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8. 将三块边长都相等的正多边形木板围绕一点拼在一起,既无空隙也无重叠.若其中两块木板的边数均为5,则第三块木板的边数为 ()
A.5
B.8
C.10
D.12
A.5
B.8
C.10
D.12
答案
C
解析
1. 根据正n边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}$，计算正五边形内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$；
2. 围绕一点拼合的内角和为$360°$，则第三块正多边形的内角为$360° - 2×108°=144°$；
3. 设第三块边数为$n$，代入内角公式得$\frac{(n-2)×180°}{n}=144°$，解方程得$n=10$。
2. 围绕一点拼合的内角和为$360°$，则第三块正多边形的内角为$360° - 2×108°=144°$；
3. 设第三块边数为$n$，代入内角公式得$\frac{(n-2)×180°}{n}=144°$，解方程得$n=10$。
9. 只用一种正多边形密铺时,如果每个顶点处有6个这种正多边形相拼接,那么这个正多边形是 ()
答案
A
解析
根据正多边形密铺的条件，每个顶点处的内角和为360°。设该正多边形的一个内角为$ x $，由题意得$ 6x = 360° $，解得$ x = 60° $。设该正多边形为正$ n $边形，根据正多边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}=60°$，解方程得$ n=3 $，即该正多边形为正三角形，对应选项A。
10. 下列正多边形的组合中,不能密铺的是 ()
A.正八边形和正方形
B.正五边形和正八边形
C.正六边形和正三角形
D.正十二边形和正三角形
A.正八边形和正方形
B.正五边形和正八边形
C.正六边形和正三角形
D.正十二边形和正三角形
答案
B
解析
密铺的条件是同一顶点处各正多边形的内角和为360°。
选项A：正八边形内角为135°，正方形内角为90°，135°×2+90°×1=360°，可密铺；
选项B：正五边形内角为108°，正八边形内角为135°，设x个正五边形、y个正八边形，108x+135y=360，化简得4x+5y=40/3，无正整数解，不能密铺；
选项C：正六边形内角为120°，正三角形内角为60°，120°×2+60°×2=360°，可密铺；
选项D：正十二边形内角为150°，正三角形内角为60°，150°×2+60°×1=360°，可密铺。
综上，不能密铺的是选项B。
选项A：正八边形内角为135°，正方形内角为90°，135°×2+90°×1=360°，可密铺；
选项B：正五边形内角为108°，正八边形内角为135°，设x个正五边形、y个正八边形，108x+135y=360，化简得4x+5y=40/3，无正整数解，不能密铺；
选项C：正六边形内角为120°，正三角形内角为60°，120°×2+60°×2=360°，可密铺；
选项D：正十二边形内角为150°，正三角形内角为60°，150°×2+60°×1=360°，可密铺。
综上，不能密铺的是选项B。
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 如图,在五边形$ABCDE$中,$∠ A+∠ B+∠ E=300°$,$DP$,$CP$分别平分$∠ EDC$,$∠ DCB$,则$∠ P=$.
11. 如图,在五边形$ABCDE$中,$∠ A+∠ B+∠ E=300°$,$DP$,$CP$分别平分$∠ EDC$,$∠ DCB$,则$∠ P=$.
答案
解：
五边形$ABCDE$的内角和为：$(5-2)×180°=540°$，
因为$∠A+∠B+∠E=300°$，
所以$∠EDC+∠DCB=540°-300°=240°$，
因为$DP$平分$∠EDC$，$CP$平分$∠DCB$，
所以$∠PDC=\frac{1}{2}∠EDC$，$∠PCD=\frac{1}{2}∠DCB$，
则$∠PDC+∠PCD=\frac{1}{2}(∠EDC+∠DCB)=\frac{1}{2}×240°=120°$，
在$△ PDC$中，$∠P=180°-(∠PDC+∠PCD)=180°-120°=60°$。
$\boxed{60°}$
五边形$ABCDE$的内角和为：$(5-2)×180°=540°$，
因为$∠A+∠B+∠E=300°$，
所以$∠EDC+∠DCB=540°-300°=240°$，
因为$DP$平分$∠EDC$，$CP$平分$∠DCB$，
所以$∠PDC=\frac{1}{2}∠EDC$，$∠PCD=\frac{1}{2}∠DCB$，
则$∠PDC+∠PCD=\frac{1}{2}(∠EDC+∠DCB)=\frac{1}{2}×240°=120°$，
在$△ PDC$中，$∠P=180°-(∠PDC+∠PCD)=180°-120°=60°$。
$\boxed{60°}$
12. 如图,在正六边形$ABCDEF$中,延长$FE$,$CD$交于点$G$,则$∠ DGE$的度数为.
答案
$60°$
解析
1. 计算正六边形的内角：正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，每个内角为$720°÷6=120°$，故$∠ DEF=∠ CDE=120°$。
2. 求$∠ DEG$和$∠ EDG$：$∠ DEG=180°-∠ DEF=180°-120°=60°$，$∠ EDG=180°-∠ CDE=180°-120°=60°$。
3. 计算$∠ DGE$：在$△ DGE$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ DGE=180°-60°-60°=60°$。
2. 求$∠ DEG$和$∠ EDG$：$∠ DEG=180°-∠ DEF=180°-120°=60°$，$∠ EDG=180°-∠ CDE=180°-120°=60°$。
3. 计算$∠ DGE$：在$△ DGE$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ DGE=180°-60°-60°=60°$。
13. 花影遮墙,峰峦叠窗.苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.图1中的窗棂是冰裂纹窗棂,图2是这种窗棂中的部分图案.若$∠ 1=110°$,$∠ 2=65°$,$∠ 3=85°$,则$∠ 4=$$°$.
答案
100
解析
根据多边形外角和定理，四边形的外角和为360°。已知∠1=110°，∠2=65°，∠3=85°，则∠4=360°-∠1-∠2-∠3=360°-110°-65°-85°=100°。
14. 若正多边形的一个外角是$45°$,则该正多边形的内角和为$°$.
答案
1080
解析
因为正多边形的外角和为360°，所以该正多边形的边数为$360°÷45°=8$；根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，代入$n=8$，得内角和为$(8-2)×180°=1080°$。
15. 如图,在正五边形$ABCDE$的内部,以$CD$边为边作正方形$CDFH$,连接$BH$,则$∠ BHC=$.
答案
$81°$
解析
1. 正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，则$∠BCD=540°÷5=108°$；
2. 正方形$CDFH$中$∠HCD=90°$，故$∠BCH=∠BCD - ∠HCD=108°-90°=18°$；
3. 由正五边形性质知$BC=CD$，正方形性质知$CD=CH$，所以$BC=CH$，$△ BCH$是等腰三角形；
4. $∠BHC=(180°-∠BCH)÷2=(180°-18°)÷2=81°$。
2. 正方形$CDFH$中$∠HCD=90°$，故$∠BCH=∠BCD - ∠HCD=108°-90°=18°$；
3. 由正五边形性质知$BC=CD$，正方形性质知$CD=CH$，所以$BC=CH$，$△ BCH$是等腰三角形；
4. $∠BHC=(180°-∠BCH)÷2=(180°-18°)÷2=81°$。
