登录
12. 甲、乙两人各测试了8次一分钟跳绳，他们的成绩(单位:下)记录如表2-11-1所示：
表2-11-1
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 甲 | 150 | 138 | 162 |
| 155 | 152 | 148 | 161 |
| 乙 | 158 | 158 | 154 | 150 | 145 | 150 | 152 | 148 |
(1)请计算出甲、乙各自成绩的四分位数，填在表2-11-2内；
表2-11-2
| | 最小值 | 下四分位数 | 中位数 | 上四分位数 | 最大值 |
|---|---|---|---|---|---|
| 甲 | 138 | |
| | 162 |
| 乙 | 145 | | | | 158 |
(2)请画出甲、乙各自成绩的箱线图，并通过箱线图分析他们谁的发挥更稳定。
表2-11-1
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 甲 | 150 | 138 | 162 |
| 155 | 152 | 148 | 161 || 乙 | 158 | 158 | 154 | 150 | 145 | 150 | 152 | 148 |
(1)请计算出甲、乙各自成绩的四分位数，填在表2-11-2内；
表2-11-2
| | 最小值 | 下四分位数 | 中位数 | 上四分位数 | 最大值 |
|---|---|---|---|---|---|
| 甲 | 138 | |
| | 162 || 乙 | 145 | | | | 158 |
(2)请画出甲、乙各自成绩的箱线图，并通过箱线图分析他们谁的发挥更稳定。
答案
12.(1)甲：145；151；158 乙：149；151；156
(2)略
(2)略
解析
【分析】
要解决本题，首先明确解题步骤：1. 计算四分位数前，需先将甲、乙的成绩分别按从小到大的顺序排列，这是计算百分位数的前提；2. 对于8个有序数据，下四分位数（第25百分位数）对应位置为8×25%=2，中位数（第50百分位数）对应位置为8×50%=4，上四分位数（第75百分位数）对应位置为8×75%=6，按规则取对应位置数据的平均数即可得到各四分位数；3. 绘制箱线图只需用到最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这五个统计量，最后通过比较两组数据的离散程度判断谁的发挥更稳定，数据越集中说明发挥越稳定。
【解析】
(1) 先计算乙的四分位数：
将乙的8次成绩从小到大排序为：145，148，150，150，152，154，158，158。
①下四分位数：位置为8×25%=2，取第2个和第3个数据的平均数，即$\frac{148+150}{2}=149$；
②中位数：位置为8×50%=4，取第4个和第5个数据的平均数，即$\frac{150+152}{2}=151$；
③上四分位数：位置为8×75%=6，取第6个和第7个数据的平均数，即$\frac{154+158}{2}=156$。
再计算甲的四分位数：
将甲的8次成绩补全后从小到大排序为：138，145，148，150，152，155，161，162。
①下四分位数为145；
②中位数：取第4个和第5个数据的平均数，即$\frac{150+152}{2}=151$；
③上四分位数：取第6个和第7个数据的平均数，即$\frac{155+161}{2}=158$。
(2) 箱线图绘制：①先绘制数轴，标注合适的刻度范围；②分别在数轴上找到甲、乙对应的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值的位置；③绘制矩形箱，箱的左右边对应上下四分位数，箱内画竖线标注中位数，再从箱的左右两端分别画线段延伸到最小值和最大值，即得到两组数据的箱线图。
观察箱线图可知，乙的成绩整体离散程度更小，数据更集中，因此乙的发挥更稳定。
【答案】
(1) 甲：下四分位数145，中位数151，上四分位数158；乙：下四分位数149，中位数151，上四分位数156
(2) 箱线图略，乙的发挥更稳定
【知识点】
四分位数计算，箱线图的应用
【点评】
本题围绕统计中的离散趋势分析展开，核心考查四分位数的计算规则和箱线图的实际应用，需要掌握数据排序、百分位数计算的基本方法，能通过统计图表判断数据的集中程度。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确解题步骤：1. 计算四分位数前，需先将甲、乙的成绩分别按从小到大的顺序排列，这是计算百分位数的前提；2. 对于8个有序数据，下四分位数（第25百分位数）对应位置为8×25%=2，中位数（第50百分位数）对应位置为8×50%=4，上四分位数（第75百分位数）对应位置为8×75%=6，按规则取对应位置数据的平均数即可得到各四分位数；3. 绘制箱线图只需用到最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这五个统计量，最后通过比较两组数据的离散程度判断谁的发挥更稳定，数据越集中说明发挥越稳定。
【解析】
(1) 先计算乙的四分位数：
将乙的8次成绩从小到大排序为：145，148，150，150，152，154，158，158。
①下四分位数：位置为8×25%=2，取第2个和第3个数据的平均数，即$\frac{148+150}{2}=149$；
②中位数：位置为8×50%=4，取第4个和第5个数据的平均数，即$\frac{150+152}{2}=151$；
③上四分位数：位置为8×75%=6，取第6个和第7个数据的平均数，即$\frac{154+158}{2}=156$。
再计算甲的四分位数：
将甲的8次成绩补全后从小到大排序为：138，145，148，150，152，155，161，162。
①下四分位数为145；
②中位数：取第4个和第5个数据的平均数，即$\frac{150+152}{2}=151$；
③上四分位数：取第6个和第7个数据的平均数，即$\frac{155+161}{2}=158$。
(2) 箱线图绘制：①先绘制数轴，标注合适的刻度范围；②分别在数轴上找到甲、乙对应的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值的位置；③绘制矩形箱，箱的左右边对应上下四分位数，箱内画竖线标注中位数，再从箱的左右两端分别画线段延伸到最小值和最大值，即得到两组数据的箱线图。
观察箱线图可知，乙的成绩整体离散程度更小，数据更集中，因此乙的发挥更稳定。
【答案】
(1) 甲：下四分位数145，中位数151，上四分位数158；乙：下四分位数149，中位数151，上四分位数156
(2) 箱线图略，乙的发挥更稳定
【知识点】
四分位数计算，箱线图的应用
【点评】
本题围绕统计中的离散趋势分析展开，核心考查四分位数的计算规则和箱线图的实际应用，需要掌握数据排序、百分位数计算的基本方法，能通过统计图表判断数据的集中程度。
【难度系数】
0.7
13. 我国10个城市某月的每日最高气温的平均数(简称平均高温，单位：℃)如表2-11-3所示：
表2-11-3
小明按照平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这10个城市分为了两组：哈尔滨、呼和浩特、北京、石家庄为第一组，这一组的离差平方和为132；贵阳、上海、成都、昆明、广州、海口为第二组，这一组的离差平方和约为158.8. 小明发现，这两组城市恰好分别位于我国秦岭—淮河的北侧和南侧.
(1)某城市该月的平均高温为7 ℃，如果按照与原来的组内平均数差异更小的原则来分组，这个城市应该被分到哪一组？如果按照分组后组内离差平方和变化量更小的原则来分组，这个城市应该被分到哪一组？
(2)根据上面的分析，推测(1)中的城市可能位于我国秦岭—淮河的北侧还是南侧.
表2-11-3
小明按照平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这10个城市分为了两组：哈尔滨、呼和浩特、北京、石家庄为第一组，这一组的离差平方和为132；贵阳、上海、成都、昆明、广州、海口为第二组，这一组的离差平方和约为158.8. 小明发现，这两组城市恰好分别位于我国秦岭—淮河的北侧和南侧.
(1)某城市该月的平均高温为7 ℃，如果按照与原来的组内平均数差异更小的原则来分组，这个城市应该被分到哪一组？如果按照分组后组内离差平方和变化量更小的原则来分组，这个城市应该被分到哪一组？
(2)根据上面的分析，推测(1)中的城市可能位于我国秦岭—淮河的北侧还是南侧.
答案
13.(1)第二组；第二组
(2)南侧
(2)南侧
解析
【分析】
解题首先需要先算出两组城市原有的平均高温，再分别对应两个分组原则进行判断：①按照与原组内平均数差异更小的原则，需要计算7℃与两组平均高温差值的绝对值，绝对值越小说明差异越小；②按照组内离差平方和变化量更小的原则，需要计算7℃与各组平均高温差值的平方，平方越小说明加入该城市后组内离差平方和的增量越小，也就是变化量更小。最后结合题目给出的分组和秦岭-淮河南北侧的对应关系，推测城市位置。
【解析】
首先计算两组的平均高温：
第一组共4个城市，平均高温$\overline{x}_1=\frac{-11+(-3)+3+3}{4}=-2℃$
第二组共6个城市，平均高温$\overline{x}_2=\frac{9+10+12+17+21+22}{6}=\frac{91}{6}≈15.17℃$
(1) 按照与原组内平均数差异更小的原则判断：
7℃与第一组平均的差值绝对值：$|7-(-2)|=9$
7℃与第二组平均的差值绝对值：$|7-\frac{91}{6}|≈8.17$
因为$8.17＜9$，所以该城市应分到第二组。
按照组内离差平方和变化量更小的原则判断：
加入该城市到第一组，离差平方和增量为$(7-(-2))^2=81$
加入该城市到第二组，离差平方和增量为$(7-\frac{91}{6})^2≈66.69$
因为$66.69＜81$，所以该城市应分到第二组。
(2) 题干说明第二组城市均位于秦岭-淮河南侧，该城市被分到第二组，因此推测其位于秦岭-淮河南侧。
【答案】
(1)第二组；第二组
(2)南侧
【知识点】
平均数计算，绝对值应用，离差平方和
【点评】
本题结合气温分布的实际场景，考查了平均数、离差平方和的相关应用，解题核心是准确理解两个分组原则的含义，通过计算对比数值得到结论，体现了数学知识在实际分类问题中的应用。
【难度系数】
0.7
解题首先需要先算出两组城市原有的平均高温，再分别对应两个分组原则进行判断：①按照与原组内平均数差异更小的原则，需要计算7℃与两组平均高温差值的绝对值，绝对值越小说明差异越小；②按照组内离差平方和变化量更小的原则，需要计算7℃与各组平均高温差值的平方，平方越小说明加入该城市后组内离差平方和的增量越小，也就是变化量更小。最后结合题目给出的分组和秦岭-淮河南北侧的对应关系，推测城市位置。
【解析】
首先计算两组的平均高温：
第一组共4个城市，平均高温$\overline{x}_1=\frac{-11+(-3)+3+3}{4}=-2℃$
第二组共6个城市，平均高温$\overline{x}_2=\frac{9+10+12+17+21+22}{6}=\frac{91}{6}≈15.17℃$
(1) 按照与原组内平均数差异更小的原则判断：
7℃与第一组平均的差值绝对值：$|7-(-2)|=9$
7℃与第二组平均的差值绝对值：$|7-\frac{91}{6}|≈8.17$
因为$8.17＜9$，所以该城市应分到第二组。
按照组内离差平方和变化量更小的原则判断：
加入该城市到第一组，离差平方和增量为$(7-(-2))^2=81$
加入该城市到第二组，离差平方和增量为$(7-\frac{91}{6})^2≈66.69$
因为$66.69＜81$，所以该城市应分到第二组。
(2) 题干说明第二组城市均位于秦岭-淮河南侧，该城市被分到第二组，因此推测其位于秦岭-淮河南侧。
【答案】
(1)第二组；第二组
(2)南侧
【知识点】
平均数计算，绝对值应用，离差平方和
【点评】
本题结合气温分布的实际场景，考查了平均数、离差平方和的相关应用，解题核心是准确理解两个分组原则的含义，通过计算对比数值得到结论，体现了数学知识在实际分类问题中的应用。
【难度系数】
0.7
