登录
13.【问题提出】
已知实数$x,y$满足$\begin{cases}3x - y =5①,\\2x +3y=7②,\end{cases}$求$7x +5y$的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得$x,y$的值再代入求值，可得到答案.此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形求得该整式的值，如由①$+$②$×2$可得$7x +5y=19$.这种解题思想就是通常所说的“整体思想”.
利用上面的知识解答下面问题：
(1)已知方程组$\begin{cases}2x + y =4,\\x +2y=5,\end{cases}$则$x - y$的值为 ______ ；
·70·七年级
【问题探究】
(2)请说明在关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x +3y=4 -a,\\x -5y=3a\end{cases}$中，无论$a$取何值，$x + y$的值始终不变；
【问题解决】
(3)某步行街分别摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景$x,y,z$盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵.
已知实数$x,y$满足$\begin{cases}3x - y =5①,\\2x +3y=7②,\end{cases}$求$7x +5y$的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得$x,y$的值再代入求值，可得到答案.此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形求得该整式的值，如由①$+$②$×2$可得$7x +5y=19$.这种解题思想就是通常所说的“整体思想”.
利用上面的知识解答下面问题：
(1)已知方程组$\begin{cases}2x + y =4,\\x +2y=5,\end{cases}$则$x - y$的值为 ______ ；
·70·七年级
【问题探究】
(2)请说明在关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x +3y=4 -a,\\x -5y=3a\end{cases}$中，无论$a$取何值，$x + y$的值始终不变；
【问题解决】
(3)某步行街分别摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景$x,y,z$盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵.
答案
13.【解析】(1)①-②得,$x-y=-1$。
(2)$\begin{cases}x+3y=4-a①,\\x-5y=3a②,\end{cases}$
由$①×3+②$,得$4x+4y=12$，
∴$x+y=3$，
∴无论$a$取何值,$x+y$的值始终不变。
(3)设黄花一共用了$M$朵。则$M=8x+6y+7z$，
由题意,得$\begin{cases}15x+10y+10z=2\ 900①,\\8x+6y+7z=M②,\\25x+20y+25z=3\ 750③,\end{cases}$
由①+③,得$40x+30y+35z=6\ 650④$，
由$④×\dfrac{1}{5}$,得$8x+6y+7z=1\ 330$，
∴$M=1\ 330$，
即黄花一共用了1 330朵。
(2)$\begin{cases}x+3y=4-a①,\\x-5y=3a②,\end{cases}$
由$①×3+②$,得$4x+4y=12$，
∴$x+y=3$，
∴无论$a$取何值,$x+y$的值始终不变。
(3)设黄花一共用了$M$朵。则$M=8x+6y+7z$，
由题意,得$\begin{cases}15x+10y+10z=2\ 900①,\\8x+6y+7z=M②,\\25x+20y+25z=3\ 750③,\end{cases}$
由①+③,得$40x+30y+35z=6\ 650④$，
由$④×\dfrac{1}{5}$,得$8x+6y+7z=1\ 330$，
∴$M=1\ 330$，
即黄花一共用了1 330朵。
解析
【分析】
(1) 观察所求代数式$x-y$的系数，对比方程组两个方程的$x$、$y$系数，直接用第一个方程减第二个方程即可得到$x-y$的结果，无需单独求解$x$、$y$，用整体思想简化计算。
(2) 要证明$x+y$的值与$a$无关，核心是消去参数$a$，观察两个方程中$a$的系数为$-1$和$3$，将第一个方程乘3后与第二个方程相加即可消去$a$，整理后得到$x+y$的结果为常数，即可证明结论。
(3) 先根据红花、紫花的总用量列出关于$x,y,z$的方程，再写出黄花总用量的代数式，观察已知方程和目标代数式的系数关系，将红花、紫花的方程相加后，各项系数刚好是黄花代数式系数的5倍，整体除以5即可直接得到黄花总用量，无需单独求解$x,y,z$的值。
【解析】
(1) 记方程组$\begin{cases}2x + y =4①,\\x +2y=5②,\end{cases}$，用①$-$②得：
$(2x+y)-(x+2y)=4-5$，化简得$x-y=-1$。
(2) 记方程组$\begin{cases}x +3y=4 -a①,\\x -5y=3a②,\end{cases}$
将①$×3+$②得：$3(x+3y)+(x-5y)=3(4-a)+3a$
左边化简为$4x+4y$，右边化简为$12$，即$4x+4y=12$
两边同时除以4得$x+y=3$，结果为常数，因此无论$a$取何值，$x+y$的值始终不变。
(3) 设黄花一共用了$M$朵，根据题意得：
$\begin{cases}15x+10y+10z=2900①,\\25x+20y+25z=3750②,\\M=8x+6y+7z③,\end{cases}$
将①$+$②得：$40x+30y+35z=6650$④
将④两边同时除以5得：$8x+6y+7z=1330$，结合③得$M=1330$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；
(2) 无论$a$取何值，$x+y=3$，值始终不变；
(3) $\boldsymbol{1330}$朵。
【知识点】
整体思想解方程组；代数式求值；方程组的实际应用
【点评】
本题重点考查整体思想在方程组问题中的应用，规避了求解单个未知数的复杂运算，解题时需重点观察所求代数式和已知方程的系数关系，灵活运用加减消元法构造目标整体。第三问结合实际场景，需要先准确梳理数量关系列方程，再挖掘系数关联求解，对观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 观察所求代数式$x-y$的系数，对比方程组两个方程的$x$、$y$系数，直接用第一个方程减第二个方程即可得到$x-y$的结果，无需单独求解$x$、$y$，用整体思想简化计算。
(2) 要证明$x+y$的值与$a$无关，核心是消去参数$a$，观察两个方程中$a$的系数为$-1$和$3$，将第一个方程乘3后与第二个方程相加即可消去$a$，整理后得到$x+y$的结果为常数，即可证明结论。
(3) 先根据红花、紫花的总用量列出关于$x,y,z$的方程，再写出黄花总用量的代数式，观察已知方程和目标代数式的系数关系，将红花、紫花的方程相加后，各项系数刚好是黄花代数式系数的5倍，整体除以5即可直接得到黄花总用量，无需单独求解$x,y,z$的值。
【解析】
(1) 记方程组$\begin{cases}2x + y =4①,\\x +2y=5②,\end{cases}$，用①$-$②得：
$(2x+y)-(x+2y)=4-5$，化简得$x-y=-1$。
(2) 记方程组$\begin{cases}x +3y=4 -a①,\\x -5y=3a②,\end{cases}$
将①$×3+$②得：$3(x+3y)+(x-5y)=3(4-a)+3a$
左边化简为$4x+4y$，右边化简为$12$，即$4x+4y=12$
两边同时除以4得$x+y=3$，结果为常数，因此无论$a$取何值，$x+y$的值始终不变。
(3) 设黄花一共用了$M$朵，根据题意得：
$\begin{cases}15x+10y+10z=2900①,\\25x+20y+25z=3750②,\\M=8x+6y+7z③,\end{cases}$
将①$+$②得：$40x+30y+35z=6650$④
将④两边同时除以5得：$8x+6y+7z=1330$，结合③得$M=1330$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；
(2) 无论$a$取何值，$x+y=3$，值始终不变；
(3) $\boldsymbol{1330}$朵。
【知识点】
整体思想解方程组；代数式求值；方程组的实际应用
【点评】
本题重点考查整体思想在方程组问题中的应用，规避了求解单个未知数的复杂运算，解题时需重点观察所求代数式和已知方程的系数关系，灵活运用加减消元法构造目标整体。第三问结合实际场景，需要先准确梳理数量关系列方程，再挖掘系数关联求解，对观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
