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1. (2025·宿迁期末)定义:如图,在平面直角坐标系中,点 P 是平面内任意一点(坐标轴上的点除外),过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线,若由点 P、原点 O、两个垂足 A,B 为顶点的矩形OAPB 的周长与面积的数值相等时,则称点 P是平面直角坐标系中的"美好点".
【尝试初探】:
(1) 点 $C(2,3)$
【深入探究】:
(2) 若"美好点" $E(m,4)(m＞0)$ 在双曲线 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0$,且 $k$ 为常数)上,求 $k$ 的值.
(3) 在(2)的条件下, $F(2,n)$ 在双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$上,求 $S_{△ EOF}$ 的值.
【尝试初探】:
(1) 点 $C(2,3)$
不是
"美好点"(填"是"或"不是");若点 $D(6,b)$ 是第一象限内的一个"美好点",则 $b=$3
.【深入探究】:
(2) 若"美好点" $E(m,4)(m＞0)$ 在双曲线 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0$,且 $k$ 为常数)上,求 $k$ 的值.
(3) 在(2)的条件下, $F(2,n)$ 在双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$上,求 $S_{△ EOF}$ 的值.
答案
1.(1)不是，3
解析:
∵(2+3)×2=10≠2×3=6,
∴点C(2,3)不是"美好点".
∵点D(6,b)是第一象限内的一个"美好点",
∴2×(6+b)=6b,解得b=3.
(2)
∵E(m,4)(m＞0)是"美好点",
∴2×(m+4)=4m,解得m=4,
∴E(4,4),将E(4,4)代入双曲线y=k/x,得k=16.
(3)
∵F(2,n)在双曲线y=k/x上,
∴n=16/2=8,
∴F(2,8),设直线EF的表达式为y=ax+c,
∴{2a+c=8,4a+c=4,
∴{a=-2,c=12,
∴y=-2x+12,如图
,令直线EF与x轴交于点G,当y=0时,-2x+12=0,∴x=6,
∴G(6,0),
∴S△EOF=S△FOG - S△EOG = 1/2×6×8 - 1/2×6×4=12.
解析
【分析】
首先明确“美好点”的定义：对于平面内非坐标轴上的点$P(x,y)$，矩形$OAPB$的周长与面积数值相等，即$2(|x|+|y|)=|x||y|$；本题中所有点均在第一象限，故$x＞0,y＞0$，简化为$2(x+y)=xy$。解题时先利用定义列方程，再结合反比例函数性质、三角形面积公式逐步求解各小问。
【解析】
(1) 对于点$C(2,3)$，矩形$OAPB$的周长为$2×(2+3)=10$，面积为$2×3=6$，因$10≠6$，故点$C$不是“美好点”；
点$D(6,b)$是第一象限的“美好点”，根据定义列方程：$2×(6+b)=6b$，
解方程得：$12+2b=6b \implies 4b=12 \implies b=3$。
(2) 已知$E(m,4)(m＞0)$是“美好点”，根据定义列方程：$2×(m+4)=4m$，
解方程得：$2m+8=4m \implies m=4$，故$E(4,4)$；
将$E(4,4)$代入双曲线$y=\frac{k}{x}$，得$k=4×4=16$。
(3) $F(2,n)$在双曲线$y=\frac{16}{x}$上，代入得$n=\frac{16}{2}=8$，故$F(2,8)$；
设直线$EF$的表达式为$y=ax+c$，代入$E(4,4)$和$F(2,8)$：
$\begin{cases}2a+c=8 \\4a+c=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-2 \\c=12\end{cases}$，即直线$EF:y=-2x+12$；
令$y=0$，得$0=-2x+12 \implies x=6$，故直线$EF$与$x$轴交于$G(6,0)$；
$S_{△EOF}=S_{△FOG}-S_{△EOG}=\frac{1}{2}×6×8 - \frac{1}{2}×6×4=24-12=12$。
【答案】
(1) 不是，$3$；(2) $k=16$；(3) $12$
【知识点】
平面直角坐标系中点的坐标、矩形周长与面积、反比例函数、三角形面积计算
【点评】
本题为新定义题型，核心是将“美好点”的几何定义转化为代数等式，结合反比例函数性质和割补法求三角形面积，考查知识迁移与运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先明确“美好点”的定义：对于平面内非坐标轴上的点$P(x,y)$，矩形$OAPB$的周长与面积数值相等，即$2(|x|+|y|)=|x||y|$；本题中所有点均在第一象限，故$x＞0,y＞0$，简化为$2(x+y)=xy$。解题时先利用定义列方程，再结合反比例函数性质、三角形面积公式逐步求解各小问。
【解析】
(1) 对于点$C(2,3)$，矩形$OAPB$的周长为$2×(2+3)=10$，面积为$2×3=6$，因$10≠6$，故点$C$不是“美好点”；
点$D(6,b)$是第一象限的“美好点”，根据定义列方程：$2×(6+b)=6b$，
解方程得：$12+2b=6b \implies 4b=12 \implies b=3$。
(2) 已知$E(m,4)(m＞0)$是“美好点”，根据定义列方程：$2×(m+4)=4m$，
解方程得：$2m+8=4m \implies m=4$，故$E(4,4)$；
将$E(4,4)$代入双曲线$y=\frac{k}{x}$，得$k=4×4=16$。
(3) $F(2,n)$在双曲线$y=\frac{16}{x}$上，代入得$n=\frac{16}{2}=8$，故$F(2,8)$；
设直线$EF$的表达式为$y=ax+c$，代入$E(4,4)$和$F(2,8)$：
$\begin{cases}2a+c=8 \\4a+c=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-2 \\c=12\end{cases}$，即直线$EF:y=-2x+12$；
令$y=0$，得$0=-2x+12 \implies x=6$，故直线$EF$与$x$轴交于$G(6,0)$；
$S_{△EOF}=S_{△FOG}-S_{△EOG}=\frac{1}{2}×6×8 - \frac{1}{2}×6×4=24-12=12$。
【答案】
(1) 不是，$3$；(2) $k=16$；(3) $12$
【知识点】
平面直角坐标系中点的坐标、矩形周长与面积、反比例函数、三角形面积计算
【点评】
本题为新定义题型，核心是将“美好点”的几何定义转化为代数等式，结合反比例函数性质和割补法求三角形面积，考查知识迁移与运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
2. (2025·无锡期末)定义:已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根,若$x_1＜x_2＜0$,且$3＜\dfrac{x_1}{x_2}＜4$,则称这个方程为“限根方程”.如:一元二次方程$x^2+13x+30=0$的两根为$x_1=-10,x_2=-3$,因为$-10＜-3＜0,3＜\dfrac{-10}{-3}＜4$,所以一元二次方程$x^2+13x+30=0$为“限根方程”.
请阅读以上材料,回答下列问题:
(1)判断:一元二次方程$x^2+14x+33=0$
(2)若关于$x$的一元二次方程$x^2+kx+k+5=0$是“限根方程”,且两根$x_1,x_2$满足$x_1^2+x_2^2-2x_1x_2-25=0$,则$k$的值为
(3)若关于$x$的一元二次方程$x^2+(2-m)x-2m=0$是“限根方程”,求$m$的取值范围.
考点二 几何中的新定义问题
请阅读以上材料,回答下列问题:
(1)判断:一元二次方程$x^2+14x+33=0$
是
“限根方程”(填“是”或“不是”);(2)若关于$x$的一元二次方程$x^2+kx+k+5=0$是“限根方程”,且两根$x_1,x_2$满足$x_1^2+x_2^2-2x_1x_2-25=0$,则$k$的值为
9
;(3)若关于$x$的一元二次方程$x^2+(2-m)x-2m=0$是“限根方程”,求$m$的取值范围.
考点二 几何中的新定义问题
答案
2.(1)是
解析:x²+14x+33=0,解得x₁=-11,x₂=-3,
∵-11＜-3＜0,3＜(-11)/(-3)＜4,
∴一元二次方程x²+14x+33=0是"限根方程".
(2)9
解析:根据根与系数的关系得x₁+x₂=-k,x₁x₂=k+5,
∵x₁²+x₂²-2x₁x₂-25=0,
∴(x₁+x₂)²-4x₁x₂-25=0,即(-k)²-4(k+5)-25=0,解得k₁=9,k₂=-5.当k=9时,方程化为x²+9x+14=0,解得x₁=-2,x₂=-7.
∵-7＜-2＜0,3＜(-7)/(-2)＜4,
∴方程x²+9x+14=0是"限根方程";当k=-5时,方程化为x²-5x=0,解得x₁=0,x₂=5.
∵0＜5,
∴方程x²-5x=0不是"限根方程".综上所述,k的值为9.
(3)x²+(2-m)x-2m=0,(x-m)(x+2)=0,x-m=0或x+2=0,解得x=m或x=-2,当m＜-2＜0时,3＜m/(-2)＜4,解得-8＜m＜-6;当-2＜m＜0时,3＜(-2)/m＜4,解得-2/3＜m＜-1/2.综上所述,m的取值范围为-8＜m＜-6或-2/3＜m＜-1/2.
解析:x²+14x+33=0,解得x₁=-11,x₂=-3,
∵-11＜-3＜0,3＜(-11)/(-3)＜4,
∴一元二次方程x²+14x+33=0是"限根方程".
(2)9
解析:根据根与系数的关系得x₁+x₂=-k,x₁x₂=k+5,
∵x₁²+x₂²-2x₁x₂-25=0,
∴(x₁+x₂)²-4x₁x₂-25=0,即(-k)²-4(k+5)-25=0,解得k₁=9,k₂=-5.当k=9时,方程化为x²+9x+14=0,解得x₁=-2,x₂=-7.
∵-7＜-2＜0,3＜(-7)/(-2)＜4,
∴方程x²+9x+14=0是"限根方程";当k=-5时,方程化为x²-5x=0,解得x₁=0,x₂=5.
∵0＜5,
∴方程x²-5x=0不是"限根方程".综上所述,k的值为9.
(3)x²+(2-m)x-2m=0,(x-m)(x+2)=0,x-m=0或x+2=0,解得x=m或x=-2,当m＜-2＜0时,3＜m/(-2)＜4,解得-8＜m＜-6;当-2＜m＜0时,3＜(-2)/m＜4,解得-2/3＜m＜-1/2.综上所述,m的取值范围为-8＜m＜-6或-2/3＜m＜-1/2.
解析
【分析】
本题是新定义“限根方程”的应用问题，核心思路为：1. 明确“限根方程”的定义：两根均为负数，且满足$x_1＜x_2＜0$、$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$；2. 对每一小问，先求解一元二次方程的根，结合韦达定理（根与系数的关系），代入新定义的条件验证或计算；3. 第三问需先因式分解求根，再分情况讨论两根的大小关系，代入比例条件求解参数范围，最后综合结果。
【解析】
(1) 解方程$x^2+14x+33=0$，因式分解得$(x+11)(x+3)=0$，解得$x_1=-11$，$x_2=-3$。验证：$-11＜-3＜0$，且$3＜\frac{-11}{-3}=\frac{11}{3}＜4$，符合“限根方程”定义，故填“是”。
(2) 对于方程$x^2+kx+k+5=0$，由韦达定理得$x_1+x_2=-k$，$x_1x_2=k+5$。已知$x_1^2+x_2^2-2x_1x_2-25=0$，变形为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2-25=0$，代入得$(-k)^2-4(k+5)-25=0$，整理得$k^2-4k-45=0$，解得$k_1=9$，$k_2=-5$。
当$k=9$时，方程为$x^2+9x+14=0$，解得$x_1=-7$，$x_2=-2$，验证：$-7＜-2＜0$，$3＜\frac{-7}{-2}=3.5＜4$，符合定义；
当$k=-5$时，方程为$x^2-5x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=5$，两根非负，不符合定义，舍去。故$k=9$。
(3) 解方程$x^2+(2-m)x-2m=0$，因式分解得$(x-m)(x+2)=0$，解得$x=m$或$x=-2$。分两种情况：
① 若$m＜-2＜0$，则$x_1=m$，$x_2=-2$，代入$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$得$3＜\frac{m}{-2}＜4$，解得$-8＜m＜-6$；
② 若$-2＜m＜0$，则$x_1=-2$，$x_2=m$，代入$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$得$3＜\frac{-2}{m}＜4$，解得$-\frac{2}{3}＜m＜-\frac{1}{2}$。
综上，$m$的取值范围为$-8＜m＜-6$或$-\frac{2}{3}＜m＜-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 是；(2) 9；(3) $-8＜m＜-6$或$-\frac{2}{3}＜m＜-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的根、韦达定理、新定义问题
【点评】
本题为新定义综合题，重点考查一元二次方程解法、韦达定理的应用，解题关键是准确理解“限根方程”的定义，验证解的合理性，第三问需分情况讨论，避免漏解，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
本题是新定义“限根方程”的应用问题，核心思路为：1. 明确“限根方程”的定义：两根均为负数，且满足$x_1＜x_2＜0$、$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$；2. 对每一小问，先求解一元二次方程的根，结合韦达定理（根与系数的关系），代入新定义的条件验证或计算；3. 第三问需先因式分解求根，再分情况讨论两根的大小关系，代入比例条件求解参数范围，最后综合结果。
【解析】
(1) 解方程$x^2+14x+33=0$，因式分解得$(x+11)(x+3)=0$，解得$x_1=-11$，$x_2=-3$。验证：$-11＜-3＜0$，且$3＜\frac{-11}{-3}=\frac{11}{3}＜4$，符合“限根方程”定义，故填“是”。
(2) 对于方程$x^2+kx+k+5=0$，由韦达定理得$x_1+x_2=-k$，$x_1x_2=k+5$。已知$x_1^2+x_2^2-2x_1x_2-25=0$，变形为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2-25=0$，代入得$(-k)^2-4(k+5)-25=0$，整理得$k^2-4k-45=0$，解得$k_1=9$，$k_2=-5$。
当$k=9$时，方程为$x^2+9x+14=0$，解得$x_1=-7$，$x_2=-2$，验证：$-7＜-2＜0$，$3＜\frac{-7}{-2}=3.5＜4$，符合定义；
当$k=-5$时，方程为$x^2-5x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=5$，两根非负，不符合定义，舍去。故$k=9$。
(3) 解方程$x^2+(2-m)x-2m=0$，因式分解得$(x-m)(x+2)=0$，解得$x=m$或$x=-2$。分两种情况：
① 若$m＜-2＜0$，则$x_1=m$，$x_2=-2$，代入$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$得$3＜\frac{m}{-2}＜4$，解得$-8＜m＜-6$；
② 若$-2＜m＜0$，则$x_1=-2$，$x_2=m$，代入$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$得$3＜\frac{-2}{m}＜4$，解得$-\frac{2}{3}＜m＜-\frac{1}{2}$。
综上，$m$的取值范围为$-8＜m＜-6$或$-\frac{2}{3}＜m＜-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 是；(2) 9；(3) $-8＜m＜-6$或$-\frac{2}{3}＜m＜-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的根、韦达定理、新定义问题
【点评】
本题为新定义综合题，重点考查一元二次方程解法、韦达定理的应用，解题关键是准确理解“限根方程”的定义，验证解的合理性，第三问需分情况讨论，避免漏解，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
3. (2025·盐城期末) 如图①,$C,D$是半圆$ACB$上的两点,点$P$是直径$AB$上一点,且满足$∠ APC=∠ BPD$,则称$∠ CPD$是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”.
(1) 如图②,$AB$是$\odot O$的直径,若弦$CE ⊥ AB$,$D$是弧$BC$上的一点,连接$DE$交$AB$于点$P$,连接$CP$.
①求证:$∠ CPD$是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”;
②设弧$CD$的度数为$n$,请用含$n$的式子表示弧$CD$的“相望角”度数为
(2) 如图③,若直径$AB=10$,弦$CE ⊥ AB$,$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”为$90°$.
①求弦$CD$的长;
②当$DE=7\sqrt{2}$时,则$CE=$
(1) 如图②,$AB$是$\odot O$的直径,若弦$CE ⊥ AB$,$D$是弧$BC$上的一点,连接$DE$交$AB$于点$P$,连接$CP$.
①求证:$∠ CPD$是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”;
②设弧$CD$的度数为$n$,请用含$n$的式子表示弧$CD$的“相望角”度数为
n
.(2) 如图③,若直径$AB=10$,弦$CE ⊥ AB$,$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”为$90°$.
①求弦$CD$的长;
②当$DE=7\sqrt{2}$时,则$CE=$
6或8
.答案
3.(1)①证明:
∵AB是⊙O的直径,弦CE⊥AB,
∴AB垂直平分CE,
∴PC=PE.
∵PA⊥CE,
∴∠CPA=∠EPA.
∵∠EPA=∠DPB,
∴∠APC=∠BPD,
∴∠CPD是弧CD的"相望角".
②n
解析:
∵弧CD的度数为n,
∴∠E=n/2,
∴∠APE=90°-∠E=90°-n/2,
∴∠BPD=∠APC=90°-n/2,
∴∠CPD=180°-∠APC-∠BPD=n,
∴弧CD的"相望角"度数为∠CPD=n.
(2)①连接OC,OD,设AB与CE交于点F,如图
,∵弧CD的"相望角"为90°,
∴∠CPD=90°,
∴∠APC=∠BPD=1/2×(180°-∠CPD)=45°.
∵AB是⊙O的直径,弦CE⊥AB,
∴AB垂直平分CE,
∴PC=PE,∠CFP=90°,
∴∠FCP=90°-∠APC=45°,
∴∠E=∠FCP=45°.
∵∠COD=2∠E=90°,OC=OD,
∴△COD为等腰直角三角形,
∴CD=√2 OC=√2×1/2 AB=√2/2 ×10=5√2.
②6或8
解析:
∵∠E=45°,∠CPE=∠CPD=90°,
∴△CPE为等腰直角三角形,
∴PE=PC,CE=√2 PC,设PE=PC=x,则CE=√2 x,PD=DE-PE=7√2 -x.
∵PC²+PD²=CD²,
∴x²+(7√2 -x)²=(5√2)²,
∴x²-7√2 x+24=0,
∴x=3√2或x=4√2,
∴CE=√2 x=6或8.
解析
【分析】
1. 对于(1)①，需根据“相望角”定义证∠APC=∠BPD：利用CE⊥AB结合垂径定理得AB垂直平分CE，故PC=PE，由等腰三角形三线合一得∠CPA=∠EPA，再结合对顶角∠EPA=∠DPB，即可完成证明。
2. (1)②，已知$\overset{\frown}{CD}$度数为n，根据圆周角定理得同弧所对圆周角∠E=$\frac{n}{2}$；再结合直角三角形两锐角互余算出∠APE，进而得∠APC和∠BPD，最后用平角180°减去两角，得到∠CPD=n。
3. (2)①，已知“相望角”为90°即∠CPD=90°，由定义得∠APC=∠BPD=45°；结合CE⊥AB的垂径定理得∠E=45°，再由圆周角定理得圆心角∠COD=90°，OC=OD=5，故△COD为等腰直角三角形，算出CD=5$\sqrt{2}$。
4. (2)②，由∠E=45°、∠CPE=90°得△CPE为等腰直角三角形，设PE=PC=x，CE=$\sqrt{2}$x，PD=7$\sqrt{2}$-x，再由勾股定理PC²+PD²=CD²，解方程得x，进而得CE=6或8。
【解析】
(1)①证明：
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB垂直平分CE（垂径定理），
∴PC=PE，
∵PA⊥CE，
∴∠CPA=∠EPA（等腰三角形三线合一），
又
∵∠EPA=∠DPB（对顶角相等），
∴∠APC=∠BPD，
∴∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”。
②解：
∵$\overset{\frown}{CD}$的度数为n，
∴同弧所对的圆周角∠E=$\frac{n}{2}$（圆周角定理），
在Rt△PCE中，∠APE=90°-∠E=90°-$\frac{n}{2}$，
∴∠APC=∠APE=90°-$\frac{n}{2}$，
同理∠BPD=∠APC=90°-$\frac{n}{2}$，
∴∠CPD=180°-∠APC-∠BPD=180°-2×(90°-$\frac{n}{2}$)=n，
故答案为n。
(2)①解：
连接OC、OD，设AB与CE交于点F，
∵$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”为90°，
∴∠CPD=90°，
∴∠APC=∠BPD=$\frac{1}{2}$×(180°-∠CPD)=45°，
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB垂直平分CE（垂径定理），
∴∠CFP=90°，PC=PE，
∴∠FCP=90°-∠APC=45°，
又
∵∠E=∠FCP（同弧所对圆周角相等），
∴∠E=45°，
根据圆周角定理，圆心角∠COD=2∠E=90°，
∵AB=10，
∴OC=OD=5，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{OC^2 + OD^2}$=$\sqrt{5^2 +5^2}$=5$\sqrt{2}$。
②解：
∵∠E=45°，∠CPE=∠CPD=90°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PE=PC，CE=$\sqrt{2}$PC，
设PE=PC=x，则CE=$\sqrt{2}$x，PD=DE-PE=7$\sqrt{2}$ -x，
在Rt△PCD中，由勾股定理得：PC² + PD² = CD²，
即x² + (7$\sqrt{2}$ -x)² = (5$\sqrt{2}$)²，
整理得：x² -7$\sqrt{2}$x +24=0，
解得x=3$\sqrt{2}$或x=4$\sqrt{2}$，
∴CE=$\sqrt{2}$x=6或8，
故答案为6或8。
【答案】
(1)①证明见解析；②n；(2)①5$\sqrt{2}$；②6或8
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形性质
【点评】
本题是圆的综合题，结合新定义“相望角”，需学生理解新定义并运用圆的相关定理和三角形知识解题，综合性较强，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
1. 对于(1)①，需根据“相望角”定义证∠APC=∠BPD：利用CE⊥AB结合垂径定理得AB垂直平分CE，故PC=PE，由等腰三角形三线合一得∠CPA=∠EPA，再结合对顶角∠EPA=∠DPB，即可完成证明。
2. (1)②，已知$\overset{\frown}{CD}$度数为n，根据圆周角定理得同弧所对圆周角∠E=$\frac{n}{2}$；再结合直角三角形两锐角互余算出∠APE，进而得∠APC和∠BPD，最后用平角180°减去两角，得到∠CPD=n。
3. (2)①，已知“相望角”为90°即∠CPD=90°，由定义得∠APC=∠BPD=45°；结合CE⊥AB的垂径定理得∠E=45°，再由圆周角定理得圆心角∠COD=90°，OC=OD=5，故△COD为等腰直角三角形，算出CD=5$\sqrt{2}$。
4. (2)②，由∠E=45°、∠CPE=90°得△CPE为等腰直角三角形，设PE=PC=x，CE=$\sqrt{2}$x，PD=7$\sqrt{2}$-x，再由勾股定理PC²+PD²=CD²，解方程得x，进而得CE=6或8。
【解析】
(1)①证明：
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB垂直平分CE（垂径定理），
∴PC=PE，
∵PA⊥CE，
∴∠CPA=∠EPA（等腰三角形三线合一），
又
∵∠EPA=∠DPB（对顶角相等），
∴∠APC=∠BPD，
∴∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”。
②解：
∵$\overset{\frown}{CD}$的度数为n，
∴同弧所对的圆周角∠E=$\frac{n}{2}$（圆周角定理），
在Rt△PCE中，∠APE=90°-∠E=90°-$\frac{n}{2}$，
∴∠APC=∠APE=90°-$\frac{n}{2}$，
同理∠BPD=∠APC=90°-$\frac{n}{2}$，
∴∠CPD=180°-∠APC-∠BPD=180°-2×(90°-$\frac{n}{2}$)=n，
故答案为n。
(2)①解：
连接OC、OD，设AB与CE交于点F，
∵$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”为90°，
∴∠CPD=90°，
∴∠APC=∠BPD=$\frac{1}{2}$×(180°-∠CPD)=45°，
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB垂直平分CE（垂径定理），
∴∠CFP=90°，PC=PE，
∴∠FCP=90°-∠APC=45°，
又
∵∠E=∠FCP（同弧所对圆周角相等），
∴∠E=45°，
根据圆周角定理，圆心角∠COD=2∠E=90°，
∵AB=10，
∴OC=OD=5，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{OC^2 + OD^2}$=$\sqrt{5^2 +5^2}$=5$\sqrt{2}$。
②解：
∵∠E=45°，∠CPE=∠CPD=90°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PE=PC，CE=$\sqrt{2}$PC，
设PE=PC=x，则CE=$\sqrt{2}$x，PD=DE-PE=7$\sqrt{2}$ -x，
在Rt△PCD中，由勾股定理得：PC² + PD² = CD²，
即x² + (7$\sqrt{2}$ -x)² = (5$\sqrt{2}$)²，
整理得：x² -7$\sqrt{2}$x +24=0，
解得x=3$\sqrt{2}$或x=4$\sqrt{2}$，
∴CE=$\sqrt{2}$x=6或8，
故答案为6或8。
【答案】
(1)①证明见解析；②n；(2)①5$\sqrt{2}$；②6或8
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形性质
【点评】
本题是圆的综合题，结合新定义“相望角”，需学生理解新定义并运用圆的相关定理和三角形知识解题，综合性较强，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
