9.如图,已知火车站的坐标为$(2,2)$,文化馆的坐标为$(-1,3)$.
(1)请你根据题目条件,画出平面直角坐标系;
(2)写出体育场、市场、超市的坐标;
(3)已知游乐场$A$、图书馆$B$、公园$C$的坐标分别为$(0,5),(-2,-2),(2,-2)$,请在图中标出$A,B,C$的位置.

9.【解析】(1)如图，

(2)体育场$(-2,5)$，市场$(6,5)$，超市$(4,-1)$。
(3)如上图所示。

【分析】
解题分三步推进：①建立坐标系：根据坐标的含义，横坐标表示点到y轴的水平距离，左负右正，纵坐标表示点到x轴的竖直距离，下负上正，由已知火车站$(2,2)$、文化馆$(-1,3)$反推原点位置：原点在火车站向左2格、向下2格处，验证文化馆位置符合后即可画出x轴、y轴。②求各点坐标：坐标系确定后，分别读取三个地点的横坐标、纵坐标，按规范格式写出即可。③描点：根据给出的A、B、C三点坐标，横坐标确定水平位置，纵坐标确定竖直位置，交点就是对应点的位置，标注即可。
【解析】
(1) 确定原点位置：已知火车站坐标为$(2,2)$，说明它在原点右侧2个单位、上方2个单位，因此将火车站向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到坐标原点$O$，过$O$作水平向右的$x$轴，竖直向上的$y$轴，建立平面直角坐标系，验证文化馆$(-1,3)$（原点左侧1个单位、上方3个单位）与图中位置一致，坐标系建立正确。
(2) 观察各点位置读取坐标：
体育场在原点左侧2个单位，上方5个单位，坐标为$(-2,5)$；
市场在原点右侧6个单位，上方5个单位，坐标为$(6,5)$；
超市在原点右侧4个单位，下方1个单位，坐标为$(4,-1)$。
(3) 按坐标描点：
点$A(0,5)$：横坐标为0即在$y$轴上，纵坐标为5即在$y$轴正方向数5格的位置，标注$A$；
点$B(-2,-2)$：横坐标$-2$对应原点左侧2格，纵坐标$-2$对应原点下方2格，交点处标注$B$；
点$C(2,-2)$：横坐标$2$对应原点右侧2格，纵坐标$-2$对应原点下方2格，交点处标注$C$。
【答案】
(1) 如图
(2) 体育场$(-2,5)$，市场$(6,5)$，超市$(4,-1)$
(3) 如上图所示
【知识点】
平面直角坐标系建立；点的坐标确定；根据坐标描点
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常规题，核心考查坐标与平面内点的对应关系，解题关键是通过已知点坐标准确定位原点，熟练掌握坐标和点位置的互相转化方法。
【难度系数】
0.8

10.如图,动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动.

第一次:原点$(0,0)\to P_1(-1,2)$;
第二次:$P_1(-1,2)\to P_2(-2,0)$;
第三次:$P_2(-2,0)\to P_3(-3,4)$;
第四次:$P_3(-3,4)\to P_4(-4,0)$;
第五次:$P_4(-4,0)\to P_5(-5,2)$;
...
归纳上述规律,完成下列任务.
(1)直接写出下列坐标:$P_7:$,$P_{13}:$,$P_{14}:$;
(2)第2025次运动后,$P_{2025}$的坐标为;
(3)点$P_{199}$距$x$轴的距离为,点$P_{199}$距$y$轴的距离为.

10.【解析】(1)$\because P_1(-1,2),P_2(-2,0),P_3(-3,4),P_4(-4,0),\dots$，
$\therefore$点$P_{2n}$的坐标为$(-2n,0)$，点$P_{4n-3}$的坐标为$(3-4n,2)$，点$P_{4n-1}$的坐标为$(1-4n,4)$（$n$为正整数）。
令$4n-1=7$，
解得$n=2$，
$\therefore 1-4n=-7$。
即点$P_7$的坐标为$(-7,4)$。
同理可得，点$P_{13}$的坐标为$(-13,2)$，点$P_{14}$的坐标为$(-14,0)$。
(2)根据(1)的发现可知，
令$4n-3=2025$，
解得$n=507$，
$\therefore$点$P_{2025}$的坐标为$(-2025,2)$。
(3)根据(1)的发现可知，
令$4n-1=199$，
解得$n=50$，
$\therefore$点$P_{199}$的坐标为$(-199,4)$。
则点$P_{199}$到$x$轴的距离是$4$，到$y$轴的距离是$199$。

【分析】
解题时先分别观察已知点的横坐标、纵坐标的变化规律：①横坐标：观察$P_1$到$P_5$的横坐标，可发现$P_n$的横坐标恒为$-n$；②纵坐标：分三类情况：当$n$为偶数时，纵坐标为0；当$n$为除以4余1的奇数时，纵坐标为2；当$n$为除以4余3的奇数时，纵坐标为4。总结出规律后，将对应点的序号代入规律即可求出坐标，再结合点到坐标轴的距离规则（到x轴距离为纵坐标绝对值，到y轴距离为横坐标绝对值）求解即可。
【解析】
(1) 由已知点坐标可总结规律（$n$为正整数）：
当点序号为偶数，即点为$P_{2n}$时，坐标为$(-2n, 0)$；
当点序号除以4余1，即点为$P_{4n-3}$时，坐标为$(-(4n-3), 2)$；
当点序号除以4余3，即点为$P_{4n-1}$时，坐标为$(-(4n-1), 4)$。
求$P_7$：令$4n-1=7$，解得$n=2$，因此$P_7$坐标为$(-7,4)$；
求$P_{13}$：令$4n-3=13$，解得$n=4$，因此$P_{13}$坐标为$(-13,2)$；
求$P_{14}$：14是偶数，令$2n=14$，解得$n=7$，因此$P_{14}$坐标为$(-14,0)$。
(2) 求$P_{2025}$：2025除以4余1，符合$P_{4n-3}$的规律，令$4n-3=2025$，解得$n=507$，因此$P_{2025}$坐标为$(-2025,2)$。
(3) 求$P_{199}$：199除以4余3，符合$P_{4n-1}$的规律，令$4n-1=199$，解得$n=50$，因此$P_{199}$坐标为$(-199,4)$。
点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即$|4|=4$；点到y轴的距离为横坐标的绝对值，即$|-199|=199$。
【答案】
(1) $(-7,4)$，$(-13,2)$，$(-14,0)$
(2) $(-2025,2)$
(3) $4$，$199$
【知识点】
1. 点的坐标规律探究
2. 平面直角坐标系中点的坐标
3. 点到坐标轴的距离
【点评】
本题为平面直角坐标系中的规律探究类题目，解题核心是通过已知点的坐标分别归纳横、纵坐标的变化规律，再结合分类讨论思想代入求解，能够有效锻炼学生的观察归纳能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

11.在平面直角坐标系中,对于点$A(x,y)$,若点$B$的坐标为$(x+ay,ax+y)$,其中$a$为常数,则称点$B$是点$A$的“$a$倍相关点”.例如,点$A(1,2)$的“$3$倍相关点”$B$的横坐标为:$1+3×2=7$,纵坐标为:$3×1+2=5$,所以点$A$的“$3$倍相关点”$B$的坐标为$(7,5)$.
(1)已知点$M(-4,6)$的“$\frac{1}{2}$倍相关点”是点$N(s,t)$,求$2s+t$的值;
(2)已知点$P(1,2m)$的“$-2$倍相关点”是点$Q$,且点$Q$在$y$轴上,求点$Q$到$x$轴的距离.

11.【解析】(1)$\because s=-4+\frac{1}{2} × 6=-1$，$t=\frac{1}{2} × (-4)+6=4$，
$\therefore 2s+t=2 × (-1)+4=2$。
(2)$\because$点$Q$在$y$轴上，
$\therefore$点$Q$的横坐标为$0$。
$\because$点$Q$是点$P$的“$-2$倍相关点”，
$\therefore 1+(-2) × 2m=0$，
解得$m=\frac{1}{4}$，
$\therefore$点$P$的纵坐标为$2 × \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，
$\therefore$点$Q$的纵坐标为$(-2) × 1+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$，
$\therefore$点$Q$到$x$轴的距离为$\left| -\frac{3}{2} \right|=\frac{3}{2}$。

【分析】
本题属于新定义类题目，解题核心是准确理解“a倍相关点”的坐标变换规则：若原点点为$A(x,y)$，则其“a倍相关点”的横坐标为$x+ay$，纵坐标为$ax+y$。
(1) 第一小问直接将点$M$的坐标、$a=\frac{1}{2}$代入规则，分别求出$s$、$t$的值，再代入代数式$2s+t$计算即可。
(2) 第二小问先根据“点在y轴上时横坐标为0”的性质，结合“-2倍相关点”的横坐标表达式列方程求出$m$的值，再计算出$Q$点的纵坐标，最后根据“点到x轴的距离为纵坐标的绝对值”求出结果即可。
【解析】
(1) 根据“a倍相关点”的定义，点$M(-4,6)$的“$\frac{1}{2}$倍相关点”$N$的坐标满足：
横坐标$s = -4 + \frac{1}{2} × 6 = -1$，
纵坐标$t = \frac{1}{2} × (-4) + 6 = 4$，
代入$2s + t$得：$2×(-1) + 4 = 2$。
(2) 已知点$P(1,2m)$的“-2倍相关点”为$Q$，根据定义，$Q$点的横坐标为$1 + (-2)×2m$，纵坐标为$(-2)×1 + 2m$。
因为点$Q$在$y$轴上，$y$轴上的点横坐标为0，所以：
$1 + (-2)×2m = 0$，
解得$m = \frac{1}{4}$。
将$m = \frac{1}{4}$代入$Q$点的纵坐标表达式，得纵坐标为$(-2)×1 + 2×\frac{1}{4} = -\frac{3}{2}$。
因为点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，所以点$Q$到x轴的距离为$\left| -\frac{3}{2} \right| = \frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{\frac{3}{2}}$
【知识点】
新定义运算；平面直角坐标系点的特征；点到坐标轴的距离
【点评】
本题以新定义为载体，考查平面直角坐标系的基础性质，解题关键是准确理解新定义的坐标变换规则，结合坐标轴上点的坐标特点、点到坐标轴的距离公式求解，注重对信息提取和应用能力的考查。
【难度系数】
0.8