，根据y是正整数可知分母是8的正约数，求出对应的k值后，再代入验证x是否为正整数，排除不符合要求的k值即可。
【解析】
(1) 由$3x+2y=8$，得$y=\frac{8-3x}{2}$（x、y为正整数）。
要使y为正整数，则$8-3x$是正偶数，且$8-3x＞0$，即$x＜\frac{8}{3}$。
x为正整数，故x可取1、2：
当x=1时，$y=\frac{8-3}{2}=2.5$，不是正整数，舍去；
当x=2时，$y=\frac{8-6}{2}=1$，符合要求。
(2) $\frac{6}{x-3}$为自然数，且x为正整数，故$x-3$是6的正约数，且$x-3＞0$。
6的正约数有1、2、3、6，因此：
$x-3=1$时x=4；$x-3=2$时x=5；$x-3=3$时x=6；$x-3=6$时x=9，共4个符合条件的x值。
(3) 对二元一次方程组$\begin{cases} x+2y=9① \\ 2x+ky=10② \end{cases}$，
①×2 - ②，得$2(x+2y)-(2x+ky)=18-10$，
化简得$(4-k)y=8$，解得$y=\frac{8}{4-k}$。
∵x、y是正整数，k是整数，
∴$4-k$是8的正约数，即$4-k=1,2,4,8$，对应解得$k=3,2,0,-4$。
代入验证：当k=3时，$y=8$，代入①得$x=9-2×8=-7$，不是正整数，舍去；其余k=2、0、-4时x均为正整数，符合要求。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$；(2)B；(3)整数k的值为2,0,-4
【知识点】
二元一次方程整数解；因数的应用；加减消元法
【点评】
本题围绕二元一次方程（组）的正整数解展开考查，解题核心是结合正整数的限制，通过枚举约数、代入验证的方式筛选符合要求的解，需注意求解后要验证所有限制条件，避免出现多解漏解的错误。
【难度系数】
0.7
